廣西壯族自治區(qū)廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(541006) 崔加奇

關(guān)鍵字4MAT理論;函數(shù)的單調(diào)性;腦科學(xué)

1 4MAT理論

由麥卡錫博士的團(tuán)隊(duì)創(chuàng)立的“4MAT理論”也叫“自然學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)”,其核心是設(shè)計(jì)出一種遵循大腦運(yùn)作的自然規(guī)律和學(xué)習(xí)科學(xué)本質(zhì)的教學(xué)模式,使其適用于不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的學(xué)習(xí)者,實(shí)現(xiàn)因材施教的高質(zhì)量教學(xué).任何學(xué)習(xí)都要經(jīng)歷“為什么(Why)—是什么(What)—應(yīng)怎樣(How)—該是否(If)”組成的學(xué)習(xí)循環(huán)圈,在學(xué)習(xí)循環(huán)圈的四個(gè)象限里,學(xué)習(xí)者交替運(yùn)用左右腦進(jìn)行學(xué)習(xí),教師需要配合其學(xué)習(xí)方式,設(shè)計(jì)出合理的教學(xué)方式,以達(dá)到高效教學(xué)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的目的.[2]

2 傳統(tǒng)教學(xué)中存在的問題

傳統(tǒng)的教與學(xué)具有極端同步性,認(rèn)為所有的學(xué)生具備同樣的學(xué)習(xí)能力,希望他們從同一個(gè)學(xué)習(xí)起點(diǎn)出發(fā),在同樣的時(shí)間內(nèi),按照同樣的步速到達(dá)同一個(gè)終點(diǎn).這種極端的同步性忽略了學(xué)生學(xué)習(xí)風(fēng)格的差異.[3]另外,“函數(shù)的單調(diào)性”是高中重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容,在傳統(tǒng)教學(xué)中,教師為追求效率只教學(xué)生看圖,使學(xué)生在理性認(rèn)識(shí)上沒有提高;同時(shí)缺乏單調(diào)性概念的形成過程,教學(xué)中的圖形語言、數(shù)學(xué)語言、符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換不自然.為了改善這些問題,下面基于4MAT理論對(duì)教學(xué)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).[4]

3 基于4MAT理論優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)

“函數(shù)的單調(diào)性”是學(xué)生在掌握了函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)性質(zhì),它刻畫了函數(shù)在某區(qū)間上的變化趨勢(shì),為學(xué)習(xí)其它函數(shù)性質(zhì)提供了示范,同時(shí)它也是后續(xù)研究基本初等函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ).另外,在研究函數(shù)的最大(小)值、證明不等式等數(shù)學(xué)問題時(shí),函數(shù)的單調(diào)性也有重要作用.因此它在高中數(shù)學(xué)中具有核心知識(shí)地位和承上啟下的重要作用.[5]高一學(xué)生雖然具備觀察分析的能力,但不善于將具體的自然語言轉(zhuǎn)化為抽象的符號(hào)語言,因此教學(xué)的重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性概念的形成過程和定義法證明函數(shù)的單調(diào)性,難點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性概念的形成過程.基于4MAT理論,教學(xué)分為四個(gè)階段.

3.1 把握學(xué)習(xí)價(jià)值,回答“為什么”問題

這一階段教師并不講解知識(shí),而是創(chuàng)設(shè)問題情境,使學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)展開討論,尋找新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn).

問題1觀察圖1,說一說隨著時(shí)間的變化,氣溫是如何變化的?

圖1

師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生積極表達(dá)自己的看法,與身邊的小伙伴交流分享,最后由教師總結(jié):通過圖象,我們發(fā)現(xiàn)隨著自變量t的變化,函數(shù)值T也發(fā)生變化,函數(shù)圖象呈上升或下降的趨勢(shì).這種上升或下降到趨勢(shì)剛好反映了本節(jié)課要學(xué)習(xí)的函數(shù)的重要性質(zhì)——單調(diào)性.

問題2如何用自然語言來描述這種上升或下降的趨勢(shì)呢?初中對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的上升和下降的趨勢(shì)是如何表述的呢?

師生活動(dòng):通過提問幫助學(xué)生回憶:在某個(gè)區(qū)間上,當(dāng)函數(shù)圖象呈上升趨勢(shì)時(shí),函數(shù)值隨自變量的值的增大而增大;在某個(gè)區(qū)間上,當(dāng)函數(shù)圖象呈下降趨勢(shì)時(shí),函數(shù)值隨自變量的值的增大而減小.而這個(gè)規(guī)律剛好就是新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn).

設(shè)計(jì)依據(jù)與意圖根據(jù)4MAT理論,這一階段的目標(biāo)是在學(xué)習(xí)者和學(xué)習(xí)內(nèi)容之間構(gòu)建意義.學(xué)生的學(xué)習(xí)由右腦的直觀感知開始,首先連接(右腦)教師創(chuàng)設(shè)的學(xué)習(xí)情境,將學(xué)習(xí)內(nèi)容與經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來;然后根據(jù)教師的引導(dǎo)分析直接感知到的內(nèi)容,關(guān)注(左腦)自己和他人的看法,以旁觀者的視角客觀分析學(xué)習(xí)體驗(yàn),進(jìn)而了解學(xué)習(xí)的價(jià)值以及新知與已有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系.

3.2 透徹掌握概念,回答“是什么”問題

問題3自變量x的增大是指在區(qū)間內(nèi)幾個(gè)自變量之間的比較?兩個(gè)?三個(gè)?還是無數(shù)多個(gè)自變量相互比較,使得當(dāng)函數(shù)值隨自變量增大而增大時(shí)函數(shù)圖象呈上升趨勢(shì)?

為了解決這個(gè)問題借助幾何畫板輔助探究活動(dòng):

①如果在區(qū)間(a,b)上,取兩個(gè)自變量x1,x2,令x1＜x2,有函數(shù)值f(x1)＜f(x2),函數(shù)圖象是否呈上升趨勢(shì)?

②如果在區(qū)間(a,b)上,取三個(gè)自變量x1,x2,x3,令x1＜x2＜x3,有函數(shù)值f(x1)＜f(x2)＜f(x3),能否函數(shù)圖象是否呈上升趨勢(shì)?

……

③拖動(dòng)點(diǎn)M取遍區(qū)間(a,b)上所有自變量,令x1＜x2＜···＜xn,有函數(shù)值f(x1)＜f(x2)＜···＜f(xn),函數(shù)圖象是否呈上升趨勢(shì)?

探究結(jié)論對(duì)區(qū)間上所有自變量進(jìn)行比較,若函數(shù)值隨自變量增大而增大,函數(shù)圖象才會(huì)呈上升趨勢(shì).

師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)探究結(jié)論總結(jié)增函數(shù)的概念:一般地,對(duì)于給定區(qū)間的函數(shù)f(x),如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)自變量的值,當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＜f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).

問題4你能否仿照增函數(shù)概念的抽象過程,概括總結(jié)出減函數(shù)的概念?

師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)減函數(shù)的概念,最后由教師總結(jié)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的概念:如果函數(shù)在區(qū)間M上是增函數(shù)或者減函數(shù),我們就說函數(shù)在區(qū)間M上具有單調(diào)性,區(qū)間M稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.至此,在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下,學(xué)生在不知不覺中將自然語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言,經(jīng)歷了完整的概念抽象過程.

設(shè)計(jì)依據(jù)與意圖根據(jù)4MAT理論,這一階段的目標(biāo)是告知并拓寬學(xué)生對(duì)新知的理解.教師在傳授專家知識(shí)前,首先引導(dǎo)學(xué)生想象(右腦),將理解或者體驗(yàn)的東西圖示出來,提前了解新知,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備;然后認(rèn)真傾聽教師的講解(左腦),分析和審思知識(shí)并講解(左腦)自己的看法,進(jìn)而理解什么是函數(shù)的單調(diào)性.

3.3 積極操練技能,回答“應(yīng)怎樣”問題

通過對(duì)概念的理解分析,學(xué)生已經(jīng)能夠判斷一些函數(shù)的單調(diào)性并確定單調(diào)區(qū)間.

問題5請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象(圖2),寫出此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間.

圖2

教師活動(dòng):由于班級(jí)中的學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受能力不同,教師在練習(xí)前提示:單調(diào)區(qū)間有多個(gè)時(shí),不可以寫并集,區(qū)間用逗號(hào)隔開.這樣設(shè)計(jì)可以給接受能力好的學(xué)生一個(gè)自我思考嘗試的機(jī)會(huì),同時(shí)減輕接受能力差的學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力.例題講解結(jié)束,以反比例函數(shù)為例講解為什么單調(diào)區(qū)間有多個(gè)時(shí),不可以寫并集.

設(shè)計(jì)依據(jù)與意圖根據(jù)4MAT理論,這一階段的目標(biāo)是讓學(xué)生不斷操練新知,使其對(duì)新知達(dá)到熟練掌握、融會(huì)貫通的程度.首先學(xué)生通過經(jīng)典例題操練(左腦)新知,熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí);然后對(duì)所接收的知識(shí)進(jìn)行深入加工,擴(kuò)展(右腦)延伸所學(xué)知識(shí),這是創(chuàng)新開始的階段.

3.4 靈活自如運(yùn)用,回答“該是否”問題

經(jīng)過前面三個(gè)階段的學(xué)習(xí),讓學(xué)生說一說如何用圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性并確定單調(diào)區(qū)間.

問題6如果很難畫出函數(shù)圖象,如何判斷函數(shù)的單調(diào)性?例如如何判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有單調(diào)性?

師生活動(dòng):通過分析問題6,教師和學(xué)生共同總結(jié)利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:(1)設(shè)元;(2)斷號(hào);(3)作差變形;(4)根據(jù)定義確定結(jié)論.此階段教學(xué)接近尾聲,教師要引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)和梳理知識(shí),談一談學(xué)到了什么新的知識(shí)以及存在哪些疑惑,最后由教師總結(jié)和答疑.

設(shè)計(jì)依據(jù)與意圖根據(jù)4MAT理論,這一階段的目標(biāo)是幫助學(xué)生在未來更好使用新知.首先由學(xué)生回顧所學(xué)內(nèi)容,并在教師幫助下提煉(左腦)、總結(jié)和再次探討,嘗試把學(xué)到的東西拓展延伸,教師為學(xué)生自主學(xué)習(xí)提供建議和幫助,引導(dǎo)學(xué)生從客觀的角度分析、完善和提煉自己的學(xué)習(xí)活動(dòng);然后請(qǐng)學(xué)生靈活運(yùn)用新知并大膽提出質(zhì)疑,把所學(xué)知識(shí)表現(xiàn)(右腦)出來.

4 總結(jié)與反思

通過“函數(shù)的單調(diào)性”這節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生不僅要掌握相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí),還要體會(huì)概念形成過程中的數(shù)形結(jié)合思想,能夠?qū)⒅庇^感受轉(zhuǎn)化為抽象認(rèn)識(shí),發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來,要求教育的根本目的應(yīng)是開發(fā)學(xué)習(xí)者同時(shí)靈活運(yùn)用左右腦加工方式,但顯然充斥著符號(hào)的數(shù)學(xué)科學(xué)對(duì)偏好線性加工(左腦)的學(xué)生更友好.基于4MAT理論的教學(xué),使不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的學(xué)生都能參與其中,無論學(xué)生善于右腦方式思考還是左腦方式思考,都能在課堂上找到自己參與感,同時(shí)課堂討論和分享使學(xué)生之間優(yōu)勢(shì)互補(bǔ),從而使教學(xué)更加輕松.當(dāng)學(xué)生不再認(rèn)為數(shù)學(xué)難學(xué),在學(xué)習(xí)的過程中各種能力都會(huì)自然得到提升.當(dāng)然,并不是所有教學(xué)環(huán)節(jié)都可以清晰劃分為左(右)腦方式,這需要教師靈活運(yùn)用并根據(jù)實(shí)際教學(xué)進(jìn)一步完善.