湖北 張金娥 廖慶偉

函數(shù)與導數(shù)在高考試卷中形式新穎且呈現(xiàn)出多樣性，涵蓋了選擇題、填空題及解答題.客觀題主要以考查函數(shù)的基本性質、函數(shù)圖象及變換、函數(shù)零點、導數(shù)的幾何意義、定積分等為主，也曾與不等式等知識綜合考查；解答題主要是以導數(shù)為工具解決函數(shù)、方程、不等式等應用問題.

其命題特點包含了以下多個角度.

①全方位：題型全，雖然高考不強調知識點的覆蓋率，但函數(shù)知識點的覆蓋率依然沒有減小.

②多層次：低檔題、中檔題、高檔題層次分明，從題序中就能判斷出來.

③巧綜合：突出函數(shù)在中學數(shù)學中的主體地位，強化了函數(shù)與其他知識的滲透，加大了以函數(shù)為載體的多種方法、多種能力(包括閱讀能力、理解能力、表述能力、信息處理能力)的綜合程度.

④變角度：函數(shù)應用題、探索題、開放題和信息題的考查，使函數(shù)考題新穎、生動、靈活.

⑤重能力：以導數(shù)為背景與其他知識(如函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等)交匯命題，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力和數(shù)學素養(yǎng).

考點透視1 導數(shù)的幾何意義

導數(shù)的幾何意義把函數(shù)的導數(shù)與曲線的切線聯(lián)系在一起，利用導數(shù)的幾何意義破解曲線的切線問題屬于高考的高頻考點. 2017年高考題中考查在某點的切線方程的有：全國卷Ⅰ文第14題、全國卷Ⅲ文第20(Ⅰ)題、北京卷文第20(Ⅰ)題、北京卷理第19(Ⅰ)題、山東卷理第20(Ⅰ)題、天津卷文第10題，第19(Ⅱ)題.

【解題技巧】求曲線的切線方程是導數(shù)的重要應用之一，用導數(shù)求切線方程的關鍵在于求出切線的斜率.

求曲線切線方程的一般流程：

【跟蹤練習】

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考點透視2 函數(shù)的單調性

函數(shù)的單調性是函數(shù)在定義域內局部的性質，因此利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性要先考慮函數(shù)的定義域，再利用導數(shù)在定義域內的符號來判斷函數(shù)的單調性，某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調性無關，但如果能挖掘其內在聯(lián)系，抓住其本質，運用函數(shù)的單調性解題，就能起到化難為易、化繁為簡的作用.利用導數(shù)破解函數(shù)的單調性屬于高考高頻考點和熱點.

2017年高考題中考查討論函數(shù)單調性的問題有：全國卷Ⅰ文第21(Ⅰ)題、全國卷Ⅱ文第21(Ⅰ)題、全國卷Ⅲ文第21(Ⅰ)題、天津卷文第19(Ⅰ)題、全國卷Ⅰ理第21(Ⅰ)題、山東卷理第20(Ⅱ)題、天津卷理第20(Ⅰ)題、全國卷Ⅲ理第21(Ⅰ)題.

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解法二：①當t=0時，不等式恒成立；

【解題技巧】已知函數(shù)單調性，求參數(shù)范圍的兩個方法:

①利用集合間的包含關系處理：y=f(x)在(a，b)上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集.

②轉化為不等式的恒成立問題：即“若函數(shù)f(x)單調遞增，則f′(x)≥0；若函數(shù)f(x)單調遞減，則f′(x)≤0”.

f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.

導數(shù)法求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間的一般流程：

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例3.(2017·全國卷Ⅰ理·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(a∈R).討論f(x)的單調性.

【解析】由已知得f(x)的定義域為(-∞,+∞)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1)，

①若a≤0，則f′(x)<0，所以f(x)在(-∞,+∞)上單調遞減.

②若a>0，則由f′(x)=0得x=-lna.

當x∈(-∞,-lna)時，f′(x)<0；當x∈(-lna,+∞)時，f′(x)>0，

所以f(x)在(-∞,-lna)上單調遞減，在(-lna,+∞)上單調遞增.

綜上，當a≤0時，f(x)在R上單調遞減；

當a>0時，f(x)在(-∞,-lna)上單調遞減，在(-lna,+∞)上單調遞增.

【解題技巧】用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性時，首先應確定函數(shù)的定義域，然后在函數(shù)的定義域內，通過討論導數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調區(qū)間.在對函數(shù)劃分單調區(qū)間時，除了必須確定使導數(shù)等于0的點外，還要注意定義區(qū)間內的間斷點.用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，突破口是討論導數(shù)的符號.注意：區(qū)間的端點可以屬于單調區(qū)間，也可以不屬于單調區(qū)間，對結論沒有影響.寫單調區(qū)間時，不要使用符號“∪”，可以用“，”“和”分開各區(qū)間，原因是各單調區(qū)間用“∪”連接的條件是在合并后的區(qū)間內函數(shù)單調性依然成立.要特別注意的是，涉及含參數(shù)的單調性或單調區(qū)間的問題，一定要弄清參數(shù)對導數(shù)f′(x)在某一區(qū)間內的符號是否有影響.若有影響，則必須分類討論.

【跟蹤練習】設函數(shù)f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx.討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.

①當a≥0時，對任意x>0，f′(x)>0，

所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞).

考點透視3 函數(shù)的極值與最值

用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值是高考命題的重要考點.2017年高考題中考查求函數(shù)的極值、最值的有：山東卷文第20(Ⅱ)題、北京卷文第20(Ⅱ)題、山東卷理第20(Ⅱ)題、全國卷Ⅱ理第11題、第21(Ⅱ)題.2017年高考題中考查求參數(shù)的取值范圍的有：江蘇卷第11題.

例4.(2005·全國卷Ⅰ文·3)函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9，已知f(x)在x=-3時取得極值，則a=

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A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】將函數(shù)f(x)求導得f′(x)=3x2+2ax+3，

因為函數(shù)f(x)在x=-3時取得極值，所以f′(-3)=3×(-3)2+2a×(-3)+3=0，即a=5，故選D.

【解題技巧】可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，即f′(x0)=0是可導函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件.利用導數(shù)研究函數(shù)極值的一般流程：

【跟蹤練習】已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】因為函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有極大值又有極小值，

所以f′(x)=3x2+6ax+3(a+2)有兩個極值點，

即方程3x2+6ax+3(a+2)=0有兩個不同的實數(shù)根，

所以Δ=36a2-4×3×3(a+2)>0，解得a<-1或a>2.

故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞).

例5.(2011·全國卷Ⅰ文·21)已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4，a∈R.

(Ⅰ)證明：曲線y=f(x)在x=0處的切線過點(2,2)；

(Ⅱ)若f(x)在x=x0處取得最小值，x0∈(1,3),求a的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)因為f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4，所以f′(x)=3x2+6ax+3-6a，

所以f′(0)=3-6a，即f(x)在x=0處的切線的斜率k=3-6a，

又f(0)=12a-4，所以曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為y-(12a-4)=(3-6a)(x-0)，

即(3-6a)x-y+12a-4=0，令x=2，則y=2(3-6a)+12a-4=2，

所以曲線y=f(x)在x=0處的切線過點(2,2).

(Ⅱ)由f′(x)=0得x2+2ax+1-2a=0.

【解題技巧】在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.函數(shù)最值是個“整體”概念，而極值是個“局部”概念.

【跟蹤練習】已知函數(shù)f(x)=xlnx.則f(x)在區(qū)間[t,t+2](t>0)上的最小值為__________.

【解析】函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，f′(x)=lnx+1，

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x0,1e 1e1e,+∞ f'(x)-0+f(x)單調遞減極小值單調遞增

考點透視4 與函數(shù)零點有關的問題

用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題是高考命題的熱點.2017年高考題中考查函數(shù)零點求參數(shù)的值或取值范圍的有：全國卷Ⅲ文第12題、全國卷Ⅰ理第21(Ⅱ)題、全國卷Ⅲ理第11題.

例6.(2014·全國卷Ⅰ理·11)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是

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A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2),故選C.

解法二：因為f′(x)=3ax2-6x，當a=3時，f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2)，

不符合題意，排除A，B；

不符合題意，排除D，故選C.

【解題技巧】已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法：

①直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

②分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決.

③數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.

【跟蹤練習】函數(shù)y=ex-mx在區(qū)間(0,3]上有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________.

例7.(2016·全國卷Ⅰ理·21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設x1，x2是f(x)的兩個零點,證明：x1+x2<2.

【解析】(Ⅰ)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)·(ex+2a),

①設a=0,則f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一個零點,

②設a>0,則當x∈(-∞,1)時,f′(x)<0；當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0,

所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,

故f(x)存在兩個零點.

③設a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

又當x≤1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點.

因此f(x)在(1,ln(-2a))上單調遞減，在(ln(-2a),+∞)上單調遞增.又當x≤1時,f(x)<0，

所以f(x)不存在兩個零點.

綜上，a的取值范圍為(0,+∞).

(Ⅱ)不妨設x1f(2-x2)，即f(2-x2)<0.

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，

所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex，則g′(x)=(x-1)·(e2-x-ex).

所以當x>1時，g′(x)<0，而g(1)=0，故當x>1時，g(x)<0.

從而g(x2)=f(2-x2)<0，故x1+x2<2.

【解題技巧】對于含有參數(shù)函數(shù)的單調性、極值、零點問題，通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論，要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或極值.

考點透視5 函數(shù)圖象問題

函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質，為研究函數(shù)的數(shù)量關系提供了“形”的直觀性.歸納起來圖象的應用常見的命題角度有：研究函數(shù)的性質；確定方程根的個數(shù)；求參數(shù)的取值范圍；求不等式的解集.

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【解析】因為y=f(x)的定義域為{x|x>-1且x≠0}，排除D；

所以當x∈(-1,0)時，f′(x)<0，即y=f(x)在(-1,0)上是減函數(shù)；

當x∈(0,+∞)時，f′(x)>0，即y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).排除A，C，故選B.

【解題技巧】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：

①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；

②從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復；

⑤從函數(shù)的特征點，排除不符合要求的圖象.

【跟蹤練習】設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)，若函數(shù)y=f(x)ex在x=-1處取得極值，則下列圖象不可能為y=f(x)的圖象是

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【解析】由y=f(x)ex=ex(ax2+bx+c)可得y′=ex[ax2+(b+2a)x+b+c]，

當x=-1時，函數(shù)y=f(x)ex取得極值，所以-1是方程ax2+(b+2a)x+b+c=0的一個根，

所以a-(b+2a)+b+c=0，即c=a，所以函數(shù)f(x)=ax2+bx+a，

由此得函數(shù)f(x)相應方程f(x)=ax2+bx+a=0兩根之積為1，對照四個選項，D不成立，故選D.

考點透視6 恒成立(或存在性)問題

以函數(shù)為背景用導數(shù)研究恒成立問題是高考命題的高頻考點.常常與其他知識(如函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等)交匯命題.利用導數(shù)解決相關問題，是命題的熱點，而且不斷豐富創(chuàng)新.解決該類問題要注意函數(shù)與方程、轉化與化歸、分類討論等數(shù)學思想的應用.

2017年高考題中考查由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的有：全國卷Ⅰ文第21(Ⅱ)題、全國卷Ⅱ文第21(Ⅱ)題、天津卷文第19(Ⅱ)題、江蘇卷第11題.

2017年高考題中考查不等式證明的有：天津卷理第20(Ⅱ)題、全國卷Ⅱ理第21(Ⅱ)題、江蘇卷第20(Ⅱ)題、全國卷Ⅲ文第21(Ⅱ)題.

(Ⅰ)設a>0，討論y=f(x)的單調性；

(Ⅱ)若對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)因為f(x)的定義域為(-∞,1)∪(1,+∞).

所以令f′(x)>0，即ax2+(2-a)>0，

①當00，解得x∈(-∞,1)，(1,+∞)，

所以f(x)在(-∞,1)，(1,+∞)上單調遞增.

(Ⅱ)(ⅰ)當0f(0)=1;

綜上當且僅當a∈(-∞,2]時，對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.

【解題技巧】本題通過作差構造函數(shù)，分析其單調性、最值，得出函數(shù)值恒大于或小于0，使問題得證.對于恒成立問題，其根本思想是 “轉化”，而轉化有兩種方法：分離參數(shù)法和不分離參數(shù)法，對于不等式試驗區(qū)間端點值成立的情形，一般采用不分離參數(shù)法，相比分離參數(shù)法操作簡單，可以視不同情形，選擇不同的方法.

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A.[0,1)∪(1,+∞) B.(0,+∞)

C.(-∞,0]∪(1,+∞) D.(-∞,1)∪(1,+∞)

當a<0時，f′(x)>0，f(x)在x>0上單調遞增，當x趨近于0時,f(x)不恒大于0，不成立，

當a>0時，f(x)在(0，a)上單調遞減，在(a，+∞)上單調遞增，

所以f(x)min=f(a)=a2-a-alna=a(a-1-lna)，

g(a)min=g(1)=0，故當a>0且a≠1時，f(x)>0，

綜上，a的取值范圍是[0,1)∪(1,+∞)，故選A.

(Ⅰ)求b；

【解題技巧】含有字母時，常需要分類討論，分類時要做到不重不漏.存在性不等式問題常用的解題技巧：

若存在x1∈[a,b]，對于任意的x2∈[m,n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)max≤g(x2)min.

若存在x1∈[a,b]，對于任意的x2∈[m,n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)max.

若存在x1∈[a,b]，總存在x2∈[m,n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)min≤g(x2)max.

若存在x1∈[a,b]，總存在x2∈[m,n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)max≥g(x2)min.

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【解析】由題意知，函數(shù)f(x)表示動點M(x,2lnx)和動點N(a,2a)間的距離的平方，其中動點M(x,2lnx)在函數(shù)y=2lnx的圖象上，動點N(a,2a)在直線y=2x上，

問題可轉化為求直線y=2x上的動點到曲線y=2lnx的最小距離，

此時點N(a,2a)恰好為垂足，

依據(jù)考試大綱說明，深度分析命題規(guī)律，結合高考命題信息，預測2018年高考對有關函數(shù)的綜合題的考查，重在對函數(shù)與導數(shù)知識理解的準確性、深刻性，重在與方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等相關知識的相互聯(lián)系，要求考生具備較高的數(shù)學思維能力和綜合分析問題能力以及較強的運算能力，體現(xiàn)以函數(shù)為載體，多種能力同時考查的命題思想.

1.定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，若對任意實數(shù)x，有f(x)>f′(x)，且f(x)+2 018為奇函數(shù)，則不等式f(x)+2 018ex<0的解集是

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A.(-∞,0) B.(0,+∞)

由于f(x)+2 018為奇函數(shù)，所以f(0)=-2 018，g(0)=-2 018，

所以不等式f(x)+2 018ex<0的解集是(0,+∞)，故選B.

2.已知函數(shù)f(x)=2x+alnx(a∈R).

(Ⅰ)f(x)在(2,f(2))處的切線與直線x-2y+4=0平行，求a的值；

即(4+a)x-2y-2a+2aln2=0，

因為f(x)在(2,f(2))處的切線與直線x-2y+4=0平行，

所以4+a=1，解得a=-3.

當a≤e時，因為x≥1,ex-a≥0，g′(x)≥0，g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)，

所以當x≥1時，g(x)≥g(1)=e-a≥0，符合.

當a>e，x>lna時，g′(x)>0，當1

所以g(x)在(lna,+∞)上是增函數(shù)，在(1,lna)上是減函數(shù)，

當1

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(-∞,e].

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；

(Ⅱ)若存在x1,x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)由已知得x>0，x≠1.

(Ⅱ)命題“若存在x1,x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立”等價于“當x∈[e,e2]時，f(x)min≤f′(x)max+a”，

(ⅰ)當-a≥0，即a≤0時，f′(x)≥0在[e,e2]恒成立，故f(x)在[e,e2]上為增函數(shù)，

存在唯一x0∈(e,e2)，使f′(x)=0，且滿足：

當x∈(e,x0)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當x∈(x0,e2)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)；