胡 敏， 彭 偉， 金之儉， 袁國剛

(1．上海久隆電力公司變壓器修試分公司 上海，200436) (2．國網(wǎng)上海市電力公司電力科學研究院 上海，200437) (3．上海交通大學電子信息與電氣工程學院 上海，200240) (4．上海睿深電子科技有限公司 上海，201108)

引 言

隨著國民經(jīng)濟發(fā)展與城市化進程的推進，配電變壓器在各地城區(qū)得到廣泛的應用。保障這類變壓器安全可靠運行已經(jīng)成為供電部門的重要工作，分析并掌握這類變壓器在不同工作狀態(tài)下的振動特性對于日常巡檢和故障診斷有著重要指導意義。自20世紀90年代以來，振動噪聲測試與分析方法在電力領域得到普遍采用。丁登偉等[1]通過試驗方法采集并分析了調(diào)試中的特高壓直流輸變電系統(tǒng)對于周邊交流變壓器的振動影響。駱波等[2]采用復Morlet小波辨識變壓器繞組的模態(tài)參數(shù)。顧曉安等[3]應用多普勒激光測振儀和聲學測試系統(tǒng)分析變壓器鐵芯的振動和噪聲。

由于配電變壓器的振動和噪聲本質(zhì)上是一個包含電場、磁場、流體和結構在內(nèi)的復雜多物理場耦合作用，單純依賴數(shù)值仿真手段不足以全面把握系統(tǒng)的振動特性且難度很大，相比之下試驗方法簡便而易行，隨之而來的海量數(shù)據(jù)處理與分析對使用者提出了更高的專業(yè)要求。無論是經(jīng)驗模態(tài)分析(experimental modal analysis，簡稱EMA)還是工況模態(tài)分析[4](operational modal analysis，簡稱OMA)都不能很好地滿足多測點情況下的數(shù)據(jù)精細化與自動化分析的要求。文獻[5-6]引入了向量擬合法(vector fitting，簡稱VF)，并初步建立了振動參數(shù)自動化與精細化分析的基礎框架。向量擬合法[7-9]是一種基于部分分式展開的最小二乘法迭代方法，該方法能夠避免同類方法常見的數(shù)值病態(tài)缺點，并且在濾波器設計、電磁模擬以及醫(yī)學等多個領域得到推廣應用。

筆者應用向量擬合法與頻域復指數(shù)最小二乘法(PolyLSCF)對圓筒結構進行振動特性分析，并應用該方法分析配電變壓器在工作狀態(tài)下的振動數(shù)據(jù)。

1 向量擬合法原理

向量擬合法首先將系統(tǒng)頻響函數(shù)H(s)假定為有理多項式的部分分式展開

(1)

其中：a為頻響函數(shù)極點；p為留數(shù)；d和e為常系數(shù)。

接著設定初始極點并引入權重函數(shù)Θ(s)得到式(2)，那么權函數(shù)與系統(tǒng)頻響函數(shù)的乘積同樣可以用有理多項式的部分分式展開為式

由式(1)、式(2)和式(3)可以得到

(4)

將頻響函數(shù)H(s)的Ns個頻域點代入式(4)，可以得到一個線性最小二乘計算公式

Aix=bi

(5)

其中：i=1,2,…,Ns；Ns為頻域采樣點個數(shù)；bi=F(si)為測試值。

(6)

求解的未知量

(7)

將全部測試數(shù)據(jù)代入后，可以得到

(8)

式(8)可以通過QR方法進行數(shù)值求解獲得各項系數(shù)，那么權函數(shù)Θ(s)和Θ(s)H(s)的近似結果可以表示為

系統(tǒng)的頻響函數(shù)可以寫成

(9)

向量擬合法的主要優(yōu)點是分子與分母可以選擇不同的多項式階次來適應不同類型的分析模型，增加模型階次為噪聲提供出口的同時保證算法的穩(wěn)定性與魯棒性。

向量擬合法算法的過程如下：

1) 設定分析對象的多項式起止階次以及最高迭代次數(shù)；

2) 尋找響應曲線的主要峰值點，并設為初始極點；

3) 迭代循環(huán)計算，當?shù)螖?shù)達到最高迭代次數(shù)或者擬合曲線的頻響函數(shù)置信度達到預定時，退出本輪循環(huán)；

4) 若達到最高階次則退出，否則將計算結果補充新的初始極點后，回到步驟3。

算法步驟3中間的頻響函數(shù)置信度(frequency response assurance criterion，簡稱FRAC)的具體定義為

其中：Htest(ω)和Hfit(ω)分別為測試與擬合頻響函數(shù)；星號表示共軛轉(zhuǎn)置。

根據(jù)實踐經(jīng)驗，建議頻響函數(shù)置信度可以設定在0.95～0.99之間，同時極點數(shù)目應當比頻響函數(shù)的譜線數(shù)至少低一個數(shù)量級，從而避免過擬合現(xiàn)象發(fā)生。

2 向量擬合法有效性驗證

為了驗證向量擬合法對配電變壓器振動數(shù)據(jù)分析的有效性，筆者選取了與配電變壓器外殼具有一定幾何相似性的圓筒結構的振動測試數(shù)據(jù)作為驗證用算例，采用頻域復指數(shù)最小二乘法的模態(tài)頻率和阻尼結果作為參照。圓筒測點布置圖見圖1，沿圓周方向合計13個測點，選擇#1作為參考點。圖2為#1的時域加速度響應， 采樣頻率為8 kHz，采樣時間為36.4 s。頻域復指數(shù)最小二乘方法的模型階次設定為15～90，同時為了驗證向量擬合法的數(shù)值穩(wěn)定性和魯棒性，模型階次設定為40～320。

表1列出了兩種方法辨識得到的模態(tài)頻率和阻尼，可以看出向量擬合法與頻域復指數(shù)最小二數(shù)法的結果吻合很好。從圖3和圖4對比可以發(fā)現(xiàn)，向量擬合法的模型階次在高達320的情況下，仍然能夠保證數(shù)值穩(wěn)定性和魯棒性。

圖1 測點布置示意圖Fig.1 Test points setting

圖2 測點1的時域響應Fig.2 Point 1 time-domain response

定義曲線擬合誤差公式以便比較向量擬合法的擬合結果誤差。

表1 兩種方法結果對比

圖3 頻域復指數(shù)最小二乘法的穩(wěn)定圖Fig.3 Stable diagram of VF

圖4 向量擬合法的穩(wěn)定圖Fig.4 Curve of fitted FRFs

(10)

其中：Fmeasure為測試數(shù)據(jù)；Ffit為擬合結果。

由圖5可以看出，隨著模型階次的增加，向量擬合法的擬合誤差迅速下降，最低可以達到48 dB，再次表明該方法良好的數(shù)值穩(wěn)定性和魯棒性。這一特性能夠降低對使用者相關專業(yè)知識和經(jīng)驗的要求。

圖5 擬合誤差曲線Fig. 5 Curve of fitted FRFs

3 試驗分析

配電變壓器在屏蔽消聲室環(huán)境中進行振動測試，試驗對象為上海忠久變壓器公司的S11-320/10油浸變壓器，額定電壓為10/0.4 kV，額定電流為18.48/462 A。

振動測量采用36個加速度傳感器，將變壓器的4個表面分為均勻的網(wǎng)格，其中高壓側和低壓側分別布置了12個測點，左右兩側分別布置了6個測點，測量箱壁上的法向振動。試驗項目為了其他試驗目的加裝了4個噪聲測點同步測量噪聲信號，變壓器工況采用額定空載狀態(tài)進行試驗，測點布置與變壓器實物如圖6、圖7所示。

圖6 試驗裝置圖Fig.6 Power transformer for testing

圖7 試驗測點圖Fig.7 Setting of test points

圖8 測點#19，#23和#27自功率譜Fig.8 Test point #19, #23 and #27 auto power spectrum

圖9 測點#13，#15和#17自功率譜Fig.9 Test point #13, #15 and #17 auto power spectrum

首先對全部36個測點的振動測試數(shù)據(jù)進行降噪和平滑的預處理，然后計算得到功率譜矩陣。從變壓器高壓自頂向下選擇#19，#23和#27，從變壓器側邊自頂向下選擇#13，#15和#17，通過上述點的自功率譜數(shù)據(jù)圖8和圖9對比，可以看出變壓器100 Hz的工作頻率及其倍頻引起的強迫振動響應占據(jù)主導地位，在600 Hz以上的頻率段內(nèi)強迫振動響應衰減明顯。位于變壓器底部的響應要明顯高于頂部的響應，這是由于在空載狀態(tài)下變壓器的主要振動源是鐵芯，而變壓器箱壁底部與鐵芯直接通過底腳螺栓連接固定，造成變壓器底部的振動量級更大。

接著用向量擬合對全部測點的振動數(shù)據(jù)進行分析，分析頻率為0～640 Hz，模型階次從50增長到500，圖10為向量擬合法得到的穩(wěn)定圖。由圖11可看出，隨著向量擬合法的模型階次逐步增加，擬合曲線的誤差迅速下降并保持穩(wěn)定。

圖10 穩(wěn)定圖Fig.10 Stable diagram

圖11 變壓器擬合誤差曲線Fig.11 Curve of transformer′s fitted FRFs

通過分析得到了表2所示的100 Hz工作頻率及其倍頻引起的虛假模態(tài)頻率以及表3所示的系統(tǒng)的模態(tài)頻率和阻尼，可以看出，這些激勵頻率對應的阻尼比低于0.01%，通過判斷阻尼比能夠辨識出虛假模態(tài)。

表2 激勵引起的虛假模態(tài)

表3 系統(tǒng)的模態(tài)頻率和阻尼

對于變壓器殼體底部的振動量級較大的#35和#36測點數(shù)據(jù)單獨使用向量擬合法進行振動特性的精細化分析，模型分析階次從40到300。通過阻尼比篩選剔除激勵引起的虛假模態(tài)后，發(fā)現(xiàn)41.4 Hz處可能存在1階局部模態(tài)。進一步分析試驗數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)由于變壓器頂部測點#31和#32在該頻率處的振動量級10-10g遠小于底部測點#35和#36振動量級10-6g，故在整體分析中該階模態(tài)完全有可能因為振動能量太小而被噪聲信號掩蓋，在后續(xù)工作中需要借助測試與仿真手段對此深入研究。由圖12可看出，曲線擬合法能夠很好地擬合測試數(shù)據(jù)，擬合誤差比測試數(shù)據(jù)要小1～2個量級,所以在變壓器振動測試和故障診斷中，底部的振動量級大。通過向量擬合法能夠辨識出可能的局部模態(tài)，并能很好地擬合測試曲線，可以為測點的優(yōu)化和故障診斷提供參考依據(jù)。

圖12 測點#36的擬合結果對比Fig.12 Test curve and fitted curve of point #36

4 結束語

通過單獨對變壓器殼體底部振動量級較大的部分測點進行擬合分析發(fā)現(xiàn)，擬合曲線和測試數(shù)據(jù)吻合很好，誤差比測試數(shù)據(jù)小1～2個數(shù)量級，并辨識出底部存在1階局部模態(tài)，因此可以通過變壓器的工作狀態(tài)提取其模態(tài)參數(shù)。向量擬合法可以用于分析配電變壓器的振動特性，其特點為：a.識別的穩(wěn)定性更高，在高階次仍然有比較好的魯棒性；b.可以快速剔除由于受迫振動造成的虛假模態(tài)。模態(tài)參數(shù)對應著試驗對象的動力學特征，可以將向量擬合法進一步應用在變壓器的振動測點布置優(yōu)化或者降低測點數(shù)，從而簡化振動測量的工作量，并且通過局部的模態(tài)特征識別可以和內(nèi)部特征變化對應起來進行深入研究。

參 考 文 獻

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