☉浙江省寧波市四眼碶中學(xué) 單勤海

“學(xué)為中心”的核心理念是以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心，指的是教學(xué)中把學(xué)生作為教學(xué)的真正主體，讓學(xué)生嘗試自主學(xué)習(xí)和探究，通過生生合作與交流探討，從而主動(dòng)獲取知識(shí).定理是“圖形與幾何”板塊最重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是幫助學(xué)生形成歸納推理和演繹推理能力的重要途徑.那么，在幾何定理教學(xué)中如何落實(shí)學(xué)為中心的理念？最近，筆者探索了“學(xué)為中心”理念下幾何定理的教學(xué)實(shí)踐，在此和各位同行分享.

一、備課過程中的相關(guān)思考

筆者在深入研讀教材和相關(guān)學(xué)習(xí)理念的基礎(chǔ)上，思考了以下問題：

問題1：幾何定理教學(xué)有哪些特點(diǎn)和規(guī)律

幾何定理教學(xué)的目標(biāo)是：感悟定理的來龍去脈，推導(dǎo)或論證定理并揭示其中有代表性的數(shù)學(xué)思想、思維方法和典型的數(shù)學(xué)技能技巧，體驗(yàn)定理的應(yīng)用過程.因此，定理教學(xué)的一般步驟是：發(fā)現(xiàn)與提出問題→猜想與表達(dá)命題→推導(dǎo)與論證命題→鞏固與運(yùn)用定理.時(shí)下，在定理教學(xué)中，教師特別注重后兩個(gè)環(huán)節(jié)，即“突出定理的識(shí)記和運(yùn)用”，而忽視了前兩個(gè)環(huán)節(jié)，即“定理的發(fā)現(xiàn)過程”.因此我們應(yīng)該重視遵循定理的學(xué)習(xí)規(guī)律，設(shè)計(jì)幾何定理的獲得過程.

問題2：如何在定理課中體現(xiàn)“學(xué)為中心”的理念

學(xué)為中心的課堂有兩個(gè)基本特征：一是學(xué)生嘗試獨(dú)立學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，二是教師組織、引導(dǎo)和幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，做學(xué)生自主學(xué)習(xí)的推動(dòng)者和促進(jìn)者.學(xué)為中心的初中數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生學(xué)的關(guān)鍵是閱讀、思考、交流、歸納、練習(xí)，教師教的關(guān)鍵是引導(dǎo)、啟發(fā)、組織、幫助、小結(jié).學(xué)為中心理念下的幾何定理教學(xué)應(yīng)著重于如何設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出命題，如何讓學(xué)生在討論交流證明定理上下功夫，真正引導(dǎo)學(xué)生學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué).

問題3：本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是什么

本節(jié)課的主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)矩形的兩個(gè)判定定理“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”、“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”.在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過矩形的概念和性質(zhì).因此，通過本課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅要掌握矩形的判定定理，學(xué)會(huì)運(yùn)用判定定理來解決問題，還要在矩形判定定理學(xué)習(xí)的過程中進(jìn)一步感悟定理的學(xué)習(xí)規(guī)律，用歸納推理來發(fā)現(xiàn)結(jié)論，用演繹推理來證明結(jié)論.

問題4：本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)是什么

由于特殊幾何圖形的判定是認(rèn)識(shí)幾何圖形的重要組成部分，因此本課的教學(xué)重點(diǎn)是矩形的判定定理.本課中的例2是從中位線的平行轉(zhuǎn)化直角來判定矩形，它的證明思路對(duì)學(xué)生來說有一定的難度.

二、課堂教學(xué)過程簡(jiǎn)述

教學(xué)伊始，師生共同回顧矩形的定義并根據(jù)矩形定義畫出一個(gè)矩形.

1.問題引導(dǎo)，提出猜想

師：同學(xué)們，老師這里有一張不規(guī)則的四邊形紙片：如圖1，在四邊形ABCD中，∠D=90°，你能僅用如圖2所示的“直角三角板”裁剪出一個(gè)頂點(diǎn)都在四邊形ABCD邊上的矩形嗎？

圖1

圖2

圖3

圖4

生1：如圖3，用直角三角板過點(diǎn)A畫AD的垂線與BC相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E畫AE的垂線與CD相交于點(diǎn)F，則四邊形AEFD就是矩形.

師：按他這樣裁剪的四邊形AEFD看起來確實(shí)很像矩形，你能說說為什么這樣裁剪是矩形嗎？

生2：因?yàn)椤螪AE=∠D=90°，所以AE和DF平行.因?yàn)椤螪AE=∠AEF=90°，所以AD和EF平行，所以四邊形AEFD是平行四邊形.又因?yàn)椤螪=90°，根據(jù)矩形的定義，四邊形AEFD是矩形.

師：很有道理！那么，由此你能得到如何判定一個(gè)四邊形是矩形嗎？

生3：“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”.

師：有三個(gè)角是直角，第四個(gè)角也一定是直角了，所以我們得到矩形的判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.能用符號(hào)語言表達(dá)這個(gè)定理嗎？

生4：在四邊形ABCD中，因?yàn)椤螦=∠B=∠C=90°，所以四邊形ABCD是矩形.

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家根據(jù)判定定理1畫一個(gè)矩形.（學(xué)生畫，老師也在黑板上畫一個(gè)）現(xiàn)在，請(qǐng)大家看我黑板上畫的矩形（圖4），你覺得我畫的這個(gè)四邊形是矩形嗎？

生眾：是的.

師：我看看也是的.（微笑）如果有一個(gè)直角三角板，我就去驗(yàn)證一下，是不是所有角都是直角.現(xiàn)在，問題來了，我手頭只有一個(gè)如圖5所示的圓規(guī)，你能用圓規(guī)來驗(yàn)證它是否為矩形嗎？

同小組的一起討論，試一試，再想一想你的猜想為什么正確.

圖5

教學(xué)說明：本教學(xué)片斷通過“用直角三角板裁剪不規(guī)則四邊形”問題引出矩形判定定理1，用“圓規(guī)驗(yàn)證已知四邊形是否為矩形”導(dǎo)出矩形判定定理2，讓學(xué)生在問題解決的過程中發(fā)現(xiàn)判定矩形的命題，從而獲得猜想尋求證明.

2.合作討論，證明命題

師：哪一小組可以來說說你們的想法.

生5：我們討論認(rèn)為：圓規(guī)用三次，就可以驗(yàn)證它是否為矩形！首先，用圓規(guī)驗(yàn)證四邊形的兩組對(duì)邊是否相等，來判定這個(gè)四邊形是否為平行四邊形.再驗(yàn)證一下兩條對(duì)角線是否相等，如果相等，這個(gè)四邊形就是矩形了.

師：兩組對(duì)邊分別相等得到平行四邊形，這個(gè)我同意！現(xiàn)在你的意思是“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”，如何證明？

生6：如圖6，由于已經(jīng)知道了四邊形ABCD是平行四邊形，因此主要證明該平行四邊形有一個(gè)角是直角.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD=BC，又AC=DB，BC=CB，所以△ABC≌△DCB.所以∠ABC=∠DCB，而根據(jù)AB∥CD，這兩個(gè)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，所以每個(gè)角都是直角.

師：很好！利用全等三角形得到對(duì)應(yīng)角相等，再證明這兩個(gè)正好互補(bǔ)得到直角！其他小組，還有不一樣的證明方法嗎？

用地政策是制約星光村鄉(xiāng)村旅游進(jìn)一步發(fā)展的最大障礙。雖然四川省也在積極探索宅基地三權(quán)分置，但是目前政策不明朗。星光村名氣打響后，很多外來業(yè)主愿意到星光村投資，已入住的業(yè)主也想擴(kuò)大規(guī)模，但是都因?yàn)橛玫卣咄徊黄疲马?xiàng)目引進(jìn)和規(guī)模擴(kuò)大受阻，影響了星光村鄉(xiāng)村旅游的進(jìn)一步發(fā)展。

生7：如圖6，由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以AO=CO，B0=DO.又因?yàn)锳C=BD，所以AO=BO=DO，所以∠DAO=∠ADO，∠BAO=∠ABO.又因?yàn)椤螪AO+∠ADO+∠BAO+∠ABO=180°，所以∠DAO+∠BAO=90°，即∠DAB=90°.

師：這樣我們就得到了矩形的判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.用符號(hào)語言如何表示這個(gè)判定方法？

生8：在平行四邊形ABCD中，因?yàn)锳C=BD，所以四邊形ABCD是矩形.

師：這樣我們就可以用如圖7的刻度尺來畫一個(gè)矩形了.請(qǐng)大家根據(jù)矩形的判定定理2用刻度尺畫一個(gè)矩形.

圖6

圖7

生眾：（畫圖）.

師：哪位同學(xué)能夠描述一下自己的畫法嗎？

生9：先用刻度尺畫一條線段，然后找到中點(diǎn)，再畫一條和原線段等長(zhǎng)的線段，并且以原來線段中點(diǎn)為第二條線段中點(diǎn).順次連接兩條線段的端點(diǎn)得到的四邊形為矩形.

生10：因?yàn)閷?duì)角線互相平分，所以所畫四邊形是平行四邊形，因?yàn)閷?duì)角線相等，所以該平行四邊形是矩形.

教學(xué)說明：本節(jié)課的難點(diǎn)是獲得矩形判定定理2，在學(xué)生獲得猜測(cè)并經(jīng)過小組合作討論以后，讓學(xué)生展示多樣的證明方法，感悟合情推理用來發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用來證明結(jié)論.在每一個(gè)判定定理得到后，都讓學(xué)生從文字語言翻譯成符號(hào)語言，規(guī)范幾何的書寫與表達(dá).值得說明的是，在每一個(gè)判定定理后，都讓學(xué)生思考如何借助“直角三角板”、“刻度尺”等工具來畫出圖形，培養(yǎng)學(xué)生平時(shí)養(yǎng)成良好的畫圖習(xí)慣.

3.練習(xí)運(yùn)用，鞏固定理

教師出示以下練習(xí)，學(xué)生獨(dú)立思考完成.

出示以下練習(xí)：

1.如圖8是由16個(gè)全等的小正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，請(qǐng)你利用網(wǎng)格的格點(diǎn)畫出一個(gè)矩形，并說明理由.

圖8

圖9

圖10

圖11

2.如圖9，BC是等腰三角形BED的底邊ED上的高線，四邊形ABEC是平行四邊形.

求證：四邊形ABCD是矩形.

教學(xué)說明：本片斷配備練習(xí)1的目的是讓學(xué)生鞏固矩形判定定理2，學(xué)生展示了圖10、圖11的圖形思路的獲得過程.練習(xí)2的目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范地書寫證明過程，本題既可以用矩形的定義來證明，也可以用矩形判定定理2來證明，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)題目的條件合理選擇證明方法.在完成這些練習(xí)后，讓學(xué)生圍繞圖12填寫依據(jù)，進(jìn)一步歸納矩形的判定方法，學(xué)會(huì)有條理地證明.

圖12

4.例題講解，拓展運(yùn)用

出示課本例2：

例2 一張四邊形紙板ABCD形狀如圖13所示，它的兩條對(duì)角線互相垂直.若要從這張紙板中剪出一個(gè)矩形，并使它的四個(gè)頂點(diǎn)分別落在四邊形ABCD的四條邊上，可怎樣剪？

圖13

圖14

主要教學(xué)過程如下：先讓學(xué)生嘗試解決例2中的問題，再閱讀課本116頁思考下列問題：（1）本題證明矩形的每一步依據(jù)是什么？（2）還有其他證明方法嗎？學(xué)生在閱讀后說明了每一步的依據(jù)，厘清了產(chǎn)生直角的思路：以中位線的方法產(chǎn)生了直線平行，從而以兩次平行線推理出一個(gè)內(nèi)角為直角.這樣重復(fù)三次可以得到三個(gè)角為直角，從而得到該四邊形是矩形.在學(xué)生完成例題和書上的練習(xí)后，教師再次幫助學(xué)生一起梳理證明矩形的方法：可以考慮先證明這個(gè)四邊形是什么四邊形？如果是平行四邊形，那么就再證明一個(gè)直角或?qū)蔷€相等，以定義或判定定理2，證明這個(gè)平行四邊形是矩形.如果無法證明該四邊形是平行四邊形，那么可以通過證明三個(gè)角為直角來直接判定矩形.

教學(xué)說明：例2從四邊形ABCD中裁剪出一個(gè)矩形，方法有很多（如畫圖說明），但是這種方法學(xué)生無法證明.所以，我們讓學(xué)生先獨(dú)立思考再閱讀課本例2的解題過程，作為判定的具體應(yīng)用.然后再一次梳理證明矩形的方法.值得說明的是，在學(xué)為中心的課堂里，我們把“反思與歸納”滲透在課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，課尾的歸納就是對(duì)歷次歸納的再次強(qiáng)化和升華.

三、“學(xué)為中心”理念下幾何定理教學(xué)的思考

1.以問題（或問題情境）激發(fā)學(xué)生思考，感悟定理的發(fā)現(xiàn)和提出過程

當(dāng)前，許多教師非常重視定理的識(shí)記和套用，但常常忽略定理的發(fā)現(xiàn)和提出過程.筆者認(rèn)為，定理教學(xué)應(yīng)該重視命題的提出和直觀理解的過程，應(yīng)該創(chuàng)設(shè)一些問題或者問題情境讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)一些對(duì)他們而言是新的數(shù)學(xué)結(jié)論，并體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的過程.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)和提出的過程，這不僅有利于學(xué)生獲得一些研究幾何對(duì)象的方法和經(jīng)驗(yàn)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，這些能力促進(jìn)了學(xué)生實(shí)踐和創(chuàng)新能力的提高，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).讓學(xué)生經(jīng)歷定理發(fā)現(xiàn)和提出的過程，主要有兩種途徑：一是設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)新命題；二是構(gòu)造原命題的逆命題發(fā)現(xiàn)新命題.如在本課教學(xué)中，筆者有意設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題“僅用直角三角板如何裁剪出矩形？”“僅用圓規(guī)如何驗(yàn)證一個(gè)四邊形是否為矩形？”讓學(xué)生在問題解決的過程中發(fā)現(xiàn)矩形的判定定理.

2.放手學(xué)生思考和討論，探索形成多樣化的證明思路

在幾何定理學(xué)習(xí)過程中，許多教師認(rèn)為定理的證明不會(huì)考，因此可以少講甚至不講，所以定理證明往往是匆匆過場(chǎng)而急于運(yùn)用，試圖通過大量的解題訓(xùn)練來掌握定理.事實(shí)上，學(xué)生尋求命題證明思路的過程就是反復(fù)熟悉命題題設(shè)的過程，也是熟悉命題結(jié)果的過程，這對(duì)定理運(yùn)用中尋求和構(gòu)造定理的條件并獲得結(jié)論提供了方向引領(lǐng)和有力支撐.如本教學(xué)片斷中通過證明對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形這個(gè)定理，使得學(xué)生在解決其他問題時(shí)明確求證平行四邊形，尋找對(duì)角線.在“學(xué)為中心”的課堂里，我們放手讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主討論，獲得多樣化的證明思路.在進(jìn)行交流展示時(shí)，要特別注重“不要說解題過程”，而是“要說思路的獲得過程”，讓更多的同學(xué)學(xué)會(huì)“怎樣想問題”.特別要注意的問題是學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)并不是自由性學(xué)習(xí)，在組織學(xué)生自主閱讀、討論的過程中，教師要巡視教室，發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)，有意識(shí)地參與某些小組的討論，搜集學(xué)生的思考信息.

3.搭建閱讀和書寫平臺(tái)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的表達(dá)習(xí)慣

一般地，書寫幾何定理的證明和運(yùn)用過程不像代數(shù)問題“算下去看著辦”，而是先通過圖形獲得解決問題的思路，有了解決問題的整體框架再規(guī)劃書寫解題過程.同時(shí)，書寫表達(dá)解題過程，也呈現(xiàn)了解題者的思路，形成了做事的習(xí)慣.在“學(xué)為中心”的課堂里，我們特別重視學(xué)生的“表達(dá)”：讓小組組員間互相說解題過程，通過投影展示學(xué)生的解法，糾正學(xué)生書寫中的跳步、敘述煩瑣和不當(dāng)?shù)默F(xiàn)象，通過教師的示范板演讓學(xué)生學(xué)會(huì)幾何定理文字語言和圖形語言、符號(hào)語言之間的互相轉(zhuǎn)換，通過閱讀模仿課本的例題進(jìn)行書寫.如本課教學(xué)中，我們讓學(xué)生閱讀定理和例2的證明過程，既是理清思路，也是學(xué)習(xí)書寫表達(dá)的過程.

4.重視幾何定理教學(xué)的工具意識(shí)，強(qiáng)化定理的鞏固與運(yùn)用

定理形成后，還要進(jìn)行及時(shí)鞏固與運(yùn)用.一般地，定理的運(yùn)用分為直接運(yùn)用與變式運(yùn)用.直接運(yùn)用就是所提供的試題的條件完全與定理的條件吻合，學(xué)生直接運(yùn)用定理的條件進(jìn)行證明或者計(jì)算，它的主要目的是加深對(duì)定理的理解與記憶.變式運(yùn)用需要學(xué)生根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行計(jì)算、推理或者構(gòu)造得到符合定理?xiàng)l件的幾何模型，再運(yùn)用定理解決問題，它對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析問題和解決問題的能力提出了較高的要求.但是，定理的運(yùn)用并不是單純地做題！在本課教學(xué)中，筆者在學(xué)生獲得矩形的判定定理1后，讓學(xué)生用直角三角板畫矩形，在獲得矩形判定定理2后讓學(xué)生用刻度尺畫矩形，設(shè)置練習(xí)1的網(wǎng)格圖用直尺畫矩形，例2讓學(xué)生嘗試用刻度尺畫出圖形，通過探究、驗(yàn)證和利用定理畫圖，使學(xué)生在課堂活動(dòng)中體會(huì)如何尋求定理的條件，這些練習(xí)讓學(xué)生運(yùn)用日常學(xué)習(xí)的常見工具（直尺、圓規(guī)、刻度尺、三角板）來解決問題，既有操作的載體，又體現(xiàn)工具的作用，讓動(dòng)手成為學(xué)習(xí)的習(xí)慣，通過工具的靈活運(yùn)用掌握探索幾何命題的方法.

總之，學(xué)為中心理念下的幾何定理教學(xué)要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，以適合學(xué)生自主性的課堂活動(dòng)為主要教學(xué)組織方式，努力發(fā)展學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力，養(yǎng)成會(huì)思考、會(huì)閱讀、會(huì)實(shí)踐、會(huì)歸納、會(huì)提升的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.