王菊　趙燕　王昊

摘要：傳統(tǒng)采樣中，采樣頻率需高于信號(hào)最高頻率的2倍，依照該定理會(huì)需要海量的采樣信號(hào)，給存儲(chǔ)和傳輸帶來(lái)了很大的麻煩。近年，壓縮感知理論在數(shù)據(jù)采集方面帶來(lái)了歷史的飛躍。壓縮傳感主要依靠非自適應(yīng)的線性投影的方法來(lái)維護(hù)信號(hào)的原結(jié)構(gòu)，選用數(shù)值的最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)重構(gòu)原信號(hào)。因壓縮傳感在采樣方面低于奈奎斯特頻率，在許多領(lǐng)域有廣闊的前景。

關(guān)鍵詞：壓縮傳感；信號(hào)重構(gòu)；稀疏表示；圖像重構(gòu)；約束等距性

中圖分類號(hào)：TN911.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）15-0251-02

A Survey on Compressive Sensing

WANG Ju，ZHAO Yan，WANG Hao

（Yanching Institute of Technology， Langfang 065201， China ）

Abstract：In the traditional sampling， the sampling frequency needs to be higher than two times the maximum frequency of the signal. According to the theorem， a large amount of sampling signals will be needed， which brings a lot of trouble to storage and transmission. In recent years， the theory of compressed sensing has brought a historic leap in data collection. Compressive sensing mainly relies on non-adaptive linear projection methods to maintain the original structure of the signal， and selects the numerical optimization problem to reconstruct the original signal. Since the compressive sensing is lower than the Nyquist frequency in sampling， it has broad prospects in many fields.

Key words：compressive sensing；signal reconstruction；sparse representation；image reconstruction；restricted isometry property

1 引言

壓縮感知[1]與傳統(tǒng)的壓縮系統(tǒng)是不同的。圖1表示[x]模擬信號(hào)經(jīng)采樣后，能得到[N]的信號(hào)，隨后經(jīng)壓縮到[K]大小的信號(hào)，進(jìn)行解壓縮，最后把原來(lái)的信號(hào)恢復(fù)。

圖2表示CS系統(tǒng)充分采用信號(hào)的稀疏特性[2]，以便減小成本，降低復(fù)雜度，使重構(gòu)時(shí)間縮短。采樣直接結(jié)合壓縮[3]，選擇隨機(jī)投影方法得到相應(yīng)的觀測(cè)值，隨后經(jīng)傳輸把有用的信號(hào)讓其在接收端被采集，最后利用求解其解碼的模型得出原信號(hào)。所以，壓縮傳感重要的過(guò)程在于稀疏表示[4]、隨機(jī)投影[5]以及重構(gòu)過(guò)程[6]。

2 稀疏表示

稀疏表示[7]經(jīng)歷了以下幾個(gè)部分，從傅立葉到小波變換，隨后幾何分析。小波變換因時(shí)頻特性較好，使其成為一種有效的方法。因人眼對(duì)方向較敏感，但小波無(wú)該特性，引入了輪廓波，在一定范圍上回避了小波的方向性，也可給稀疏表示提供一個(gè)理論依據(jù)。

當(dāng)信號(hào)進(jìn)行變換的時(shí)候，如果可用少量的非零元素表示，或者該信號(hào)可用少量的較大的數(shù)表示，并且大部分幅值變?yōu)榱悖敲催@個(gè)信號(hào)就具有稀疏性[8]。

[x]為信號(hào)，表示向量是[N]維的，假設(shè)[x]可用基矩陣向量線性表示，其中基矩陣用[Ψ∈RMM>>N]表示，基向量用[ψiKi=1]表示，變換系數(shù)用[α]表示且[α=ψTx]，那么

[x=i=1Kαiψi=Ψα]

在實(shí)際中，嚴(yán)格意義上的稀疏是很難達(dá)到的，例如圖像信號(hào)，只能近似的認(rèn)為是稀疏的。如果信號(hào)能用[K]個(gè)系數(shù)線性表示，就可叫這樣的信號(hào)具有稀疏性。假設(shè)[x]信號(hào)，它的元素用降序進(jìn)行排列后，信號(hào)可表示為

[x≈x=i=1Kαiψi=Ψα]

向量的范數(shù)[lp]用[xP] 表示，則逼近誤差為

[σkxp=argminx∈Rkx-xp=x-xp]

信號(hào)運(yùn)用某種變換可稀疏表示，該特點(diǎn)可用與圖像壓縮、分割及修復(fù)等方面。

3 隨機(jī)投影

用[Φ]表示隨機(jī)投影矩陣，則根據(jù)方程[y=Φx]得出觀測(cè)值，根據(jù)要求觀測(cè)值需要有準(zhǔn)確的重構(gòu)信息，并且可依據(jù)非適應(yīng)的觀測(cè)算法，以此達(dá)到重構(gòu)。對(duì)于是何種矩陣的形式，都要能恢復(fù)出來(lái)原信號(hào)，這就需要矩陣有一定的原則，也就是滿足限制等距性以及不相干性。

3.1 限制等距性

根據(jù)CS的理論，[Φ]表示隨機(jī)投影矩陣且[M×N]，則[y=Φx]可得[MM

矩陣[Φ]，稀疏的向量[x]，常數(shù)[0<δk<1]，則根據(jù)限制等距性，則有：

[1-δkx22≤Φx22≤1+δkx22]

在這里[δk]表示限制等距常數(shù)。

還可用下面表示：

[1-δ2kx1-x222≤Φx1-Φx222≤1+δ2kx1-x222]

一般情況下此式應(yīng)用于二階的或者更高階的，只要符合要求，此矩陣就能實(shí)現(xiàn)恢復(fù)原圖或者信號(hào)，下面有兩個(gè)類型的矩陣滿足要求。

如貝努利投影矩陣，矩陣[Φ]元素對(duì)稱，那么

[G∈RM×N；Gi，j=1Mgij，gij～1-11212]

如高斯投影矩陣，那么

[H∈RM×N；Hi，j=1Mhij，hij～N0，1]

依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，當(dāng)上述兩種矩陣符合一些要求時(shí)盡管有好的重構(gòu)水平，但在面對(duì)的復(fù)雜圖像的時(shí)候，計(jì)算量龐大，結(jié)合矩陣的特點(diǎn)，例如稠密性，又有很大的計(jì)算量，從而重建速度很慢，此種算法不切實(shí)際。

如果面對(duì)一維的稀疏信號(hào)，通常選擇高斯投影矩陣；如果面對(duì)二維圖像，一般選用快速變換之后得到觀測(cè)值，一般選擇用置亂的離散余弦變換。對(duì)圖像進(jìn)行隨機(jī)置亂之后，選擇部分的有效信息來(lái)進(jìn)行變換從而實(shí)現(xiàn)隨機(jī)采樣，此種方法和高斯隨機(jī)投影的效果相似。

3.2 不相干性

[Φ]隨機(jī)投影矩陣中，每一列與[Ψ]表示的基函數(shù)之間不相干，或者是不能相互表示，則是不相干的。

[Φ，Ψ]表示一對(duì)正交基，[Φ，Ψ∈RN]，其中[φkl2=ψjl2=1]，相干性為：

[μΦ，Ψ=N?max1≤k，j≤Nφk，ψj]

相干性就是尋求[Φ]與[Ψ]的相關(guān)性。如果[Φ]和[Ψ]之間存在相關(guān)元素，它們就可能存在相干性。假設(shè)[ΦTΨ]正交，那么

[jφk，ψj2=1 ? maxjφk，ψj≥1N ? μ≥1]

滿足

[φk，ψj2≤φk2?ψj2 ? μ≤N ? μ∈1，N]

對(duì)[μ]均一化處理，則取值范圍

[1-μN(yùn)∈0，1-1N]

假設(shè)[Φ]與[Ψ]非相干性很強(qiáng)，符合限制等距性的程度就越高，在這里[Φ]表示測(cè)量矩陣，行數(shù)用[M]表示，[C]表示大于零的常數(shù)，可得

[M≥C?μ2Φ，Ψ?K?logN]

為了更好地重構(gòu)信號(hào)，[P]表示逼近概率，則

[p≥1-212δKKe-c0δ2M]

倘若[M≥C?μ2Φ，Ψ?K?logNδK]，可得出[p≥1-δK]，如何選擇符合限制等距性的問(wèn)題，就變成了怎樣使投影矩陣和基函數(shù)不相關(guān)的問(wèn)題。

4 重構(gòu)

壓縮傳感中重要的是重構(gòu)，用隨機(jī)投影所采集到的值用來(lái)復(fù)原圖像。怎樣才能恢復(fù)原圖成為需要解決的問(wèn)題，重建也就是求最佳的稀疏解，則

圖3表示原圖像，經(jīng)過(guò)迭代100次，從圖中可得到，采用全變差的方法重構(gòu)，此效果較好，接近原圖。

5 結(jié)論

壓縮傳感理論的出現(xiàn)開(kāi)拓了人們的視野，對(duì)信號(hào)處理、圖像重構(gòu)方面提供的很大的理論支撐。在壓縮成像、核磁共振、生物感知方面也有很重要的應(yīng)用，研究前景廣闊。

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