黃菊菊

（南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210003）

0 引 言

正交頻分復(fù)用（OFDM）是一種多載波調(diào)制方案[1]。因?yàn)樗鼘?duì)傳輸信號(hào)的多徑傳播引起的頻率選擇性衰落具有免疫效應(yīng)，所以在現(xiàn)代無線通信系統(tǒng)中被廣泛應(yīng)用[1-2]。它將頻率選擇性衰落信道轉(zhuǎn)換成多個(gè)并行平坦衰落信道，因此只需利用頻域均衡器作為單抽頭均衡器[3-4]。OFDM系統(tǒng)作為一種關(guān)鍵技術(shù)，在許多商業(yè)系統(tǒng)的物理層設(shè)計(jì)中已經(jīng)被標(biāo)準(zhǔn)化[5-6]。在采用相干檢測(cè)的無線通信系統(tǒng)中，信道估計(jì)是接收機(jī)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵[7-9]。因此，準(zhǔn)確的信道狀態(tài)信息（CSI）對(duì)OFDM系統(tǒng)[10]中的相干檢測(cè)至關(guān)重要。

在高速寬帶無線通信中，信道的延遲擴(kuò)展明顯大于顯著路徑的數(shù)量[11-12]。因此，被定義為信道脈沖響應(yīng)（CIR）的傅立葉變換分解的信道頻率響應(yīng)（CFR），通常會(huì)在特定的傅立葉條件上將信號(hào)通過稀疏化來表示。換句話說，如果φ=[φ1,φ2,…φN]，且φN∈RL×1，是真實(shí)值的表示基，離散時(shí)間信號(hào)為x∈RN，那{hi}Ni=1是信道系數(shù)的稀疏表示，h=[h1,h2,…,hN]T是N×1維矢量。于是，信號(hào)x為k階稀疏。當(dāng)它的l0范數(shù)在其非零系數(shù)中至多有k≤N個(gè)時(shí)，x表示為x=φh。在||h||0={hi≠0,i=1,2,…N}中，I0范數(shù)只計(jì)算k階非零系數(shù)。因此，如果已知每個(gè)物理路徑的正確延遲，則可以把最小二乘（LS）估計(jì)方法優(yōu)化為去估計(jì)少數(shù)未知信號(hào)的方法。但是，在實(shí)際生活中，每個(gè)路徑的延遲是未知的，使得在多徑信道中基于壓縮感知（CS）的信道脈沖響應(yīng)（CIR）的稀疏化得到了進(jìn)一步研究[13,5]。相對(duì)于傳統(tǒng)的信道估計(jì)技術(shù)，壓縮感知技術(shù)雖然可以有效重建稀疏信號(hào)，但非常依賴大量的多徑信道假設(shè)[14]。

在傳統(tǒng)的信道估計(jì)技術(shù)如LS中，等距導(dǎo)頻算法是已知的最佳算法，且它們都是基于插值算法推導(dǎo)而來。但是，插值算法為了獲得媲美均方誤差算法（MSE）的性能[1]，過分依賴于極高的采樣速率，不可避免地意味著要用更多的導(dǎo)頻信號(hào)提升信道的估計(jì)性能，并因此在帶寬效率與重構(gòu)精度之間有所折中。由于新導(dǎo)頻方案所需的算法不是基于插值算法，所以等距導(dǎo)頻算法不適用于稀疏多徑信道估計(jì)技術(shù)[15]。相對(duì)于傳統(tǒng)的投影域，在已知的變換域中，稀疏信號(hào)可以通過更少的計(jì)算次數(shù)得到。因此，所需的導(dǎo)頻開銷可以大大減少，同時(shí)保證系統(tǒng)的頻譜使用效率[2]。稀疏恢復(fù)的唯一條件是采樣過程與實(shí)現(xiàn)稀疏表示的變換是非相干的[16]。

然而，研究表明，限制等距特性（RIP）是利用隨機(jī)矩陣進(jìn)行噪聲測(cè)量的稀疏信號(hào)重構(gòu)的充分條件[16]?；赗IP特性，已經(jīng)被證實(shí)使用隨機(jī)矩陣的計(jì)算方法大大提高了信號(hào)稀疏恢復(fù)的概率[15]。這就表明，均勻隨機(jī)導(dǎo)頻分配是最佳的導(dǎo)頻分配模式。而在實(shí)際應(yīng)用中，由于存儲(chǔ)空間大、計(jì)算復(fù)雜度高、效率低，隨機(jī)生成的導(dǎo)頻模式極具挑戰(zhàn)性[11]。在這些條件下，通過確定性分配來分配導(dǎo)頻模式已經(jīng)成為必經(jīng)之路。

盡管如此，至今還沒有很多關(guān)于優(yōu)化導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)的研究成果。而在采用最小二乘法的傳統(tǒng)信道估計(jì)方法中，OFDM系統(tǒng)的最優(yōu)導(dǎo)頻模式是等電位、等間隔和相移正交的[16]。

在壓縮感知框架中，不同的導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案產(chǎn)生不同的壓縮感知算法。因此，為設(shè)計(jì)一個(gè)最佳導(dǎo)頻模式，可以大幅提升信號(hào)重建性能。然而，對(duì)于稀疏信道，目前還沒有公認(rèn)的理論來建立OFDM系統(tǒng)中稀疏信道估計(jì)的最優(yōu)導(dǎo)頻模式[11]。但是，多種基于互相關(guān)最小化的測(cè)量矩陣的分配導(dǎo)頻模式優(yōu)化算法已經(jīng)被提出[11,16]。其中，循環(huán)差集（CDS）的導(dǎo)頻模式是最佳的[17-18]。但是，在大多數(shù)實(shí)際的OFDM系統(tǒng)中，CDS是不可用的[11]。窮舉搜索方法已被用于所有可行的導(dǎo)頻副載波組合，但考慮到其過高的計(jì)算復(fù)雜度，對(duì)大多數(shù)實(shí)際OFDM系統(tǒng)來說是不可能實(shí)現(xiàn)的[17]。

本文采用測(cè)量矩陣互相關(guān)最小化的方法，研究了OFDM系統(tǒng)中確定性導(dǎo)頻的分配問題。在CDS不可用的情況下，提出兩種有效的近似最優(yōu)導(dǎo)頻分配方案來獲得近似最優(yōu)導(dǎo)頻模式，即通用隨機(jī)搜索（GRS）和漸進(jìn)式搜索（PS）。仿真結(jié)果表明，在正交匹配追蹤（OMP）、正則正交匹配追蹤（ROMP）和子空間追蹤（SP）算法的情況下，這兩種導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案與先前的導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方法相比具有更高的重構(gòu)精度，更利于稀疏信道估計(jì)。

文章的其余部分如下：第1節(jié)提出了OFDM系統(tǒng)模型；第2節(jié)提出了兩個(gè)基于非相關(guān)最小化特性（MIP）近似最優(yōu)的導(dǎo)頻設(shè)計(jì)方案；第3節(jié)介紹仿真結(jié)果；第4節(jié)總結(jié)。

1 系統(tǒng)模型

本文考慮一個(gè)梳狀導(dǎo)頻插入的OFDM系統(tǒng)，并且每個(gè)OFDM系統(tǒng)都包含N個(gè)子載波（N為2的冪），其中M個(gè)子載波為，用于導(dǎo)頻傳輸，這對(duì)基于導(dǎo)頻的頻域CE接收機(jī)而言是先驗(yàn)的。如果信道經(jīng)歷頻率選擇性衰落，則可以將多徑信道建模為具有L個(gè)抽頭的時(shí)變有限脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器，表示為：

其中，h1表示與第1次抽頭相關(guān)聯(lián)的復(fù)數(shù)增益。向量[h1,h2,…,hN]與它的維度相比，是k階稀疏且只有少數(shù)幾個(gè)主元素（或非零元素）。所以，如果等效發(fā)射的導(dǎo)頻信號(hào)被表示為{x( p1),x( p2),…x( pM)}，那么在導(dǎo)頻位置頻位置處接收到的矢量信號(hào)可以表示為：

其中，h=[h(1),h(2),…h(huán)(L)]T是長(zhǎng)度為L(zhǎng)的k階稀疏基帶信道脈沖響應(yīng)，F(xiàn)M×L是一個(gè)從N階標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變化（DFT）子矩陣中截取前M行、前L列構(gòu)成的離散DFT子矩陣。因此，F(xiàn)M×L可以表示為：

若A=XFM×L代表測(cè)量矩陣，那么式（2）可以重新表示為：

因此，如果測(cè)量矩陣A中行數(shù)（信道系數(shù)）M大于列數(shù)（導(dǎo)頻信號(hào)）L即M＞L，則式（5）中的OFDM信道可以通過最小二乘法進(jìn)行信道估計(jì)。但是，當(dāng)M＜L時(shí)，問題將無法解決，因此最小二乘法在該種情況下并不適用。但是，既然h為k階稀疏，可則通過應(yīng)用壓縮感知技術(shù)，在接收機(jī)處利用信道固有的稀疏脈沖響應(yīng)降低信道估計(jì)所需的導(dǎo)頻開銷。

算法1：測(cè)量矩陣的互相關(guān)最小化算法

Initiazation:Z ∈ CM×N,FM×L=XM×N

2 導(dǎo)頻設(shè)計(jì)方案

2.1 導(dǎo)頻設(shè)計(jì)要求

限制等距特性（RIP）是測(cè)量矩陣A，在有噪聲情況下能夠從低維線性測(cè)量y中穩(wěn)定恢復(fù)高維稀疏信號(hào)的充分條件。即使隨機(jī)矩陣滿足RIP條件[8]，但在計(jì)算上仍是不可行的（因?yàn)樗枰獙?duì)載波進(jìn)行窮舉搜索），因此可以用相互不一致條件替換RIP條件[8,10,12]。由μ(A)表示測(cè)量矩陣A的互相關(guān)，定義為：A的任何兩個(gè)單獨(dú)列之間的最大絕對(duì)內(nèi)積相關(guān)，表示為：

那么測(cè)量矩陣A在導(dǎo)頻位置的相關(guān)性可以表示為：

信號(hào)處理過程中，復(fù)值信號(hào)具有恒振且幅零自相關(guān)的波形特性，模值為1，自相關(guān)函數(shù)為零。由于OFDM系統(tǒng)具有這種性質(zhì)，因此將導(dǎo)頻序列假定為具有恒定的振幅，且幅度為

式（7）可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

其中，popt是基于測(cè)量矩陣A的互相關(guān)最小化方法得到的最佳導(dǎo)頻分配模式。例如，式（8）是基于算法1中呈現(xiàn)的互相關(guān)最小化算法而實(shí)現(xiàn)的。算法1中從是提出這兩個(gè)導(dǎo)頻設(shè)計(jì)方案的關(guān)鍵，下面將對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)闡述。

首先，考慮具有N個(gè)子載波的OFDM系統(tǒng)，其中M個(gè)子載波專用于導(dǎo)頻傳輸。其次，外循環(huán)迭代的總數(shù)定義為Nα=MN。最后，由式（4）可知，導(dǎo)頻處的接收信號(hào)可以表示為：

2.2 分配方案

在上述設(shè)計(jì)要求下，本文提出了兩種基于稀疏信道估計(jì)的導(dǎo)頻設(shè)計(jì)方案。這些方案使測(cè)量矩陣Aγ的原子間干擾最小化，并且分別解決了OFDM系統(tǒng)塊長(zhǎng)度、導(dǎo)頻數(shù)量和CIR長(zhǎng)度的選擇問題，表示為(N,M,L)。

2.2.1 隨機(jī)搜索導(dǎo)頻分配方案(GRS)

本節(jié)提出了一種導(dǎo)頻分配方案，即通用隨機(jī)搜索（GRS）。GRS將搜索和分配最佳的導(dǎo)頻子集，并且將其對(duì)應(yīng)的測(cè)量矩陣的相關(guān)性最小化?；贕RS的導(dǎo)頻分配方案的代碼見算法2，以下是使用的符號(hào)說明。pk表示集合{1≤p1＜p2＜…＜pM≤N}中導(dǎo)頻p={p1,…,pM}的第k次迭代。最初循環(huán)迭代次數(shù)設(shè)為T1=12Nα，其中Nα=MN。導(dǎo)頻選擇矩陣從N維信號(hào)矢量中選擇導(dǎo)頻位置的M個(gè)元素。下面描述GRS導(dǎo)頻分配的具體方案。在每次外循環(huán)迭代k從1到T1時(shí)，該算法執(zhí)行以下循環(huán)操作：

（1）生成導(dǎo)頻的子集pk={p1,…,pM}，{p1,…,pM}∈{1≤p1＜…＜pM≤N}；

（2）在迭代的第k個(gè)階段構(gòu)造測(cè)量子矩陣A{k}；

（3）使用算法1中的方法來計(jì)算構(gòu)建的測(cè)量矩陣的互相關(guān)性μ(A{k})。在循環(huán)迭代結(jié)束時(shí)，最佳導(dǎo)頻模式可以表示為popt=arg minPkw，其中k ∈ {1,2,…,T1}。

算法2：GRS導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)算法

為了進(jìn)一步提升方案的性能，降低其計(jì)算復(fù)雜度，本文提出了另一種導(dǎo)頻分配方案。

2.2.2 漸進(jìn)式搜索導(dǎo)頻分配方案(PS)

在提出的基于GRS的導(dǎo)頻分配方案中，每次迭代導(dǎo)頻模式p被有序地更新。換句話說，算法2總是使用新生成的導(dǎo)頻模式。對(duì)于貪心算法而言，導(dǎo)頻模式的順序更新可能導(dǎo)致對(duì)最佳導(dǎo)頻模式的快速收斂。盡管如此，采用逐步更新的導(dǎo)頻模式可能會(huì)使互相關(guān)最小化收斂速度變慢。因此，為了獲得相對(duì)較快的收斂時(shí)間和較高的精度，本節(jié)提出了一種近似最優(yōu)的方案，即漸進(jìn)搜索（PS）導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案。PS算法的代碼如算法3所示。首先，算法初始化，建立一個(gè)互相關(guān)閾值，即。其次，在內(nèi)部循環(huán)迭代中生成一個(gè)隨機(jī)的導(dǎo)頻模式p。最后，對(duì)于每個(gè)k從1到T2的外層迭代，執(zhí)行以下操作：

（1）m從1到M的內(nèi)層循環(huán)中，用算法3逐步處理M個(gè)副載波{p1,…,pM}的導(dǎo)頻，并逐個(gè)在最內(nèi)層的循環(huán)中進(jìn)行優(yōu)化；

（2）n從1到N的最內(nèi)層循環(huán)中，用從N p( j )|=1,2,…,M, j≠m中選擇的最優(yōu)來更新導(dǎo)頻p的第m個(gè)條目，使得試探值ξ最?。?/p>

（3）一旦ξ最小化，由pm控制的導(dǎo)頻指標(biāo)被重新確認(rèn)，同時(shí)更新此值。重復(fù)先前的操作直到k在T2處終止。此時(shí)，優(yōu)化后的導(dǎo)頻模式是近乎最佳的導(dǎo)頻模式。

算法3：PS導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)算法

3 仿真

考慮一個(gè)由4QAM數(shù)據(jù)序列調(diào)制的OFDM系統(tǒng)，含有N=256個(gè)子載波，其中M=16個(gè)子載波被假定為導(dǎo)頻信號(hào)。h是長(zhǎng)度為L(zhǎng)的稀疏瑞利多徑衰落信道，它是用L=50個(gè)信道抽頭均衡器建模的，其中k=6個(gè)被隨機(jī)選擇為獨(dú)立且同分布的非零信道抽頭。

GRS和PS兩種導(dǎo)頻設(shè)計(jì)方案運(yùn)行時(shí)的仿真結(jié)果如圖1所示，互相關(guān)的導(dǎo)頻模式的各種值(N,M,L)以及OFDM系統(tǒng)的設(shè)置如表1所示。

表1 k=6時(shí)GRS和PS導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案的性能比較以及OFDM系統(tǒng)(N,M,L)的設(shè)置

具體地，隨著信噪比的增大，各方案的均方誤差均逐漸減小。信噪比為15 dB時(shí)，各方案的均方誤差基本保持不變。GRS和PS方案的誤差最低為0.009?？梢?，在測(cè)量矩陣的互相關(guān)最小化方面，GRS和PS導(dǎo)頻分配方案的效率隨著導(dǎo)頻方案的數(shù)量增加而改善。然而，與GRS導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案相比，基于運(yùn)行時(shí)間迭代的PS導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案收斂速度更快。

圖1 OMP的不同導(dǎo)頻模式的MSE的信道估計(jì)性能的比較

表2則得出了相較于以往各種導(dǎo)頻分配方案的最佳導(dǎo)頻分配方案。與其他導(dǎo)頻設(shè)計(jì)方案相比，圖1顯示了這兩個(gè)導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案與其他最小OMP信道估計(jì)方案的均方誤差和信噪比的關(guān)系變化曲線的對(duì)比。顯然，隨機(jī)生成的導(dǎo)頻模式在信道估計(jì)的均方誤差方面表現(xiàn)最差。這是因?yàn)殡S機(jī)生成的導(dǎo)頻模式的測(cè)量矩陣Aγ具有較高的相關(guān)性，所以它具有較差的RIP條件。但是，它又是稀疏重構(gòu)的充分條件，所以它的性能最差。不難看出，對(duì)于底層信號(hào)的重構(gòu)是很困難的，并且與之前的導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案相比，這兩個(gè)導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案在均方誤差性能方面的有效性和改進(jìn)能力是顯著的。

圖2描繪了不同的導(dǎo)頻設(shè)計(jì)方案的格拉姆矩陣對(duì)角線以上元素的絕對(duì)遞減分布?？梢钥闯觯S著序列號(hào)的增加，各方案的內(nèi)積絕對(duì)值遞減，且GRS和PS方案的收斂速度相對(duì)更慢?？梢姡珿RS和PS導(dǎo)頻模式設(shè)計(jì)方案在它們各自的格拉姆矩陣中，對(duì)角線以上的元素更少，證明了它們?cè)谛诺拦烙?jì)方面具有良好的性能。

表2 不同模式的比較

圖2 GRS和PS導(dǎo)頻分配方案的測(cè)量矩陣的所有列之間的相關(guān)性

圖3 描繪了使用ROMP的不同導(dǎo)頻模式下MSE和SNR的比較。信噪比達(dá)到18 dB時(shí)，各方案的均方誤差基本保持不變。PS方案最低，誤差在0.001 8波動(dòng)；GRS次之，在0.011 0處波動(dòng)?？梢?，與其他導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案相比，GRS和PS導(dǎo)頻分配模式的信道估計(jì)準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性更為優(yōu)秀。

圖3 ROMP的不同導(dǎo)頻模式下MSE的信道估計(jì)性能的比較

最后，圖4利用SP重建算法對(duì)GRS、PS和其他導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案的MSE和SNR進(jìn)行了比較。根據(jù)圖4的結(jié)果，信噪比在18 dB之前，各方案的均方誤差隨著信噪比的增加快速降低，其中PS最快，最終均方誤差在0.007處波動(dòng)?？梢姡@兩種導(dǎo)頻設(shè)計(jì)方案比其他導(dǎo)頻設(shè)計(jì)方法在MSE最小化方面有更好的性能。對(duì)于GRS導(dǎo)頻分配方案而言，PS導(dǎo)頻分配方案產(chǎn)生導(dǎo)頻信息更準(zhǔn)確且穩(wěn)定。

圖4 使用SP的不同導(dǎo)頻模式MSE的信道估計(jì)性能的比較

4 結(jié) 語

本文利用傳統(tǒng)信道估計(jì)方法中常常忽略的CIR稀疏特性，重新研究了OFDM系統(tǒng)中的導(dǎo)頻分配問題。在壓縮感知框架下，基于相關(guān)性的部分DFT矩陣的優(yōu)化對(duì)信號(hào)的精確重構(gòu)極為重要。但是，設(shè)計(jì)導(dǎo)頻分配方案又會(huì)影響信道估計(jì)性能，所以這是一個(gè)重要且困難的組合優(yōu)化問題。本文提出的兩種導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案即GRS和PS，都得到了近似最優(yōu)導(dǎo)頻模式。與以往的導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方法相比，仿真結(jié)果證實(shí)了GRS和PS導(dǎo)頻分配設(shè)計(jì)方案在最小化MSE方面的有效性。此外，產(chǎn)生確定性導(dǎo)頻模式的PS導(dǎo)頻分配方案比GRS導(dǎo)頻分配方案更精確，復(fù)雜度更低，在許多工程應(yīng)用中具有實(shí)用價(jià)值。