劉基偉，張輝

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

1 引言

由于對可靠小樣本統(tǒng)計的需求日益增長，小樣本預測是一個很重要的課題。多年來，學者們對小樣本非平穩(wěn)時間序列的預測問題做了深入研究，突出問題是，對于非平穩(wěn)時間序列，當系統(tǒng)受到干擾的嚴重影響時，過去的可用數(shù)據(jù)不能如實反映系統(tǒng)的規(guī)律。因此，為使預測模型的擾動界變小，引入分數(shù)階經典弱化緩沖算子，對原始序列進行微調來提高預測精度，并且通過建立時變參數(shù)離散灰色模型對實例進行研究驗證。

2 分數(shù)階弱化緩沖算子的構造

經典弱化緩沖算子充分考慮每個數(shù)據(jù)的優(yōu)先性，而變權弱化緩沖算子只考慮最新一個數(shù)據(jù)的優(yōu)先性[1]，所以從綜合利用原有數(shù)據(jù)信息的角度考慮，經典弱化緩沖算子是一種不錯的緩沖算子。

容易證明，經典弱化緩沖算子的階數(shù)越高，越能體現(xiàn)新信息的作用，提高預測質量[1]。但是經典弱化緩沖算子不能實現(xiàn)緩沖作用強度的微調，本文引入分數(shù)階弱化緩沖算子。

一階弱化緩沖算子的矩陣形式為：

二階弱化緩沖算子的矩陣形式為

若X(0)為單調衰減序列，因為A(X(0))T≤(X(0))T，A為可逆矩陣，可得A-1A(X(0))T≤A-1(X(0))T，即(X(0))T≤A-1(X(0))T，所以D-1為單調衰減序列的強化緩沖算子；同理D-1為單調增長序列的強化緩沖算子。

若X(0)為震蕩序列，x(0)(l)=max{x(0)(k)，k=1，2，…n}，x(0)(h)=min{x(0)(k)，k=1，2，…n}，

3 時變離散參數(shù)灰色預測模型介紹

對于實際應用的數(shù)據(jù)，因為受到外界諸多沖擊因素的干擾而失真。為了能夠準確地挖掘事物規(guī)律，針對以往模型使用連續(xù)時間響應時進行預測產生的跳躍性誤差，本文構造二次時變參數(shù)離散灰色模型。

定理3.1 設x(0)(k+1)d1=(β1+β2k)x(0)(k)d1+β3k+β4為線性時變參數(shù)離散灰色模型，其中x(0)(k)為原始序列觀測值，d1為經典弱化緩沖算子。則該模型的最小二乘參數(shù)估計分別為：

4 實例研究：不同分數(shù)階預測結果比較

本文以我國北京市科普專項經費為例，比較不同階數(shù)經典弱化緩沖算子對模型預測結果的影響。原始數(shù)據(jù)見表1，數(shù)據(jù)來源《中國統(tǒng)計年鑒》。

表1 2008-2015年 江蘇省年度科普經費籌集額(萬元)

取2008-2014年數(shù)據(jù)為原始序列，分別建立0.6階、0.8階、1階經典弱化緩沖算子的線性時變參數(shù)離散模型，對2015年數(shù)據(jù)進行預測，預測結果及誤差見表2。

表2 三種模型預測值與誤差比較

由表2結果對比說明，0.8階經典弱化緩沖算子可以實現(xiàn)模型的微調，擬精度較高，能較好地挖掘系統(tǒng)的發(fā)展趨勢，得到比較好的預測精度。