楊 燕， 張 弛

(1. 廣州城市職業(yè)學(xué)院，廣東 廣州 510405; 2. 中國(guó)科學(xué)院電子學(xué)研究所，北京 100190)

0 引 言

鋰離子電池在日常生活中的應(yīng)用已十分廣泛，手機(jī)、照像機(jī)、攝像機(jī)、筆記本電腦和電動(dòng)車等都是由其提供電能。判斷鋰離子電池性能的高低是依據(jù)電池的容量，容量越高，性能越好，同一種電池，當(dāng)容量較高時(shí)，電池內(nèi)阻也較低，因此根據(jù)電池的內(nèi)阻值可以在一定程度上確定電池的性能。另外，當(dāng)單個(gè)鋰離子電池通過(guò)串并聯(lián)組合成電池組時(shí)，要求內(nèi)阻必須嚴(yán)格相同才能組合成電池組。可見(jiàn)，準(zhǔn)確測(cè)量鋰離子電池內(nèi)阻具有重要的意義。

目前鋰電池內(nèi)阻常用測(cè)量方法是按標(biāo)準(zhǔn)要求，在電池正負(fù)兩端施加一頻率為1 kHz、小幅值的交流恒流信號(hào)，通過(guò)測(cè)量電池兩端交流電壓來(lái)達(dá)到測(cè)量?jī)?nèi)阻的目的[1-3]。該方法沒(méi)有考慮電池的電容效應(yīng)，忽略了測(cè)量的交流電壓與流過(guò)的交流電流不同相的問(wèn)題，因此計(jì)算出的內(nèi)阻值是不準(zhǔn)確的。其他方法，如用單片機(jī)測(cè)量?jī)?nèi)阻、基于參數(shù)自適應(yīng)模型的內(nèi)阻估計(jì)等，實(shí)現(xiàn)起來(lái)似比較困難[4-6]。

本文針對(duì)準(zhǔn)確測(cè)量鋰離子電池內(nèi)阻的要求，提出一種基于恒流充放電測(cè)量的內(nèi)阻估計(jì)方法，并通過(guò)Altium Designer軟件仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)測(cè)量驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 鋰電池物理模型分析

在眾多的鋰電池物理模型[7-10]中，Thevenin模型能很好地表征鋰電池靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性，應(yīng)用最為廣泛，本文以圖1（a）所示的Thevenin模型為研究目標(biāo)。該模型是一種RC網(wǎng)絡(luò)等效模型，其中E0為電池的開(kāi)路電壓，R?為歐姆內(nèi)阻，由正負(fù)電極材料中的隔膜及其他部分的材料電阻所組成，Rp是正極與負(fù)極在進(jìn)行電化學(xué)反應(yīng)時(shí)極化所引起的極化電阻，Cp是 正負(fù)極間的極化電容，與Rp一起構(gòu)成阻容回路。

標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)阻測(cè)量方案如圖1（a）所示，當(dāng)交變的恒流I流過(guò)被測(cè)的電池時(shí)，測(cè)量電池的交流響應(yīng)電壓U，內(nèi)阻計(jì)算公式為:

式（1）簡(jiǎn)化了鋰電池物理模型，忽略了電池的電容效應(yīng)。由于真實(shí)的電流I與電壓U是不同相的，其相位關(guān)系如圖1（b）所示，因此式（1）直接計(jì)算出的電池內(nèi)阻R顯然是不準(zhǔn)確的。

由于模型中未知的參數(shù)包括歐姆內(nèi)阻R?、極化內(nèi)阻Rp和極化電容Cp， 即使精確測(cè)量出I和U的相位關(guān)系，也無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)出模型中的3個(gè)變量。

圖1 鋰電池物理模型

2 恒流充放電測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1）觀察圖2所示的電路模型可知，Rp和Cp構(gòu)成阻容回路，歐姆內(nèi)阻R?與阻容回路串聯(lián)連接。由于電容Cp具有能量?jī)?chǔ)存功能，阻容回路兩端電壓不能發(fā)生突變。當(dāng)方波恒流源電流輸出狀態(tài)切換時(shí)，鋰電池兩端的電壓跳變?nèi)鐖D3（d）所示，由歐姆內(nèi)阻R?和激勵(lì)電流Ic決定，與阻容回路無(wú)關(guān)。根據(jù)這一特性，測(cè)量狀態(tài)切換產(chǎn)生的電壓突變可估計(jì)出R?。

2）觀察圖2中的阻容回路可知，如果激勵(lì)端的電流為0，阻容回路處于自然放電狀態(tài)，根據(jù)電路常識(shí)可知，放電電壓變化趨勢(shì)是時(shí)間常數(shù)為τp(τp=RpCp)的負(fù)指數(shù)曲線，變化趨勢(shì)如圖3（b）放電部分所示。測(cè)量負(fù)指數(shù)曲線的衰減特性，能夠準(zhǔn)確估計(jì)出τp；如果激勵(lì)端電流為固定值Ic，阻容回路處于充電狀態(tài)，充電電壓也是一條時(shí)間常數(shù)為τp的指數(shù)曲線，變化趨勢(shì)如圖3（b）充電部分所示。該曲線以狀態(tài)切換瞬間的電容電壓為初始值，隨充電時(shí)間的推移無(wú)限接近IcRp，利用充電電壓曲線這一遞增特性能夠估計(jì)出Rp和Cp。

綜合上述2點(diǎn)分析可知，圖3（d）所示的電壓輸出響應(yīng)是由激勵(lì)波形、歐姆內(nèi)阻、阻容回路共同決定的，通過(guò)測(cè)量瞬態(tài)輸出響應(yīng)來(lái)估計(jì)模型參數(shù)在理論上是可行的。

圖2 測(cè)量系統(tǒng)方案

圖3 鋰電池模型電壓響應(yīng)示意圖

2.1 模型瞬態(tài)響應(yīng)分析

用方波恒流源I(t)激勵(lì)鋰電池，激勵(lì)電流可表示為

在電池充電周期，阻容回路充電過(guò)程如圖4所示。電流和電壓關(guān)系如下：

圖4 阻容回路充電過(guò)程電壓示意圖

聯(lián)立式（3）～式（5）可得

假設(shè)充電初始時(shí)刻為t0，電容初始電壓為u+(t0)，解式（6）可得充電周期的阻容回路瞬時(shí)電壓為

同理，圖5所示的放電過(guò)程中，阻容回路電流和電壓關(guān)系為

圖5 阻容回路放電過(guò)程電壓示意圖

聯(lián)立式（8）～式（10）可得

令放電初始時(shí)刻t0的電容初始電壓為u?(t0)，解式（11）可得放電周期阻容回路瞬時(shí)電壓為

歐姆內(nèi)阻沒(méi)有充放電特性，電壓響應(yīng)為

電池兩端電壓輸出可表示為

其中，E0是電池開(kāi)路電壓，可以通過(guò)靜態(tài)測(cè)量獲得；造成U(t)的電壓跳變；uRp(t)隨充放電狀態(tài)切換而連續(xù)變化。

假設(shè)電容初始時(shí)刻電壓為uR?(0)=0，由式（7）和式（12）可知t=τ和t=2τ時(shí)刻阻容回路兩端端電壓為

綜合式（7）、（12）、（15）、（16），可得任意時(shí)刻回路電壓和電池輸出電壓U(t)。

2.2 模型參數(shù)估計(jì)

整理2.1節(jié)給出的模型分析，圖6所示的充電周期鋰電池端電壓為

放電周期鋰電池端電壓為

假設(shè)圖6中充電放電瞬間的電池兩端的電壓跳變?yōu)棣，可得歐姆內(nèi)阻

圖6 充、放電過(guò)程電池電壓響應(yīng)示意圖

為消除常數(shù)誤差和系統(tǒng)噪聲對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，對(duì)單調(diào)下降的式（18）進(jìn)行后向差分，可得

其中Δt是后向差分的時(shí)間步長(zhǎng)。

對(duì)式（20）進(jìn)行泰勒展開(kāi)，只保留一階，得到

將式（21）取對(duì)數(shù)可得

觀察式（22）可知，函數(shù)f(t)是一個(gè)典型的線性曲線。通過(guò)對(duì)函數(shù)進(jìn)行后向差分和取對(duì)數(shù)，無(wú)需知道放電階段的初始電壓u?(t0)，通過(guò)線性曲線擬合，就能精確估計(jì)出放電時(shí)間常數(shù)

同理，對(duì)單調(diào)上升的式（17）前向差分，整理可得

對(duì)式（23）進(jìn)行泰勒展開(kāi)，只保留一階，得到

將式（24）取對(duì)數(shù)可得

3 仿真與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證所提方法的有效性，在Alitum Desinger軟件平臺(tái)建立如圖7所示的信號(hào)仿真模型。仿真元件選擇系統(tǒng)自帶仿真模型的電阻、電容、電源器件，仿真模型各元件的配置參數(shù)為：極化內(nèi)阻 Ω，極化電容50 μF，歐姆內(nèi)阻 Ω，電池V0開(kāi)路電壓4.3 V，恒流源I0輸出頻率1 kHz、幅度 50 mA的方波電流，電壓輸出波形的采樣頻率為500 kHz，瞬態(tài)分析的仿真輸出電壓波形如圖8所示。Rp=1Cp=R0=1

圖7 Altium Desinger信號(hào)仿真模型

由圖8（a）可見(jiàn)，歐姆內(nèi)阻R0的端電壓在充放電瞬間，電壓跳變值為50 mV，與式（19）計(jì)算的結(jié)果一致；圖8（b）中阻容回路的端電壓變化趨勢(shì)與圖3（b）相同；圖8（c）中電池端電壓響應(yīng)也與圖3（d）吻合。由此可知，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文理論分析預(yù)期的結(jié)果是一致的，驗(yàn)證了本文思路的可行性。

圖8 仿真模型輸出電壓曲線

在Alitum Desinger軟件平臺(tái)將電池端電壓響應(yīng)Vout的曲線采樣點(diǎn)取出，用Matlab軟件對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理，分析結(jié)果如圖9所示。圖9（a）、（d）所示為仿真輸出的曲線整體和充放電部分、跳變部分的對(duì)比，圖中電壓跳變部分、充電部分、放電部分用不同的標(biāo)識(shí)標(biāo)出，由圖中的電壓跳變值ΔU即可得到電池歐姆內(nèi)阻R0的估計(jì)值圖9（b）所示為樣本放電曲線的放大效果，圖9（c）所示為樣本放電曲線差分取對(duì)數(shù)后曲線擬合的結(jié)果對(duì)比，由圖9（c）可見(jiàn)曲線擬合的效果很好，由式（22）可得到時(shí)間常數(shù)τp的估計(jì)值圖9（e）所示為樣本充電曲線的放大效果，圖9（f）所示為該樣本放電曲線差分取對(duì)數(shù)后曲線擬合的結(jié)果對(duì)比，由式（25）可得到極化內(nèi)阻Rp的估計(jì)值極化電容Cp的 估計(jì)值仿真實(shí)驗(yàn)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表1所示。

由表1所示的估計(jì)結(jié)果可見(jiàn)，由本文算法估計(jì)的歐姆內(nèi)阻R0、極化內(nèi)阻Rp、極化電容Cp與真實(shí)值是非常接近的，實(shí)驗(yàn)達(dá)到了預(yù)期的參數(shù)估計(jì)效果，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性。

3.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

圖9 本文算法對(duì)仿真數(shù)據(jù)的分析結(jié)果

表1 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在軟件仿真驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，采用本文方法對(duì)某品牌的鋰離子電池模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。該品牌電池部分參數(shù)為：開(kāi)路電壓E0為4.3 V，方波恒流源輸出頻率為1 kHz、幅度為2 A的脈沖電流，采用安捷倫示波器采集電池輸出電壓波形，采樣頻率為1 MHz。由于示波器采集的信號(hào)波形疊加了隨機(jī)的噪聲信號(hào)，為提高參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確程度，本文采用平滑濾波的辦法對(duì)波形進(jìn)行預(yù)處理，預(yù)處理前后的輸出電壓曲線如圖10所示。由圖10可見(jiàn)，實(shí)測(cè)的輸出電壓波形與圖8（a）所示的仿真波形比較接近，平滑濾波后波形光滑連續(xù)，充電、放電、跳變部分的波形清晰可見(jiàn)。

采用與3.1節(jié)類似的方法，用Matlab軟件對(duì)平滑后的波形進(jìn)行分析和處理，處理結(jié)果如圖11所示。圖11（a）、（d）所示為實(shí)測(cè)的輸出電壓曲線，圖中電壓跳變部分、充電部分、放電部分用不同的標(biāo)識(shí)標(biāo)出，由電壓跳變值ΔU可估計(jì)出電池歐姆內(nèi)阻R?，圖11（b）、（e）所示為樣本放電、充電曲線的放大效果，圖11（c）、（f）所示為放電、充電曲線差分取對(duì)數(shù)后曲線擬合的結(jié)果對(duì)比，由式（22）和式（25）即可從圖11（c）和（f）的曲線中估計(jì)出時(shí)間常數(shù)τp、極化電容Cp、 極化內(nèi)阻Rp。

圖10 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)曲線預(yù)處理結(jié)果

表2給出了本文方法與直接測(cè)量法的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果。分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，直接測(cè)量法沒(méi)有考慮極化電容對(duì)輸出響應(yīng)的影響，測(cè)量結(jié)果近似等于歐姆內(nèi)阻和極化電阻的和值，與真實(shí)的鋰電池物理模型存在較大的偏差，不能反映鋰離子電池的物理特性；采用本文方法能夠?qū)︿囯姵貧W姆內(nèi)阻、極化內(nèi)阻和極化電容進(jìn)行精確估計(jì)。

圖11 本文算法對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的分析結(jié)果

表2 樣品實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

準(zhǔn)確測(cè)量鋰離子電池歐姆內(nèi)阻、極化內(nèi)阻和極化電容，對(duì)監(jiān)測(cè)鋰離子電池的工作狀態(tài)和性能具有重要意義。針對(duì)現(xiàn)有測(cè)量手段的不足，本文提出一種基于恒流充放電測(cè)量的內(nèi)阻估計(jì)方法。該方法在兼容現(xiàn)有測(cè)量方案的基礎(chǔ)上，將鋰電池歐姆內(nèi)阻、極化內(nèi)阻和極化電容作為估計(jì)變量，用方波恒流源激勵(lì)鋰電池獲得充放電輸出響應(yīng)，利用充放電狀態(tài)切換引起的電壓跳變估計(jì)歐姆內(nèi)阻，再對(duì)輸出電壓曲線做差分和取對(duì)數(shù)變換，通過(guò)求解簡(jiǎn)單的直線擬合問(wèn)題估計(jì)出阻容回路參數(shù)。軟件仿真實(shí)驗(yàn)和樣品實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。與現(xiàn)有測(cè)量方法相比，本方法能有效消除單頻點(diǎn)測(cè)量引起的不同相問(wèn)題，具有測(cè)量準(zhǔn)確、簡(jiǎn)單可靠的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際測(cè)量中獲得較好的使用效果。