李莉

【中圖分類號】G623 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）26-0162-02

§2.2 平方根（第1課時）

【教材剖析】

算術(shù)平方根是北師大版八年級上冊第二章第二節(jié)的第一課時的教學(xué)內(nèi)容。本節(jié)的主要內(nèi)容是算術(shù)平方根的概念和求法以及對的意義的理解。通過學(xué)習(xí)，學(xué)生對《勾股定理》未解決的問題（如：x2=2，求x的值）得以解決，同時學(xué)生對數(shù)的認識就由有理數(shù)范圍擴大到實數(shù)范圍，完成了初中階段對所有數(shù)的擴展，因此本節(jié)課是今后學(xué)習(xí)實數(shù)、根式、分式、函數(shù)等知識的重要基礎(chǔ)，更是用直接開平方法、公式法解一元二次方程的重要依據(jù)。因此，本節(jié)處于非常重要的地位，起著承前啟后的作用。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.能夠從數(shù)學(xué)本身的特點出發(fā)、從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律和學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷一個實踐、思考、探索、交流、解釋、應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程；

2.在獲得對教學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度和價值觀等多方面都得到進步和發(fā)展。

了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根；

3.會用平方運算求某些非負數(shù)的算術(shù)平方根；

4.理解的意義。

【教學(xué)重點】

了解算術(shù)平方根的概念，認識根號，會用根號表示一個正數(shù)的算術(shù)平方根。

【教學(xué)難點】

會用平方運算求非負數(shù)的算術(shù)平方根以及理解的意義。

【知識解讀】

1.算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，a的算術(shù)平方根記作：，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù)。

規(guī)定：0的算術(shù)數(shù)平方根是0。

解讀：從算術(shù)平方根的概念看，求一個數(shù)的算術(shù)平方根就是求一個正數(shù)，使得這個正數(shù)的平方等于這個數(shù)，故就是乘方運算的逆運算，因此，我們要對正數(shù)的平方求法以及常見正數(shù)的平方熟記于心（如1—20）。

在使用概念時需要注意以下幾點：

（1）a是一個非負數(shù)，原因是根據(jù)定義知道a是某個正數(shù)的平方，根據(jù)平方的非負性可知這一點，這一點往往是題目的隱含條件，需要學(xué)生們挖掘出來；

（2）根據(jù)定義知道若某個正數(shù)的平方等于a，那么這個正數(shù)叫做a的算術(shù)平方根，因此a的算術(shù)平方根是一個正數(shù)，由規(guī)定知0的算術(shù)平方根是0，故綜上我們知道對于非負數(shù)a，它的算術(shù)平方根也是一個非負數(shù)；

（3）由定義知a的算術(shù)平方根記作，故由（2）知是非負數(shù)，因此具有雙重非負性，第一重是：開方數(shù)a是非負數(shù)，第二重是：本身也是非負數(shù)。即

2.的意義：指的是a的算術(shù)平方根。

解讀：首先是一個數(shù)，并且是一個非負數(shù)，指的是a的算術(shù)平方根；其次有意義必須要求a是一個非負數(shù)；再次對于的意義在學(xué)完平方根會有更加深入的理解。

【教學(xué)建議】

1.創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，自然引入深入探索，初步感受算術(shù)平方根。

（1）構(gòu)造懸念，創(chuàng)設(shè)情境——從數(shù)形結(jié)合角度感受；

（2）根據(jù)圖2-4填空：

x2=________，

y2=________，

z2=________，

w2=________.

（3）x，y，z，w中哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？你能表示它們嗎？

解讀：此問題是教材上的一道題目，它在設(shè)問上非常獨到。首先第一問要用到第一章的勾股定理，因此在教學(xué)中就要對勾股定理的內(nèi)容進行復(fù)習(xí)，進一步強化勾股定理的內(nèi)容，學(xué)生們應(yīng)該可以快速的給出第一問的答案x2=2，y2=3，z2=4，w2=5。第二問就是對第一節(jié)認識無理數(shù)的知識的再強化，但是很顯然我們要先求出x，y，z，w的值才可以做出判斷，這四個值中z的值我們很容易求出來，因為我們可以找到之前所學(xué)習(xí)的數(shù)±2就滿足z2=4，而z又是邊長，故z=2。然而問題來了我們找不到之前所學(xué)習(xí)的那個數(shù)會使x2=2，y2=3，w2=5，可是這些數(shù)又是實實在在存在的，這就和我們所學(xué)的發(fā)生了認知沖突，所以我們就要引入新的數(shù)，這就迫使我們引入新的符號“”，從而對數(shù)系進行擴充。

（4）目標(biāo)導(dǎo)向，自然引入——從代數(shù)角度感受

在括號里填上適當(dāng)?shù)恼龜?shù)：

（1）；（2）；（3）

（4）；（5）；（6）

解讀：首先此題的數(shù)值設(shè)置上涵蓋了我們之前學(xué)習(xí)的整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)；其次設(shè)置的這些數(shù)都是完全平方數(shù)，也就是說我們一定能找到一個正數(shù)使其成立，所以我們的問題就不能設(shè)置為類似的問題，因為目前我們還沒有學(xué)到那個數(shù)滿足它；再次數(shù)學(xué)中很多概念常常以精煉的定義形式出現(xiàn)，并隱去了其形成過程，我試圖將此過程揭示出來，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、抽象、概括、驗證等概念的形成過程，以便更準確地抓住概念的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，與此同時，鍛煉學(xué)生們從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，也對后面學(xué)生用平方運算求一個數(shù)的算術(shù)平方根起到一定的作用。

2.創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)牧?xí)題，進行深入探索，重點感受的意義。

下列式子有沒有意義？若有，請說出它的含義并求值？

解讀：首先此題在數(shù)值上的設(shè)置具備完整性，涵蓋了正數(shù)、負數(shù)和0；其次本題考查了有意義的條件，即為被開方數(shù)a是非負數(shù)；再次此題考察了的含義，即a的算術(shù)平方根，只有明確這一點那它們的值才可以非常容易的解決，尤其是，里面涵蓋了平方運算，再求其算術(shù)平方根，是一道綜合性題，對拓展學(xué)生的思維有巨大的意義。

3.精心設(shè)計例題及練習(xí)，幫助學(xué)生理清算理，提高計算能力。

（1）典型例題，鞏固基礎(chǔ)

1.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

解讀：此題是教材上的習(xí)題，主要是對算術(shù)平方根基本概念的應(yīng)用和認識，幫助學(xué)生們能夠求一些數(shù)的算術(shù)平方根的能力；

2、在數(shù)值的設(shè)置上包含了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)，為了提高學(xué)生們對算術(shù)平方根的理解，故意增加難度，設(shè)置了10-4這樣的負指數(shù)冪值，提高學(xué)生的識別辨別能力；

3、這些數(shù)中初17以外的其它數(shù)都是完全平方數(shù)，所以它們的算術(shù)平方根都是有理數(shù)，所以對于17的算術(shù)平方根要引導(dǎo)學(xué)生利用我們的新符號“”，所以它的答案為。

（2）拓展訓(xùn)練，鞏固提高

例2、求下列各式的值

解讀：這道題主要考察學(xué)生們對的含義的理解，這是這一節(jié)的難點，需要老師們帶領(lǐng)學(xué)生一一解讀，如有必要需要一一講解，尤其是最后一題的符號，不應(yīng)該把與等同起來（有學(xué)生可能會認為是負負得正），這就需要學(xué)生們能夠理解它的含義是的算術(shù)平方根的相反數(shù)，那么就不會出錯，學(xué)生在計算是應(yīng)該先計算，再計算的算術(shù)平方根為，最后計算的相反數(shù)為。

例3：

3.如圖，從帳篷支撐竿AB的頂部A向地面拉一根繩子AC固定帳篷。若繩子的長度為8m，地面固定點C到帳篷支撐竿底部B的距離是6.4m，則帳篷支撐竿的高是多少？

解讀：此題的背景是一道幾何題，也和我們的實際生活密切聯(lián)系，展現(xiàn)了生活中處處存在數(shù)學(xué)，提高學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣。在解決這個問題是要利用我們所學(xué)習(xí)的勾股定理列方程，接著要用我們今天所學(xué)的算術(shù)平方根解決形如x2=a（a≥0）這樣的方程，在整個過程中體現(xiàn)了方程思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，提高學(xué)生們理論聯(lián)系實際的能力。