劉保倉, 劉 暢

(1.黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 駐馬店 463000；2.鄭州科技學(xué)院 財經(jīng)學(xué)院，河南 鄭州 450000)

0 引言

文獻[1]提出的模糊集理論和文獻[2]提出的粗集理論均是研究信息系統(tǒng)中知識的不完全性及不確定性問題，側(cè)重點雖然不同，但二者存在密切的關(guān)系.文獻[3]把模糊集與粗集進行融合提出模糊粗集，文獻[4-7]討論了其性質(zhì)和結(jié)構(gòu).以工程決策與工程控制系統(tǒng)為實際背景，文獻[8]提出雙枝模糊集，使模糊集理論得到推廣.文獻[9]把雙枝模糊集和粗集進行某些整合提出粗雙枝模糊集.文獻[10-12]對粗雙枝模糊集進行了深入討論.文[13]提出了雙枝模糊粗集并討論了其性質(zhì).在以上研究的基礎(chǔ)上，本文提出雙枝模糊粗集的截集概念，討論了雙枝模糊粗集的結(jié)構(gòu)，給出相應(yīng)的分解定理.

為了方便，以下約定：U,X是有限論域；X?U，X+,X-,X0分別稱作X的上域、下域和界域；S是X上的雙枝模糊集，S(x)是x∈X關(guān)于S的接吻函數(shù)，F(xiàn)(x)是X上的雙枝模糊集S的集合，P(x)是經(jīng)典集合；R是U的一個等價關(guān)系，(U,R)是Pawlak近似空間，BF(X)為雙枝模糊集.這些概念及記法在文獻[4，8]中有詳細表述.

1 雙枝模糊粗集

所有定義在X上的下枝模糊粗集記為LFR(X).

所有定義在X上的上枝模糊粗集記為UFR(X).

定義3[13]設(shè)R(U)為粗集之集合,(RL,RU)?R(U),RL={x|x∈U,[x]?X},RU={x|x∈U,[x]∩X≠?}.S是X上的一個雙枝模糊集,則X中的一個雙枝模糊粗集SR=(SRL,SRU)由一對映射給出SRL:RL(x)→[-1,1],SRU:RU(x)→[-1,1],?x∈X，且?x∈RU,SRL(x)≤SRU(x).?x∈RU(x)，稱～SR=(～SRL,～SRU)為S的補集，且～SRL(x)=±1-SRU(x),～SRU(x)=±1-SRL(x).

所有定義在X上的雙枝模糊粗集記為BFR(X).

2 雙枝模糊粗集的分解

(SRL)λ={x||RL(x)|≥|λ|},

(1)

(2)

且

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

定義5 設(shè)S∈F(x)，λ∈[-1,1]，規(guī)定λS∈F(x)，λS的模糊接吻函數(shù)定義為

(λS)(x)=λ∧S(x).

定理1(BFR(X)分解第1定理) 設(shè)S∈F(x)為BF(X)，SR=(SRL,SRU)為BFR(X)，則

SR=(SRL,SRU)=

證明(a)設(shè)λ∈[-1,0]，?x∈X-∪X0，由定義4、式(3)和式(5)得：

即

(11)

(b)設(shè)λ∈[0,1]，?x∈X+∪X0，由定義4、式(7)和式(9)得：

(12)

將式(11)和式(12)兩式合并得

SR=(SRL,SRU)=

證畢.

定理2(BFR(X)分解第2定理) 設(shè)S∈F(x)為BF(X)，SR=(SRL,SRU)為BFR(X)，則

SR=(SRL,SRU)=

證明由定義4及式(4)、(6)、(8)、(10)，與定理1證明類似，略.證畢.

定理3(BFR(X)分解第3定理)S∈F(x)為BF(X)，SR=(SRL,SRU)為BFR(X)，且

HRL:[-1,1]P(x)，λHRL(λ)，

HRU:[-1,1]P(x)，λHRU(λ)

滿足

則

SR=(SRL,SRU)=

所以由定理1及定理2得

即

(13)

(b)若λ∈[0,1]，與(a)類似可證

(14)

合并式(13)和式(14)得:

同理可證

因此

SR=(SRL,SRU)=

證畢.

定義6 設(shè)S∈F(x)，λ∈[-1,1]，規(guī)定:λS∈F(x)，λS的模糊接吻函數(shù)定義為

(λS)(x)=λ∨S(x).

定理4(BFR(X)分解第4定理) 設(shè)S∈F(x)為BF(X)，SR=(SRL,SRU)為BFR(X)，則

SR=(SRL,SRU)=

證明(a)設(shè)λ∈[-1,0]，?x∈X-∪X0，由定義6、式(3)和式(5)得

因此

(15)

(b)設(shè)λ∈[0,1]，?x∈X+∪X0，由定義3、式(7)和式(9)，與(a)的證法類似可得：

(16)

將式(15)和式(16)合并，得

SR=(SRL,SRU)=

證畢.

定理5(BFR(X)分解第5定理) 設(shè)S∈F(x)為BF(X)，SR=(SRL,SRU)為BFR(X)，則

SR=(SRL,SRU)=

證明由定義6、式(4)、式(6)、式(8)和式(10)，與定理4證法類似，略.證畢.

定理6(BFR(X)分解第6定理)S∈F(x)是BF(X)，SR=(SRL,SRU)是BFR(X)，且HRL:[-1,1]P(x)，λHRL(λ)，HRU:[-1,1]P(x)，λHRU(λ)滿足

則

SR=(SRL,SRU)=

由定義4～定義6、定理1～定理6得：

推論1 設(shè)S∈F(x)是BF(X)，SR=(SRL,SRU)是BFR(X)，若X-=?，則

推論2 設(shè)

(SR)λ=((SRL)λ,(SRU)λ)，

為BFR(X)的λ-截集及λ-強截集，則

推論3 設(shè)S∈F(x)是BF(X)，SR=(SRL,SRU)是BFR(X)，若SRL(X)?Q?[-1,1]，

SRU(X)?Q?[-1,1]，

SRL(X)={SRL(x)|x∈X}，

SRU(X)={SRU(x)|x∈X}，

則

3 結(jié)束語

本文利用雙枝模糊粗集的截集概念，討論了雙枝模糊粗集的結(jié)構(gòu)，給出了雙枝模糊粗集的分解定理.由討論知，雙枝模糊集與粗集具有緊密的聯(lián)系，雙枝模糊集是模糊粗集的推廣.以上討論，豐富了雙枝模糊集和粗集的內(nèi)涵，為進一步揭示雙枝模糊集和粗集的關(guān)系打下了一定的基礎(chǔ).