浙江 萬小梅

在數(shù)學知識體系中，導數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性和最值等問題十分有效的工具，也是新高考中必考的一類題型，時常有參數(shù)介入，無形中增加了試題的難度，是學生失分多且不易攻破的難點，而它主要難在學生解決含參導數(shù)問題時思維紊亂，討論時缺乏條理性和完整性.導數(shù)問題的運用中，單調(diào)性的分析是解答問題的“必經(jīng)之路”，在知曉定義域的前提下對函數(shù)求導，便面臨著對參數(shù)的討論，如何才能準確且有效地解決這類問題?事實上，這類含參問題看似復雜，但都是程序思維，可以形式化處理.這里筆者從“三問”入手，就如何全面理清含參導數(shù)的單調(diào)性問題談談自己在實際教學中的一些認識，以期引起讀者思考.

解題程序圖如下：

下面就實例談談具體的做法.

解：先確定函數(shù)定義域，求導，導函數(shù)通分、因式分解到最簡.

由已知，定義域為(0，+∞),

一問：導數(shù)有沒有解.引發(fā)以下思考：當ax2-2=0沒有解時，則導函數(shù)的根完全由(x-1)決定；如果有解，則會出現(xiàn)除1以外的根，故要對a與0的大小進行討論，討論結果如下：

當a≤0時，ax2-2<0,且當f′(x)=0時，x=1，

則f′(x)>0得x<1,即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

二問：解有沒有用.解有沒有用主要是在解出導數(shù)方程的根后，對根是否在函數(shù)的定義域內(nèi)進行判斷，若所得根滿足定義域則等待下一步討論；若所得根不在定義域范圍內(nèi)，則舍去.

三問:解誰大誰小.在得到兩個或兩個以上的根時，為確定根與根之間的大小可對a再次討論，如下：

綜上,當a≤0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

當a=2時，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，

此題對a進行的四次討論，因“三問”變得條理清晰，不僅能自然地引發(fā)學生思考，且很好地避免了重復和遺漏的現(xiàn)象，整個過程是一個嚴密的程序思維，學生容易掌握.

解：由已知，定義域為(0，+∞)，

當a≠0時，Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).

①當a>0時，x1<0且x2<0，即f′(x)=0在(0，+∞)上無解,即f′(x)>0,則f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

上面兩個單調(diào)性的討論，三問三思，整個過程環(huán)環(huán)相扣，三個問題看似簡單，其實充斥著大量的思維訓練，例1中導函數(shù)求解后，能夠因式分解，便直接進入二、三問；而例2中，導函數(shù)方程不能簡單的因式分解，則在問題提出后，開始問與思的互動過程：

導函數(shù)方程沒有辦法求解的問題也可以用這樣的方式去問，引發(fā)思考從而達到完整解答的目的.

解：由已知，f(x)-g(x)≥0恒成立,

即6xex-1-4a+3-2ax3-3x2+6(a-1)x≥0,

令h(x)=6xex-1-4a+3-2ax3-3x2+6(a-1)x,

則h′(x)=6(x+1)(ex-1-ax+a-1), (1)

令t(x)=ex-1-ax+a-1，則t(1)=0,

t′(x)=ex-1-a, (2)

當a≤1時，t′(x)≥0,則t(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增,

所以t(x)>0,則h′(x)>0，即h(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增,又h(1)=0,則h(x)≥0恒成立.

當a>1時，解t′(x)=0,即ex-1=a，得x0=1+lna∈[1,+∞),

則t(x)在(1，1+lna)上單調(diào)遞減，在(1+lna,+∞)上單調(diào)遞增，

又t(x0)<0,則存在x′，使得h′(x′)=0，當h′(x′)>0時，得x>x′，

所以h(x)在(1，x′)上單調(diào)遞減，在(x′,+∞)上單調(diào)遞增,

所以h(x)min=h(x′)

綜上a≤1.

題目中構造的函數(shù)相對比較復雜，所以導函數(shù)化到最簡的重要性也體現(xiàn)出來，如(1)，在(1)中的兩個因式，x+1>0,而ex-1-ax+a-1是由兩個不同類函數(shù)(一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù))構成，比較難求解，但是“看”出了x=1是其中一根，這里自然需要討論是否存在另外的根，下面的討論也很自然，構造新函數(shù)并二次求導(如(2))，即分析出ex-1-ax+a-1=0有兩個根，并且能比較大小，后面的解答也就水到渠成，整個分析過程充分體現(xiàn)了“三問三思”在解決問題時體現(xiàn)的條理性和完整性.