☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學初中部 孫長智

章建躍博士在《數(shù)學教育心理學》一書中特別提到：“調(diào)查表明，學生只會做‘結構良好’的題目，以獲得問題的答案為最后目標，不習慣于數(shù)學學習的反思和調(diào)節(jié)的情況非常嚴重.這是導致數(shù)學學習效率低下的重要原因，因此，培養(yǎng)學生數(shù)學學習的自我監(jiān)控能力具有很大的現(xiàn)實意義.”那么教師在教學中，如何來培養(yǎng)學生的自我監(jiān)控能力呢？筆者在日常教學中，嘗試挖掘教學素材的“自我監(jiān)控”功能，通過重構內(nèi)聯(lián)、激思促變，來培養(yǎng)學生學習中的自我監(jiān)控能力.現(xiàn)舉一教學案例說明，懇請各位同行批評指正！

一、對“自我監(jiān)控能力”的理解

自我監(jiān)控能力，顧名思義就是指在學習過程中，學生對自己思維過程的自我監(jiān)控和調(diào)節(jié)能力，在思維活動上表現(xiàn)出精確性、概括性、深刻性、批判性等鮮明特征.自我監(jiān)控能力體現(xiàn)在諸如問題方案的醞釀和優(yōu)化，解題方法的斟酌選擇，對問題答案的猜想和尋證，學習節(jié)奏的把握，錯誤原因的查找，反思總結經(jīng)驗教訓，以及客觀評價學習效果等多樣的學習活動中.具備一定的自我監(jiān)控能力是學生思維能力發(fā)展到較高層次，以及具有較成熟的學習能力和獨立解決問題能力的重要標志，而“提高學生的思維檢驗和反思技能是培養(yǎng)學生自我監(jiān)控能力的有效途徑”.

二、案例簡錄及評析

案例內(nèi)容來自人教版初中數(shù)學九年級上冊“24.1.4圓周角”一節(jié).根據(jù)教學需要，筆者對教材內(nèi)容作了大幅度的改編加工，后經(jīng)上課實踐，又對局部內(nèi)容加以調(diào)整，才有此案例.

1.找相關位置，“監(jiān)控”背景優(yōu)化

（在學習圓周角的定義后）

問題1：在一個圓中，可以作出無數(shù)個圓心角和圓周角，那么一個圓心角和一個圓周角之間可能存在著什么樣的關聯(lián)呢？先獨立畫圖探究，之后小組交流.

（教師收集學生的各類畫圖并用多媒體分類展示）

展示1：圓心角與圓周角沒有關系的情況舉例.如圖1（1）～（4）等.

圖1

展示2：圓心角與圓周角有關聯(lián)位置舉例.如圖2（1）～（4）.

圖2

師：哪位同學能講一講你的探究過程？

生1：“相關”就是有關系，一開始并不清楚，先畫圖，畫出一些圓心角和圓周角，然后對照去想是否有關系？經(jīng)過多次嘗試，我找出了圖2（2）、（3）兩個相關圖形.

生2：我是采用“一靜一動”方式來對比的，先畫一個不變的圓心角，另一個圓周角是動態(tài)的，位置變，大小也可變，試圖與圓心角建立聯(lián)系.圖2中的（1）～（4）我都找到了.

師：多數(shù)同學也是經(jīng)歷了“畫圖尋求，自我監(jiān)控，多次調(diào)整”這樣一個過程.圖1中所列位置，怎么理解“沒有關系”？

生3：因為它們不相關，一個角在變化（位置改變或大小改變），對另一個角沒有影響.

師：那圖2中所列情況，又如何認識其相關性呢？

生4：若A點（或B點）運動，兩角大小隨之變化.

生5：我承認點A或B運動時，兩角大小同時改變.但若是C點在圓周上運動，會發(fā)現(xiàn)與∠AOB無關啊？

生6：難道你沒發(fā)現(xiàn)圖2（1）～（3）中∠ACB都是相等的嗎？也就是說，盡管∠ACB的位置變了，但是∠AOB與∠ACB的大小都沒變.

（一石激起千層浪，學生議論紛紛，部分學生重新去畫圖、測量驗證）

生7：（補充）圖2中的圓都是等圓.圖2（1）～（4）等同于“同一圓中C點在圓周上不同位置∠ACB的呈現(xiàn)”.

師追問：圖2（4）中當點C在劣弧A（B上運動時，∠ACB的大小也不變嗎？

眾生：（畫圖測量后）是這樣.

師：問題1要求找出圓心角和圓周角之間的關系，你們的想法是什么？

生8：先找到圓心角與圓周角相關聯(lián)的位置，再探究它們之間的數(shù)量關系.

問題2：誰能總結出這兩類相關角的位置特征呢？生9：圓心角和圓周角兩邊的交點都在圓上.

評析：本環(huán)節(jié)教材上采用“單刀直入”的方式，直接出示問題：“研究同弧所對的圓心角與圓周角之間的關系.”現(xiàn)在將這種“確定”的問題變?yōu)殚_放性問題：“同圓中的一個圓心角和一個圓周角之間可能存在著什么樣的關聯(lián)呢？”問題被置于一個大的背景下，學生有作圖嘗試、有篩選對比、有交流反思，思維的活躍融匯著自我監(jiān)控和自我調(diào)整，這是學生自我監(jiān)控活動的“初體驗”.以找相關位置作為突破口，推進“作圖”和“講理”的有效展開，目的是引導學生從復雜、模糊的問題背景中抽身出來，開辟出一條清晰的思考路徑，這是任何“現(xiàn)成問題”所沒有的效果.在創(chuàng)設的教學情境中，教師適時調(diào)控，引導學生開展甄別、猜想及講道理等實踐活動，讓學生逐漸對自己的思維活動產(chǎn)生自我監(jiān)控的意識.

2.找特殊位置，“監(jiān)控”目標設定

問題3：我們找到了“相關的位置”（如圖2（1）～（4）），接下來要去做什么？又準備從哪兒入手呢？

幾生：求證數(shù)量關系，從圖2（1）入手.

生10：（補充）從特殊位置入手，如圖2（1），圓周角的一邊恰好過圓心，就是特殊位置.

師：為什么要找特殊位置？你認為哪類位置可稱得上是特殊位置呢？

生11：特殊位置相比一般位置信息多，更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

師：找特殊點、畫特殊圖形、取特殊位置確實是在解決問題中常見的先行獲取信息的捷徑.

生12舉手：還有一處特殊位置，如圖3，結構上與圖2（1）一樣.

師：很好！既然是特殊位置，發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了？

生13：∠AOB=2∠ACB，圖3結論也一樣.

圖3

問題4：我們在特殊位置下發(fā)現(xiàn)了圓心角與圓周角的數(shù)量關系，推而廣之，大家對一般位置下的圓心角與圓周角數(shù)量關系的猜想是什么？

評析：為什么會有自我監(jiān)控現(xiàn)象發(fā)生？訂立計劃和執(zhí)行計劃是學生自我監(jiān)控活動的主要依憑，計劃的導向作用會左右著人的思維走向.找特殊位置環(huán)節(jié)，就是訂立計劃的一部分，這一問題，讓學生自我監(jiān)控的心理活動加劇，“研究問題為什么往往從特殊情況入手？”“特殊位置在哪里？”“特殊位置下的結論是什么？”本環(huán)節(jié)的教學處理上，盡力拉長學生的思維鏈條，讓學生舒展想法，凸顯出學生自我監(jiān)控和自我認識深化的過程.思考后知道，之所以稱為特殊位置，是因為比一般位置包含有更多的信息，能讓我們未“做”先“知”，提前走出朦朧階段，盡早形成解決問題計劃的雛形.而當從“特殊”再回到“一般”時，學生自然而然的對問題的整體認知程度會升級，探究計劃也會在醞釀中趨于完善.

3.找轉化位置，“監(jiān)控”問題關聯(lián)

問題5：現(xiàn)在大家獲得了猜想∠AOB=2∠ACB，那么一般情況圖2（2）和圖2（3）下一步該如何求證呢？

（學生思考、討論）

幾生：我認為應該和特殊位置圖2（1）建立聯(lián)系.

師：你們怎么有這種想法？

生14：以前好多問題都是這樣考慮的，由特殊獲得一些認識，再推廣到一般，然后又利用特殊去求證.

師：好！那現(xiàn)在考慮如何與特殊情況的圖2（1）建立聯(lián)系？

生15：只能新造一條輔助“直徑邊”，如圖4，過C點作直徑CD，這樣圖4（1）、（2）就各包含有兩個圖2（1）的基本圖形.

圖4

師：請寫出證明過程（.稍等）還有問題嗎？

師：找找看是哪些基本圖形？（生答出）然后呢？

幾生：圖2（4）還沒說明關系.

生17：與圖4（1）一樣！圓周角是∠ACB，而圓心角是大于180°的∠AOB，輔助線作法、推證思路、結論均與圖4（1）一樣.

評析：解決問題靠轉化，而轉化的路徑和依據(jù)是教師引領的著力點，本環(huán)節(jié)教學素材是按這兩方面來重構的，以加強“通識通法”的教學，目的是讓學生自我監(jiān)控的觸角伸的更遠、更有力量.怎樣將一般情況（指圓心在圓周角內(nèi)部或外部時的情況）轉化為圓周角有一條“直徑邊”的特殊情況？從“特殊”到“一般”，又回到“特殊”，這條路徑上到底發(fā)生了什么？學生循問題方向而動，自我監(jiān)控的指向性和力度漸漸增強，對特殊（基本）圖形在解題中的作用印象深刻，同時見證了圖形的分解、組合這一解題策略的優(yōu)越性.

4.找歸納位置，“監(jiān)控”定理延展

問題6：相關位置下的圓心角和圓周角的數(shù)量關系已經(jīng)得出，想一想怎么總結？

生18：如果一個圓心角和一個圓周角兩邊的交點都在圓上，那么圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半.

師：僅看交點，如圖2（4）對應關系不夠明確！

生19：既然兩個角的兩邊的交點都在圓上，意味著這兩個角對著同一條弧，可以說成“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”.

眾生：這樣表達簡潔且清楚！

生20：這種說法還有一好處就是將圓周角和弧聯(lián)系起來了.前面學習垂徑定理，弧、弦、圓心角關系定理等，都有同弧或等弧的說法.

問題7：如果我們的視野再放開一點，將剛學的“圓周角定理”與前面所學圓的知識做一關聯(lián)性的銜接，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

圖5

整理后得到：

（1）同弧所對的圓周角相等.如圖5（1）中，∠C1=∠C2=∠C3等.

（2）在同圓中，等弧所對的圓周角相等；在同圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所對的弦相等.如圖5（2）中，若=，則∠C1=∠C2；若∠C1=∠C2，則=，A1B1=A2B2.

（3）在等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.如圖5（2）、（3）中，∠C=∠，則=（.討論：為什么強調(diào)在“等圓”中？）

（4）直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑，如圖5（4）所示.

師：請一名同學談談自己歸納新命題的心路歷程.

生21：學的這些定理中，以相同的量為橋梁，可溝通彼此，比如圓心角，弧、弦與圓心角有聯(lián)系，而圓心角與圓周角也有聯(lián)系.還有同弧與等弧，同圓與等圓，劣弧、優(yōu)弧與半圓等都可以類比推廣開來.

評析：本環(huán)節(jié)改變教材單一的定理總結，改為隨機性的真命題歸納，這對學生的知識基礎、歸納分析能力是一個大的考驗.各定理雜糅，同弧與等弧，同圓與等圓，劣?。ɑ騼?yōu)?。┡c半圓等，歸納位置多元，同時涉及到圓弧、弦、圓心角、圓周角等多種“圓量”，可謂林林總總.通過反思和歸納，學生對各命題之間關系的敏感性增強，使知識聯(lián)系寬泛而有序，方法使用靈活而多樣，并孕育了知識結構系統(tǒng).歸納的過程伴隨著對比、質疑、調(diào)整、優(yōu)化等自我監(jiān)控活動，同時新知識系統(tǒng)的構建為學生自我監(jiān)控質量的提高做了知識和方法上的儲備.

5.找變式位置，“監(jiān)控”應用變通

問題8：填空：

（1）如圖6（1）所示，C點是⊙O內(nèi)一點，且∠AOB、∠ACB在弦AB所在直線的同側，則∠AOB______∠ACB；

（2）如圖6（2）所示，C點是⊙O外一點，且∠AOB、∠ACB在弦AB所在直線的同側，則∠AOB______∠ACB（.填“＞、＜或=”）

圖 6

生24：圖7（1）中，延長AC與⊙O交于C′，連接BC′；圖7（2）中，設AC與⊙O交于C′點，連接BC′.

圖 7

問題9：如圖8，在⊙O中，圓周角∠ACB=30°，弦AB=2，求⊙O的半徑.

師：特殊角30°在△ACB中的作用不清楚，弦AB=2好像與半徑也聯(lián)系不上！

生25：如圖9（1），可作出A（B所對的圓心角，知∠AOB=60°，得到等邊△OAB，則半徑OA=AB=2.

生26：我有另一解法，如圖9（2），作直徑AC′，連接BC′，則∠C=∠C′，這樣就把30°條件轉移到了Rt△ABC′中，再利用“30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半”去考慮即可.

圖8

圖9

評析：如何實現(xiàn)定理與應用的有效銜接？考慮到新知識初次應用這一實際情況，本環(huán)節(jié)沒有采用教材上綜合程度較高的例題來教學，而是圍繞同弧所對的圓心角與圓周角的轉化關系，設置了兩道練習，難度不大，但是需要構圖，建立關聯(lián)，這是學生需要突破的地方.定理“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”，傳遞出了哪些信息？面對題中的“1 2∠AOB”你想到了什么？容易想到構造一個圓周角作為媒介，來聯(lián)系∠AOB與∠ACB，但緊接著另一個問題出現(xiàn)了，將新構造的圓周角放在哪里合適呢？類似地，問題9中，30°的圓周角如何與半徑（或直徑）建立聯(lián)系呢？這些需要跨越的問題提高了學生自我監(jiān)控的“思維量”，甚至出現(xiàn)膠著狀態(tài).隨著構圖完成，思路明朗，自我監(jiān)控活動也趨向平緩.

三、幾點想法

1.鼓勵和引導學生暴露思維過程，為學生自我監(jiān)控提供憑借

為了使自我監(jiān)控活動真正發(fā)生，需要“刺激源”.這個“刺激源”就是問題本身或者問題引領下的各種想法的展露.本案例通過具體而有挑戰(zhàn)性的問題序列（找相關位置、特殊位置、轉化位置、歸納位置、變式位置等）激發(fā)探究行動，學生在情境中有探究、有想法、有表達，這些“表達”是思維活動的直觀呈現(xiàn).講給別人聽或者聽別人講，都存在一個內(nèi)心關照或自評價的過程.或者邊講邊隨機改動最初沒有注意到的地方，或者講完后發(fā)現(xiàn)不對又推倒重來，或者講解中遇到新障礙講不下去，又或者聽完別人評價后加以改動，這些都是自我監(jiān)控活動的外在表現(xiàn).我們說，暴露的思維過程是學生自我監(jiān)控的憑借，是學生自身再提高的起點，更是教師開展教學活動的第一手材料.因此教師在教學中，要千方百計搭設平臺，讓學生將做法說出來，道理講出來，過程寫下來.

2.要強化反思和檢驗習慣的養(yǎng)成

學生的自我監(jiān)控能力實質是由學生的思維發(fā)展水平，特別是思維的深刻性、批判性等特征因素決定的.本案例注重學生思維品質的培養(yǎng)，如在背景優(yōu)化、目標設定、問題關聯(lián)、定理延展、應用變通等環(huán)節(jié)，為學生提供了較開闊的思考空間和交流平臺，斟酌選擇、嘗試操作、對比分析、關聯(lián)優(yōu)化等思維活動充分而深刻，通過教師點撥和追問，特別強化了反思和檢驗習慣的養(yǎng)成.需要提出的是，學習過程中，教師要經(jīng)常提醒學生隨時對自己的思維過程進行檢驗和反思，強化生成，這樣久而久之，學生的思維活動就會習慣性的被置于自我監(jiān)控之下，隨著自覺性、主動性等自我意識的增強，學生的學習活動便進入了高一級層次.

3.通過學習形成有價值的“思考結構”，讓學生的自我監(jiān)控“有章可循”

數(shù)學是思維的科學，自有一套具有普適性的思考結構和用于交流的符號形式，這種結構和符號形式是強大的，富有邏輯，簡明而且精確，是人們可以借助之，用于理解和處理新數(shù)學問題的一種思維方式.本案例圍繞圓周角定理呈現(xiàn)了清晰地思考結構：篩選出一個圓心角與一個圓周角的各種相關情形（一般）——從特殊位置獲取關鍵信息（特殊）——推廣形成猜想（一般）——轉化為特殊情形尋證（特殊）——歸納定理（一般）——定理應用（特殊）.這一思考結構和表達方式，將對學生產(chǎn)生積極的現(xiàn)實影響，具有推廣價值.教師在問題學習中，要努力幫助學生獲得這種有輻射力的“思考結構和符號形式”，以便讓學生的自我監(jiān)控越來越有“章法”.