廣東 王常斌

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是使人變得聰明，讓學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)解決問題的一般方法和步驟.而長(zhǎng)期以來，我們教學(xué)走入一個(gè)誤區(qū)，重知識(shí)的傳授而忽視了對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)或者說忽視了對(duì)學(xué)生智力的開發(fā)，表現(xiàn)出來的現(xiàn)象或者是滿堂灌，或者是題海戰(zhàn)術(shù)，新課的講解缺少知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，就像章建躍老師說的“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意，幾個(gè)例題，大量練習(xí)”，這樣的教學(xué)培養(yǎng)的學(xué)生對(duì)知識(shí)理解不到位，知其然而不知其所以然，更達(dá)不到“何由以知其所以然”.只會(huì)死搬硬套，只會(huì)死做題，做死題，碰到真正靈活，需要有較多的思維參與的題，也難以考出高分.2016年新修訂的考綱中明確提出了從數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)的科學(xué)與人文價(jià)值三個(gè)方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，這體現(xiàn)了知識(shí)與能力并重、科學(xué)與人文兼顧的精神，同時(shí)也是對(duì)我們教學(xué)的一種導(dǎo)向.

在一次高三地市級(jí)組織的模擬考試中，某區(qū)的數(shù)學(xué)平均分與其他幾個(gè)區(qū)相比有優(yōu)勢(shì)，但一本上線人數(shù)卻并沒有領(lǐng)先，甚至還落后于有些區(qū).仔細(xì)分析得分情況，可以發(fā)現(xiàn)該區(qū)學(xué)生在基礎(chǔ)題方面做得相對(duì)較好，但在“難題”方面得分率很低，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是多方面的，經(jīng)過筆者的了解，其中一個(gè)很重要的原因在于教師在教學(xué)中缺少對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法上的訓(xùn)練，教學(xué)缺乏深度，致使學(xué)生的能力達(dá)不到要求.因此我們應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，提倡深度教學(xué)、智慧課堂，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面舉例進(jìn)行說明.

一、分類討論思想

【例1】(理7)五個(gè)人圍坐在一張圓桌旁，每個(gè)人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時(shí)翻轉(zhuǎn)自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個(gè)人站起來;若硬幣正面朝下,則這個(gè)人繼續(xù)坐著.那么,沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的概率為

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教學(xué)啟示：本題是一模理數(shù)第7題，文數(shù)第7題為姊妹題，只是將題中的五個(gè)人改成了四個(gè)人而已.此題文科得分率37%，理科得分率36%，考慮到是選擇題，故學(xué)生實(shí)際掌握此題的應(yīng)該不超過20%.為何得分率這么低？主要是分類討論思想掌握不好，不知道將“沒有相鄰的兩個(gè)人站起來”分成3種情況來處理.因此，我們?cè)谠u(píng)講此題時(shí)要告訴學(xué)生解題時(shí)要從思想方法的角度去思考.

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在高中階段很多時(shí)候會(huì)用到，如解雙絕對(duì)值不等式的問題，含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間問題等，它在高中階段的每個(gè)知識(shí)版塊中均會(huì)涉及.分類討論思想一定要弄清楚兩個(gè)問題：一是在什么情況下要分類討論；二是分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是什么.另外分類時(shí)要做到不重不漏，教學(xué)中一定要適時(shí)滲透分類討論思想，不能就題講題.

二、函數(shù)與方程思想

試題分析：本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查利用均值不等式或判別式法求最值，考查函數(shù)與方程思想.基本思路：

設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為m，根據(jù)題意可得

共有三個(gè)未知數(shù)，按常規(guī)思路，必須列出三個(gè)方程才能解出未知數(shù)的值，但我們只能列出兩個(gè)，故還需要一個(gè)條件才能求出未知數(shù)的值.細(xì)讀題目，我們發(fā)現(xiàn)還有一個(gè)條件未用，即“△ABC的周長(zhǎng)最短”，這個(gè)條件就可以考慮用函數(shù)求最值的方法來處理，由此我們有以下兩種思路：

思路1：因?yàn)?1)式中x為一次項(xiàng)，故很容易用y表示出x，然后代入(2)式，通過基本不等式或?qū)?shù)求函數(shù)m的最值，從而求出y的值.

思路2：因?yàn)?1)式是關(guān)于y的一元二次方程，故可用判別式法來求值域.

6y2-2(n+2)y+(2n+1)=0， (3)

本次考試中文數(shù)17題，考查數(shù)列，其中第一問也用到了函數(shù)與方程的思想.在教學(xué)中我們應(yīng)加強(qiáng)函數(shù)與方程思想的教學(xué)，利用函數(shù)與方程的思想來指導(dǎo)我們解決相關(guān)問題.

三、轉(zhuǎn)化與化歸思想

【例3】(文理10)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2，AC=4,三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為

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A.8π B.12π C.20π D.24π

試題分析：本題文理同題，均為第10題，它考查對(duì)立體幾何中基本圖形——陽馬、鱉臑的識(shí)別，球的表面積計(jì)算，考查學(xué)生對(duì)割補(bǔ)法的掌握，考查學(xué)生的作圖能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.解題的基本思路如下：

思路1：直接找出球心為PC的中點(diǎn)O，從而求出球的半徑，進(jìn)而計(jì)算球的表面積.

思路2：將鱉臑補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球就是鱉臑的外接球.

教學(xué)啟示：此題也是在考題中滲透中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的一種體現(xiàn).上學(xué)期高二文數(shù)是填空題，此題平均分0.62，得分率為0.124，即只有約1/8的學(xué)生能做對(duì)，本次一模為選擇題，理科的得分率為44%，文科的得分率為38%，排除一些誤打誤撞的，本題真正掌握和理解的學(xué)生也就在1/3左右.上面的兩種思路中，思路1直接找出外接球的球心對(duì)多數(shù)學(xué)生是較難的，但如果我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中能對(duì)課本中的內(nèi)容(本題圖來自必修2課本69頁的探究題)適當(dāng)?shù)淖鲆恍┭a(bǔ)充與拓展，學(xué)生明白陽馬和鱉臑是由長(zhǎng)方體分割而來的，就馬上會(huì)想到利用思路2將此題求鱉臑的外接球表面積轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)方體的外接球表面積，學(xué)生還會(huì)覺得難嗎？思路2就采用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決.轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在我們的學(xué)習(xí)中司空見慣，因此我們一定要強(qiáng)化轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，靈活地運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想會(huì)給我們帶來許多意想不到的收獲.如下例：

【例4】(理19)如圖1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BD⊥DC,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.

(Ⅰ)求證：AB⊥平面ADC；

本題為此次?？嫉睦砜频?9題，學(xué)生的得分率較低，特別是第二問全區(qū)得分率才10.4%，難點(diǎn)有幾個(gè)：一是不會(huì)根據(jù)題目條件求線段AB的長(zhǎng)；二是不會(huì)合理建系；三是建系后不會(huì)求某些點(diǎn)的坐標(biāo).如有些同學(xué)按如圖3所示進(jìn)行了建系卻寫不出點(diǎn)A的坐標(biāo).實(shí)質(zhì)上還是學(xué)生對(duì)立體幾何基本圖形缺乏認(rèn)識(shí)，我們看三棱錐A-BCD的四個(gè)面均為直角三角形，它就是一個(gè)鱉臑！只是它的擺放不符合我們的視覺習(xí)慣而已！根據(jù)第一問可知，圖中本來就有三條兩兩互相垂直的線段：AB,AD和DC，只是它們沒有交于同一點(diǎn)，如果我們將此圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)變換，讓平面ABD水平放置，如圖4，建系就很容易了.因此最合理的建系，是下面的圖5，這樣建系是最易寫出坐標(biāo)的，計(jì)算也相對(duì)容易.

可見，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想有多么重要，我們?cè)诮虒W(xué)中一定要反復(fù)強(qiáng)調(diào)，經(jīng)常訓(xùn)練，要讓學(xué)生善于聯(lián)想，將陌生的問題與我們學(xué)過的、見過的內(nèi)容聯(lián)系起來，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q，將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題來解決.

四、數(shù)形結(jié)合思想

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試題分析：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及定積分的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想.解題思路：

根據(jù)題意可畫出如下草圖.

思路3：用估算法，如圖，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，可將所求的面積轉(zhuǎn)化為圖中陰影部分的面積，顯然它大于矩形LMNK的面積，而SLMNK=|MN|·|LM|=π，故所求的面積應(yīng)大于π，而選項(xiàng)中B,C,D均小于π，故選A.

教學(xué)啟示：本題學(xué)生的得分率為29.5%，得分率如此之低，一是有些考生不能正確畫出圖形；二是sin2x的原函數(shù)求錯(cuò)；三是大多數(shù)同學(xué)是按思路1來做的，一部分列式會(huì)出錯(cuò)，而且運(yùn)算較復(fù)雜，即使列式正確，運(yùn)算也可能出錯(cuò)，所以此題若利用思路2來求，列式和計(jì)算都會(huì)簡(jiǎn)單很多.課本上雖然沒有直接給出思路2中的計(jì)算公式，但我們?cè)诮虒W(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出此公式，并利用此公式來求曲邊梯形的面積.思路3利用數(shù)形結(jié)合思想可很快得出答案，體現(xiàn)了小題小做的解題靈活性，但也有個(gè)缺點(diǎn)，假如此題換成填空題，或者有兩個(gè)或兩個(gè)以上選項(xiàng)大于π，則此法失靈，故思路3有一定的局限性.所以綜合來看，我們覺得思路2是一定要掌握的.此題無論采用哪種思路來解題，正確畫出圖形是基礎(chǔ)，所以此題考查了數(shù)形結(jié)合思想，特別是思路3，將數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)的淋漓盡致.

五、對(duì)稱思想

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A.0 B.504 C.1 008 D.2 016

試題分析：本題考查三次函數(shù)的對(duì)稱性，倒序求和法，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)稱思想在函數(shù)中的應(yīng)用.解題基本思路：

思路2：函數(shù)f(x)是三次函數(shù)，它的二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是其拐點(diǎn)，即函數(shù)的凸凹性發(fā)生改變的點(diǎn)，三次函數(shù)是中心對(duì)稱圖形，其拐點(diǎn)是其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo).