馮前進

[摘 要]用簡單已知的圖形去探索較復(fù)雜未知的圖形，是我們學(xué)習(xí)平面幾何最重要也是最基本的方法。在求解大多數(shù)幾何問題時都需要添加輔助線，通常我們遇到的幾何圖形通過添加輔助線，使其轉(zhuǎn)換為特殊的平行四邊形、三角形、特殊角、特殊位置、特殊關(guān)系等來解決問題。本文主要歸納了三角形、梯形、圓等幾何圖形中添加輔助線的常用方法。

[關(guān)鍵詞]輔助線；基本圖形； 平行四邊形 ；三角形

一、添輔助線有二種情況

1.按定義添輔助線

如證明兩直線垂直可延長使它們相交后證明交角為90°；證線段倍、半關(guān)系，可將倍線段取中點或半線段加倍；證明角的倍、半關(guān)系也可類似添輔助線。

2.按基本圖形添輔助線

每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：

（1）平行線是個基本圖形。

當幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線。

【例1】：如圖1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，連接EF，求EF的長。

分析：利用作平行線把梯形底角放在一個三角形內(nèi)。

（2）等腰三角形是個簡單的基本圖形。

當幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。

【例2】：如圖2，AB=AC，∠BAC=90，AD為∠ABC的平分線，CE⊥BE。求證：BD=2CE。

分析：延長此垂線與另外一邊相交，得到等腰三角形，隨后全等。

（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形。

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

【例3】：如圖3，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點，求證：EF//AD。

分析：連DF并延長，利用全等即得中位線。

二、基本圖形的輔助線的畫法

1.三角形問題添加輔助線方法

方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。

方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。

方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：

（1）連對角線或平移對角線；

（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形；

（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線；

（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形；

（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等。

【例11】：如圖11，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點，，連E、F交AC于G.求AG：AC的值.

解法1： 如圖11—1，延長FE交CB的延長線于H.

解法2： 如圖11—2，延長EF與CD的延長線交于M，由平行四邊形ABCD可知，即AB∥MC.

3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

（1）在梯形內(nèi)部平移一腰；

（2）梯形外平移一腰；

（3）梯形內(nèi)平移兩腰；

（4）延長兩腰；

（5）過梯形上底的兩端點向下底作高；

（6）平移對角線；

（7）連接梯形一頂點及一腰的中點；

（8）過一腰的中點作另一腰的平行線；

（9）作中位線。

當然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。

【例12】：已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一點，連結(jié)CE。

（1）如果，，，求的度數(shù)；

（2）設(shè)和四邊形的面積分別為S1和S2，且2S1=3S2，試求的值。

解法1 如圖12-1，延長BA、CD交于點F.

解法2 如圖12-2，作DF∥AB分別交CE、CB于點G、F則，得平行四邊形ABFD同解法1可證得為等邊三角形.

解法3 如圖12-3，作交CD于G，交BC的延長線于F作，分別交CE、BC于點H、I則，得矩形AEHG.

總而言之，要學(xué)好幾何圖形中輔助線的添加不是靠記憶概念，也不是靠盲目的題海戰(zhàn)術(shù)，要學(xué)會對題目類型的歸納，對知識點類型的歸納，在對題型以及知識點能熟練應(yīng)用的情況下，還要認真總結(jié)。三角形、特殊四邊形是幾何的基本圖形，我們不僅要學(xué)好三角形、特殊四邊形中的輔助線添加，更是在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，這樣才會讓生活更加豐富多彩。

參考文獻：

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