，，

(大連理工大學 精密與特種加工教育部重點實驗室，遼寧 大連 116024)

機器人技術在太空探索、航天領域發(fā)展迅速，并廣泛應用于制造、醫(yī)療、救援等場景。機器人學涉及數(shù)學、機構學、力學、仿生學、計算機和控制等領域。隨著控制理論、傳感技術、計算機技術、仿生學以及人工智能等學科的發(fā)展，推動了機器人技術的進步[1-2]。目前，智能機器人受到廣泛關注，各國競相發(fā)展，應用日益廣泛[3-5]。工業(yè)機器人對現(xiàn)代制造業(yè)有著重要意義，可提高生產(chǎn)效率、加工精度和產(chǎn)品質量[6]。機器人手腕是連接機械臂和末端執(zhí)行器的關鍵部件，具有調整姿態(tài)等重要作用。為適應高性能機器人發(fā)展，手腕應該具有靈敏度高、小型化，大力矩及模塊化等特點。

本文的研究對象是一種三自由度等速解耦球型回轉式驅動手腕[7]，其結構源于Paljug E等人研制的12自由度勘查機器人[8]，關節(jié)采用了兩半球斜面貼合的球形關節(jié)，并且將兩個電機分散到關節(jié)兩端的緊湊結構。Sungmoo Ryew等人在此基礎上提出了一種球型二自由度主動手腕[8]。專利在此基礎上又增加了一個自轉自由度[11]。為解決十字萬向節(jié)傳動不等速的問題，專利提出采用球籠萬向節(jié)取代十字萬向節(jié)[7]，得到三自由度等速解耦球型手腕，以適應高精度的工作需求。

三自由度等速解耦手腕作為獨立的模塊，由于三個旋轉軸相交于一點，三軸均具有等速傳動特性，因此，傳動穩(wěn)定性好[12]。然而，手腕定位精度的影響因素較多，如零件制造誤差、裝配誤差、碼盤測量誤差等，此外，工作環(huán)境溫度和末端負載也對精度有影響。因此需要對手腕的運動學參數(shù)進行標定，以保證其定位精度。機器人的標定分為三個層次：關節(jié)標定、運動學標定和非運動學標定。每個層次可以分為四個步驟：建模、測量、參數(shù)識別和誤差補償[13-14]。本文主要討論當手腕理論運動學參數(shù)未知時，對運動學參數(shù)進行識別。為此，Peter I.Corke提出一種基于Java的識別方法，適于機器人新型結構的研究，可快速獲得機器人DH參數(shù)[15]。Saha S K等人利用線幾何的方法從機器人的3D模型中，根據(jù)已知軸線位置提取DH參數(shù)[16]。Chittawadigi R G提出基于空間圓的機器人模型DH參數(shù)識別方法[17]，但不能解決機器人相鄰軸線近似平行時，運動學參數(shù)奇異的問題。張旭等利用軸線測量法，將DH參數(shù)轉化為最小連續(xù)運動學問題求解，以獲取DH參數(shù)模型，但計算量較大[18]。

由于手腕結構緊湊且封閉，難以對其內部結構進行測量，得到準確的運動學參數(shù)、偏置斜面傾角和手腕球心關于參考點位置，無法得到準確的運動學模型，從而影響整個系統(tǒng)的定位精度。因此需要一種利用外部特征，如手腕末端軌跡，識別手腕運動參數(shù)和手腕參考點位置的方法。首先分析手腕可能出現(xiàn)的運動學誤差；之后引入對偶數(shù)和Plücker坐標的概念，對空間直線位置關系進行判斷；最后基于對偶數(shù)的運算規(guī)律，結合空間圓識別法得到的關節(jié)軸線和DH參數(shù)定義，對手腕的運動學參數(shù)進行識別。

1 三自由度等解耦手腕誤差模型

1.1 手腕工作原理

三自由度等速解耦手腕的機械結構如圖1，內部為雙半球結構，偏置斜面角Ф=16°，外部為球籠萬向節(jié)。手腕的運動鏈如圖2，下半球由電機M1(對應驅動轉角q1)通過齒輪系直接驅動，輸出關節(jié)空間轉角θ1；上半球由電機M2(對應驅動轉角q2)通過齒輪系經(jīng)過內球籠萬向節(jié)驅動，輸出關節(jié)空間轉角θ2；手腕的自轉運動由電機M3(對應驅動轉角q3)通過齒輪系由外球籠驅動，輸出關節(jié)空間轉角θ3。上下半球的復合運動實現(xiàn)俯仰和側擺兩個自由度，加上外部球籠萬向節(jié)驅動的自轉運動，實現(xiàn)三個自由度的運動。三個自由度運動的旋轉軸相交于一點，實現(xiàn)了手腕的結構解耦；內外雙球籠的等速萬向節(jié)實現(xiàn)了傳動的雙等速解耦[7]。

圖1 球型手腕模型

1.2 手腕誤差模型的建立

圖2 手腕運動鏈傳遞簡圖

圖3 手腕運動學誤差模型

在實際模型中，零件存在加工誤差，手腕本體存在裝配誤差，手腕模塊與機械臂配合時存在誤差，因此需要對手腕存在誤差的模型進行建模分析，如圖3。將誤差模型理解為一個三自由度的串聯(lián)機器人。采用DH參數(shù)來建立模型，各參數(shù)如表1所示，θi是關節(jié)角，其中θ12=θ2-θ1，是上半球相對于下半球的運動。根據(jù)手腕結構是否解耦進行討論：

a.當di≠0或ai≠0 (i=1，2)時，手腕的結構不解耦，此時判定手腕結構存在缺陷；

b.當di=0且ai=0 (i=1，2)時，手腕的結構解耦，此時可通過對運動學參數(shù)的識別，對誤差進行補償。

本文的識別過程，只針對b情況。α1是上半球斜面傾角，α2是下半球斜面傾角，理論模型中α1=α2=16°，在識別過程中應對兩者進行區(qū)分。

表1 手腕運動學參數(shù)表

2 空間直線關系判斷

2.1 對偶數(shù)

1873年Clifford最早提出對偶數(shù)(Dual Numbers)概念[19]，Kotelnikov與Study把對偶數(shù)應用于運動學研究[20]，將表示空間中任意兩直線位置關系的兩個參數(shù)組合成如下對偶角表達式：

(1)

其中：α為空間中兩直線夾角，d為空間中兩直線距離，ε為對偶數(shù)單位，具整數(shù)性質：

ε2=0(ε≠0)

(2)

在20世紀60年代，Yang等人利用對偶數(shù)對空間四桿、五桿結構進行運動學分析[21]。在機器人技術高速發(fā)展的過程中，20世紀60年代Gu和Luh等將對偶數(shù)應用于機器人運動學，將旋轉運動與直線運動通過對偶數(shù)單位區(qū)分，進而對機器人的運動學模型進行描述[22]。為了進一步完善對偶數(shù)在運動學中的應用，Brodsky與Shoham在上世紀90年代，利用Kotelnikov提出的慣量二元，對簡單的串聯(lián)機器人進行分析，建立了簡潔緊湊的動力學模型[23-25]。

本世紀初，對偶數(shù)成功應用于計算機圖形學，Ketchel和Larochelle利用空間對偶角的概念，來判斷三維空間中圓柱體之間的位置關系，并將該方法應用在空間機構設計[26]。

2.2 空間直線的Plücker坐標

圖4 直線的Plücker坐標

在歐式坐標系中，定義一條空間直線至少需要四個參數(shù)。Plücker坐標是一個冗余度為2的六維矢量，由表示直線方向的單位方向向量e以及關于坐標原點的矢量矩k構成[27]，如圖4。

Plücker坐標定義表達式為：

(3)

其中：s是六維列向量，c參考位置向量。

為了表達空間中任意兩直線的位置，利用對偶數(shù)來表示Plücker坐標[28]，表達式簡化為：

(4)

直線的虛部為關于坐標原點的矢量矩，對于任意λ∈R，有如下等式成立：

c×e=(c+λe)×e

(5)

上式表明，直線Plücker坐標的對偶數(shù)表達式，只與所描述直線的實際位置有關，而與參考位置向量c的選取無關。利用這個性質，可以求解直線間的交點，直線與平面的交點，并且參考位置向量可以任意調整位置，為之后的運動學參數(shù)的識別提供便利。

2.3 空間直線關系判斷

圖5 空間直線位置關系

為判斷兩直線關系，根據(jù)對偶數(shù)的性質計算兩直線Plücker坐標的點乘Ad和叉乘Ac，結果為：

=cos(β)+ε(-dsinβ)

(6)

=sin(β)d1+ε(cos(β)dd1+sin(β)kd)

(7)

利用點乘結果Ad和叉乘結果Ac可以判斷兩條直線之間的關系，判斷流程如圖6。

圖6 空間直線位置關系判斷流程圖

3 DH參數(shù)識別

3.1 DH參數(shù)

圖7 DH參數(shù)示意圖

為保證DH參數(shù)識別的一致性，在對DH參數(shù)提取之前要對連桿坐標系進行定義。根據(jù)文獻[29]對坐標系∑i以及DH參數(shù)di，θi，ai，αi定義，如圖7。

因為di、θi是關于坐標軸zi-1的參數(shù)，因此本文稱為Z方向參數(shù)，同理稱ai、αi為X方向參數(shù)。DH參數(shù)如圖7。

3.2 DH參數(shù)識別

由于DH參數(shù)的定義基于各連桿坐標系之間的關系，并且和基坐標系的選取有關，因此首先需要確定基坐標系∑0?；诨鴺讼?，依次對關節(jié)i(i=1，2…DOF)運動時末端執(zhí)行器軌跡測點進行測量，根據(jù)文獻中的方法進行空間圓的識別[30]，得到空間圓的旋轉軸線Zi的單位方向向量zi，以及圓心坐標Ci和軸線的參考位置向量ci。由此可以得到相對于基坐標系的坐標軸Zi的Plücker坐標表達為：

(8)

考慮到實際串聯(lián)機器人DH參數(shù)中扭轉角存在αi≠0.5kπ(k=0，±1，±2，…)的可能，坐標軸zi-1與坐標軸zi的關系，和坐標軸xi-1與坐標軸xi關系不存在直接聯(lián)系。因此在DH參數(shù)提取過程中，需要對X方向參數(shù)和Z方向參數(shù)分別求解。

3.2.1X方向DH參數(shù)識別

由機器人基座向末端，根據(jù)對偶數(shù)計算法則，依次計算相鄰旋轉軸單位方向向量的Plücker坐標的點乘Zd和叉乘Zc，如下列所示：

(9)

(10)

1)當相鄰坐標軸zi-1與坐標軸zi平行時，由DH參數(shù)的定義可知坐標原點Oi為坐標軸zi所在直線與xi-1Oi-1-yi-1平面的交點。令交點向量為O0Oi=oi=λizi+ci，(λi∈R)，有如下等式成立

oi-1+λxxi-1+λyyi-1=λizi+ci

(11)

根據(jù)上式求得λi，得到連桿坐標系∑i的坐標原點關于基坐標系的位置向量為oi=λizi+ci。

2) 當相鄰坐標軸zi-1與坐標軸zi同軸時，令oi=oi-1。

3)當相鄰坐標軸zi-1與坐標軸zi相交時，令兩直線的交點為Oi，O0Oi=oi。根據(jù)兩直線的方向向量和位置向量分別表示交點Oi的方向向量，oi=λizi+ci，(λi∈R)或oi=λi-1zi-1+ci-1，(λi-1∈R)，有如下等式成立：

λizi+ci=λi-1zi-1+ci-1

(12)

求解λi-1、λi，得到連桿坐標系∑i的坐標原點關于基坐標系的位置向量oi=λizi+ci。

4)當相鄰坐標軸zi-1與坐標軸zi異面時，坐標原點Oi為坐標軸zi與兩直線公垂線的交點Ni，公垂線的另一端與坐標軸zi-1的交點為Ni-1。令ai=zi-1×zi，公法線向量為Ni-1Ni=λaai，(λa∈R)，交點Ni-1關于基座標系的位置向量為O0Ni-1=λi-1zi-1+ci-1，(λi-1∈R)，交點為Ni關于基坐標系的位置向量為O0Ni=λizi+ci，(λi∈R)，根據(jù)向量運算的三角形法有如下等式成立：

Ni-1Ni=O0Ni-O0Ni-1

(13)

解得λi-1、λi、λa，得到連桿坐標系∑i的坐標原點關于基坐標系的位置向量oi=λizi+ci。

由坐標oi和式(6)、式(7)，可得坐標軸xi、yi以及X方向DH參數(shù)，如表2。

表2 DH參數(shù)識別表

3.2.2Z方向DH參數(shù)識別

經(jīng)過上述計算，得到坐標軸xi的單位方向向量xi和坐標系∑i的坐標原點位置向量oi，由此可得坐標軸xi的Plücker坐標為：

(14)

其中：hi=oi×xi。

(15)

(16)

由坐標原點oi和式(6)、式(7)可得，Z方向DH參數(shù)，如表2所示。其中2-4列為坐標系參數(shù)，5-6列為X方向參數(shù)，7-8列為Z方向參數(shù)。

經(jīng)過上述計算即可得到機器人的完整的DH參數(shù)。由球型手腕的結構圖可知，手腕球心位置為旋轉軸的交點，即為O2。將偏置斜面的傾角分開考慮，上半球傾角，為坐標軸z0和z1的夾角α1；下半球傾角，為坐標軸z1和z2的夾角α2。

4 仿真及分析

為了驗證上述理論的正確性，將根據(jù)球型手腕的3D誤差模型提取手腕的運動學參數(shù)。具體過程如下：

1)在Inventor軟件中，根據(jù)理論參數(shù)建立手腕的簡化模型，在結構解耦條件下，給模型添加假設誤差，如球心位置的移動，數(shù)據(jù)標記為“球心xyz”，表明在xyz方向上有誤差；偏置斜面傾角的偏差，標記為“傾角(+-)”，表明上半球傾角有正向偏差，下半球有負向偏差；

2)在軟件中確定手腕基坐標系為手腕基座平面與第一關節(jié)軸的理論交點位置，將手腕模型關節(jié)轉角歸零；

3)令關節(jié)i(i=1，2，3)沿關節(jié)角增大方向轉動，在0～360°之間對手腕末端均勻采集20個點，結束后令關節(jié)i歸零，記錄空間點的數(shù)據(jù)；

4)將數(shù)據(jù)導入MATLAB中，利用上述運動學參數(shù)的識別方法，可以得到手腕運動學參數(shù)，如圖8、表3所示。

圖8 基對偶數(shù)的手腕運動學參數(shù)界面

圖8中，右側窗口中，空間圓為手腕末端采樣點構成；圖中向量表示是識別出的各連桿坐標系。

表3 三自由度球型手腕仿真識別運動學參數(shù)

表3中是對球型手腕的模擬數(shù)據(jù)與識別數(shù)據(jù)，前者為粗體字，后者為普通字體?？梢娗蛐奈恢玫淖R別誤差max(ep)<2×10-3mm，偏置斜面傾角的識別誤差max(eq)<10-3°，驗證了識別方法的準確性，以及對可能出現(xiàn)的運動學參數(shù)誤差的適應性。為手腕的實際參數(shù)的識別和標定提供了有效的方法。

5 結論

本文考慮等速球型手腕的結構的特殊性，提出基于對偶數(shù)的參數(shù)識別方法。用對偶數(shù)形式的Plücker坐標表示手腕關節(jié)軸線的位置，根據(jù)對偶數(shù)的點乘和叉乘的結果，以及DH運動學參數(shù)的定義，識別手腕的運動學參數(shù)，得到了球心位置和上下半球傾角。解決了由于手腕結構緊湊封閉，難以對其運動學參數(shù)進行測量的問題，得到了較小的識別誤差，為球型手腕的標定提供了準確快捷的運動學參數(shù)識別方法，具有一定工程意義。

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61773084)。