廣東省湛江一中培才學校(524037) 李雪迎

1 問題的提出

在長期的初中數(shù)學教學實踐中發(fā)現(xiàn),由于受到升學壓力、課時緊張、業(yè)績評定等諸多方面的影響,較多的教育者更傾向于試題正確答案的講解、應試經(jīng)驗的傳授,卻缺少對典型例題的詳細解讀;搞“題山題?！睉?zhàn)術,而不注重學科知識的系統(tǒng)化整理,從而錯過了培養(yǎng)學生抽象拓展思維能力的黃金時期.

而缺少相關引導、訓練的學習者在學習中不注重知識的生成過程、推理論證、脈絡關聯(lián),卻熱衷于死記硬背公式、結論、定理.SOLO分層理論的創(chuàng)始人比格斯(Biggs)教授所做的大量研究表明,那些喜歡熟記事實細節(jié)并使用機械學習策略的學生在傳統(tǒng)的測試中獲得了高分,但他們卻獲得了很低的SOLO等級.機械式學習導致學習者抽象拓展思維的缺失,不僅沒法達到學習深度的要求,還嚴重挫傷了學習者對數(shù)學的學習興趣.

2 SOLO分層理論在培養(yǎng)學習者抽象拓展思維的應用舉例

現(xiàn)從中考復習課階段的知識串講作為一個示例,幫助學習者發(fā)現(xiàn)數(shù)學學科本身的規(guī)律性、一體性、趣味性,引導學習者發(fā)展抽象拓展思維.

2.1 “整式的乘法”中知二求二

對于正實數(shù)x,y,對于以下式子標記如下:

①(x+y)2,②(x?y)2,③x2+y2,④xy.

根據(jù)整式的乘法運算法則得:

反思:根據(jù)和與差的完全平方公式中對應項系數(shù)相同(反)的數(shù)量關系,通過相加、減可以實現(xiàn)代數(shù)式(x+y)2,(x?y)2,x2+y2,xy之間的互相推導.

2.2 “相交線與平行線”中的知二得一

題設:如圖1,已知AB//CD,CE為∠BCD的平分線交AB于E.結論:BC=BE.(證明過程:略)

在題設和結論中,共有三個信息:①AB//CD,②CE為∠BCD的平分線,③BC=BE.

反思:此處是借以①②為條件,得到結論③(①+②=＞③).而事實上,此處的三個信息可以任選兩個進行組合,推導得到第三個信息.例如:①+③=＞②;②+③=＞①.實現(xiàn)了借助線段之間的位置關系、角之間的數(shù)量關系,得到了另外兩條線段之間的數(shù)量關系.

圖1

圖2

圖3

2.3 “垂徑定理”的應用:用于證明的“知二推三”和用于計算線段長的“知二求二”

如圖2,在⊙O中,OC是半徑,AB為弦,當OC⊥AB于點E時,記半徑OA的長為r,弦AB的長為a,弦心距OE的長為d,拱高CE的長為h.

圓中常見四條線段的長度,知二求二:

①1已知r,d,得

②已知h,a,則d=r?h,在Rt△AEO中,d2=即解這個關于r的一元一次方程,得

反思:在定理中,由過圓心的線和弦之間位置關系得到線段、弧之間的數(shù)量關系.而根據(jù)圓的軸對稱性質,可以由其中任意兩條信息作為已知條件推導得到另外三個.

2.4 解直角三角形的應用:知二求二

如圖3,在Rt△ABC中,∠C=90°,解這個直角三角形.

①應用勾股定理:若已知a,b,c中任意兩條邊,可以求出第三條邊,此時由a,b?c;

②應用銳角三角函數(shù):可以由兩條邊長度的比值(例:若已知a,b,求出先求出對應角的三角函數(shù)值(即再由三角函數(shù)值反過來確定角的度數(shù)(可求出∠B),此時由a,b?∠B;亦可由a,∠B?b.

反思比較:①中的已知兩邊求第三邊,②中已知兩邊求內角,已知一邊一角求邊長.在解直角三角形,除了直角以外的五個元素(銳角1,銳角2,直角邊1,直角邊2,斜邊)知二求三.

數(shù)學的學習是一個由特殊到一般,先猜想再到精準驗證的過程.由三角形的三邊關系(不等關系:兩邊之和大于第三邊),到直角三角形條件下的等量關系(勾股定理),而銳角三角函數(shù)則在勾股定理的基礎上得到了邊角之間的互推關系,銳角三角函數(shù)不僅使用起來簡便,更是勾股定理的延伸和補充.

2.5 總結

以上示例,雖然來自不同知識角度,但也能發(fā)現(xiàn)它們的互通之處:代數(shù)幾何不分家、“數(shù)形結合”的主線貫穿整個初中數(shù)學教學.教育者可以結合數(shù)學學科特點,引導學生將各類型知識串聯(lián),通過類比對比,不僅能增強學習者的對數(shù)學的學習興趣,還對知識理解的更透徹,更能促進學習者形成抽象拓展的思考方式.

3 SOLO理論在培養(yǎng)學習者抽象拓展思維過程中應注意的幾個方面

3.1 營造民主課堂、鼓勵學生參與

在教學中,有較多教師習慣于“滿堂灌”,學生在課堂上只是個勤快的“搬運工”.在如此“乖乖聽課”的學生面前,教學任務表面上可以輕松完成,但整個課堂沒有學生積極參與、質疑、討論、評價、反饋,缺乏民主和活力,拓展抽象思維的培養(yǎng)就是空話.

《義務教育數(shù)學課程標準》(2011年版)將“數(shù)學學習”和“數(shù)學教學”合為“教學活動”.“數(shù)學活動”是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程,有效的教學活動應是“學”與“教”的完美統(tǒng)一,學生是學習的主體,而教師是學習的組織者、引導者與合作者.教師要想辦法營造輕松、民主的課堂,讓學生樂于參與到課堂,為學生創(chuàng)設有利于抽象思維發(fā)展的環(huán)境,鼓勵學生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.

3.2 注重一題多解、歸納總結

抽象拓展思維的培養(yǎng)需要學習者從不同的角度去考慮問題,而解題教學中的一題多解可以引導學生對同一問題進行多方位思考、探求不同的思維方式.而來自同齡人的思維方式,更易被接受也更能促進學習者的學習動力.對于經(jīng)典題型的一題多解,教育者需要及時將各種解法類比、對比,從思考角度(我們最容易想到的)、解題方式(運用的知識點)、計算量大小(過程的繁易程度)等方面進行歸納總結,幫助學生把所學的知識系統(tǒng)化,提高學生思維的靈活性、多向性、深刻性、縝密性,激發(fā)學生思維的發(fā)散性和概括性,從而促進他們抽象拓展思維的全面發(fā)展和提高.

3.3 鼓勵學生制作思維導圖

思維導圖,是表達發(fā)散性思維的有效圖形工具,它簡單卻又極其有效:將重要知識點之間的層次性、關聯(lián)性用圖形工具呈現(xiàn)出來.對于初中數(shù)學內容的思維導圖的幾個要點:1.要抓住重點,不在于篇幅的長短;2.注重知識間聯(lián)系;3.樹形結合,易看、易懂的工具圖讓人愛看;4.享受制作思維導圖的過程,享受數(shù)學帶來的樂趣.