房云飛， 王洪雁， 裴炳南

(大連大學, a.遼寧省北斗高精度位置服務技術(shù)工程實驗室；b.大連市環(huán)境感知與智能控制重點實驗室，遼寧 大連 116622)

0 引言

波達方向(Direction of Arrival，DOA)估計是陣列信號處理中的重要研究內(nèi)容之一，在雷達、聲納、移動通信、無線傳感器網(wǎng)絡等領域得到廣泛應用[1-3]。自20世紀60年代以來，研究者們提出了大量有效的DOA估計算法，主要有最小方差譜估計法[4](Minimum Variance Distortionless Response，MVDR)和以多重信號分類(Mu-ltiple Signal Classification，MUSIC)為代表的子空間算法[5]。上述DOA估計算法皆基于如下假設：信源不相關、快拍數(shù)量足夠多，且信噪比(Signal Noise Ratio，SNR)足夠大。若快拍數(shù)量少、信噪比較低，這些算法性能將明顯下降，尤其在信源相關情況下，由于信號協(xié)方差矩陣會出現(xiàn)秩虧現(xiàn)象，這些算法估計精確度更低。

近年來，信號處理領域中提出的壓縮感知(Compressing Sensing，CS)理論[6-7]吸引了研究人員的極大關注，已廣泛應用于圖像處理和無線通信等諸多領域。針對陣列DOA估計運算量較大的問題，基于CS理論，LIANG等利用目標空域稀疏特性[8]，提出一種稀疏恢復l1-SVD算法[9]。在已知信源數(shù)量條件下，即使信源信號相關，該算法都將得到DOA的高精度估計。然而，在沒有信源數(shù)量先驗信息的情況下，該算法性能會明顯下降。針對此問題，COTTER把多快拍和匹配追蹤算法(MP)相結(jié)合，提高了DOA估計性能[10]。為進一步提高DOA估計的分辨率和精確度，GORODNITSKY和RAO提出把欠定系統(tǒng)聚焦求解(Focal Underdetermined System Solver，F(xiàn)OCUSS)算法和lp懲罰函數(shù)結(jié)合對DOA進行估計，其中，p<1[11]。此外，為了避免接收信號協(xié)方差矩陣求解產(chǎn)生奇異值的缺陷，文獻[12]提出一種通過迭代和閾值轉(zhuǎn)換的DOA估計方法。文獻[13]則采用奇異值分解欠定系統(tǒng)聚焦求解(Singular Value Decomposition-Regularized Multi-vector Focal Undetermined System Solver，SVD-RMFOCUSS)算法實現(xiàn)DOA高分辨率估計，然而由于此算法基于陣元域，導致SVD-RMFOCUSS算法計算復雜度比較高。文獻[14]基于波束域采用Dantzig Selector算法實現(xiàn)DOA估計，降低了算法的計算復雜度。然而，Dantzig Selector算法的DOA估計譜峰較寬，不利于角度高分辨。

針對上述問題，本文提出一種基于波束域的多測量矢量欠定系統(tǒng)正則化聚焦求解(BS-RMFOCUSS)算法。該算法利用目標信號空域稀疏特性，基于壓縮感知理論，采用隨機陣列對空域稀疏信號進行壓縮采樣，然后將接收壓縮信號從陣元域映射到波束域，得到波束空間的接收信號數(shù)據(jù)矩陣[15-16]，隨后采用性能較好的RMFOCUSS算法[17]進行DOA估計。與多測量矢量欠定系統(tǒng)聚焦求解算法(Multi-vector Focal Undetermined System Solver，MFOCUSS)、多測量矢量欠定系統(tǒng)正則化聚焦求解算法(Regularized Multi-vector Focal Undetermined System Solver，RMFOCUSS)相比，BS-RMFOCUSS算法在低信噪比條件下也可獲得較高角度分辨率，且具有較低計算復雜度；與傳統(tǒng)CAPON，MUSIC和l1-SVD算法相比，所提算法能夠?qū)ο嚓P信號進行有效估計，且具有更高的角度分辨力及更優(yōu)的角度估計性能。

1 稀疏波達方向角估計模型

(1)

式中：a(θk)=[1,exp(-jα),…,exp(-j(M-1)α)]T表示來波方向θk的M×1維陣列導向矢量，α=2πd·sin(θk)/λ表示均勻線性陣列平面內(nèi)各陣元之間的第k條信號到達此陣元時的相移；w(t)表示疊加在陣列接收回波中的M×1維矢量噪聲信號。

為了便于推導，式(1)可重新表示為

x(t)=As(t)+w(t)

(2)

式中：A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)]是陣列流型矩陣；s(t)=[s1(t),s2(t),…,sk(t)]T是K×1維信號矢量。

由上述分析可得過完備陣列流型矩陣，即過完備稀疏基，則每個可能來波信號對應的導向矢量可表示為

(3)

定義NS×1信號稀疏矢量

(4)

基于式(3)和式(4)，式(2)可重新表示為

x(t)=Ψz(t)+w(t)

(5)

由此，將接收信號x(t)投影至投影測量矩陣Φ，可得

y(t)=Φx(t)=ΦΨz(t)+Φw(t)

(6)

對于多次快拍(數(shù)量為N)，上式可表示為

Y(t)=ΦX(t)=ΦΨΖ(t)+ΦW(t)=ΘZ(t)+ΦW(t)

(7)

由式(7)可知，上述算法基于陣元域建立接收信號模型，在采用稀疏重構(gòu)算法實現(xiàn)DOA估計的同時，也會導致算法計算量大、估計穩(wěn)定性差等問題，實施性比較差。

2 波束域RMFOCUSS重構(gòu)算法

為進一步提高DOA估計的精確度和穩(wěn)健性，降低DOA估計算法的運算復雜度，本文提出一種波束域欠定系統(tǒng)聚焦求解(BS-RMFOCUSS)算法，通過波束轉(zhuǎn)換矩陣T將陣列接收到的信號從陣元域映射到波束域，即

yB(t)=THΦx(t)=ΦBΨz(t)+ΦBw(t)

(8)

式中：T為M×NB的波束形成矩陣，滿足THT=INB，NB為波束數(shù)量；ΦB=THΦ。由文獻[18]可知，T可表示為

(9)

式中，m為波束形成矩陣的始端點。

對于多次快拍，式(8)可重寫為

YB(t)=THΦX(t)=ΦBΨZ(t)+ΦBW(t)=ΘZ(t)+ΦBW(t)

(10)

式中，Θ=ΦBΨ表示波束域下的感知矩陣。

由式(10)可知，矩陣Z(t)行支撐集可表示為

supp (Z)={i|?js.t.Z(i,j)≠0,i∈[1,…,M]}

(11)

式中：supp (·)表示一個確定矩陣的支撐集；Z(i,j)表示矩陣Z的第(i,j)個元素。

由式(4)可知，Z(t)具有矩陣稀疏特性，故Z(t)行的稀疏性可用其矩陣中非零行個數(shù)表示，即

‖Z‖0= |supp (Z)|

(12)

式中：‖·‖0表示一個已知矩陣非零行個數(shù)；|·|表示一個確知集合的勢。

基于式(12)，式(10)優(yōu)化問題可建模為

min‖Z‖0

(13)

s.t. ‖YB-ΘΖ‖F(xiàn)≤ε

式中：‖·‖F(xiàn)表示Frobenius范數(shù)；ε表示誤差常數(shù)，通常取ε=0.01。

考慮式(13)優(yōu)化問題求解是一個NP-Hard問題，可將上述優(yōu)化問題目標函數(shù)等價松弛[17]為

‖Z‖0～‖Z‖p,q

(14)

基于式(13)及式(14)，上述優(yōu)化問題可進一步表示為

min ‖Z‖p,q

(15)

s.t. ‖YB-ΘΖ‖F(xiàn)≤ε

式(15)優(yōu)化問題可采用拉格朗日乘子法進行求解[11]，即

(16)

式中，γ為平衡估計誤差與稀疏性的參數(shù)，可根據(jù)修正l曲線法[19]預先選取最優(yōu)γ值，其在一定信噪比范圍內(nèi)變化較小。

式(16)可通過DOA近似重構(gòu)算法實現(xiàn)求解，本文通過RMFOCUSS算法對優(yōu)化模型即式(16)中的稀疏信號Z進行估計，具體實現(xiàn)步驟描述如下：

3) 信號矢量Zk+1=Wk+1Qk+1；

4) 若‖Zk+1-Zk‖F(xiàn)/‖Zk‖F(xiàn)<ε,算法迭代終止。

由上可得信號Z的近似稀疏逼近，進一步可得空域信號譜估計公式，即

P(θi)=‖Z(i,:)‖F(xiàn)。

(17)

3 實驗仿真及分析

基于非相干、相干信號及遠近目標模型，本節(jié)通過與傳統(tǒng)的CAPON算法、MUSIC算法、l1-SVD算法進行對比，驗證BS-RMFOCUSS算法的有效性。仿真條件如下：均勻線性陣列陣元個數(shù)M=12，信號快拍數(shù)為N=50；從-180°到180°，以1°為間隔將目標角度空間劃分為361°，即網(wǎng)格劃分數(shù)量為361個；考慮到目標角度范圍，波束數(shù)NB=8。目標信號采用零均值、方差為1的復高斯隨機信號，目標信號與加性復高斯噪聲互不相關。采用均方根誤差作為算法性能指標，其中均方根誤差定義為

(18)

式中，J為蒙特卡羅試驗次數(shù)。

實驗1 考慮兩個入射角度分別為10°和15°的非相干信號，信噪比為10 dB，進行20次獨立蒙特卡羅實驗。圖1為分別采用CAPON算法、MUSIC算法、l1-SVD算法和BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計輸出對比。從圖1可以看出，當兩個非相干信號角度間隔為5°時，各算法均能正確分辨出兩個目標角度，且具有相近的估計性能，需要注意的是，所提算法比CAPON算法、MUSIC算法、l1-SVD算法空域譜估計輸出具有更窄的主峰和更低的旁瓣，因而具有更好的角度分辨力及估計精度。

圖1 10 dB時的非相干信號的空域譜估計

Fig.1 Spatial spectra estimation of noncoherent signals(10 dB)

實驗2 考慮兩個入射角度分別為10°和12°的鄰近非相干信號，信噪比為10 dB，進行20次獨立蒙特卡羅實驗。圖2為分別采用CAPON算法、MUSIC算法、l1-SVD算法和BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計輸出對比。從圖2可知，當兩個鄰近非相干信號角度間隔為2°時，所提算法和l1-SVD算法能夠?qū)︵徑繕藢崿F(xiàn)有效估計，而CAPON算法和MUSIC算法無法分辨兩個鄰近信號。此外，從圖2還可看出，與l1-SVD算法相比，所提算法具有更窄的主瓣和更低的旁瓣。圖2表明，在波束域下，所提算法同樣具有更高的分辨能力。

圖2 鄰近非相干信號的空域譜估計

實驗3 考慮兩個入射角度分別為10°和15°的非相干信號，信噪比為-10 dB，進行20次獨立蒙特卡羅實驗。圖3為分別采用CAPON算法、MUSIC算法、l1-SVD算法和BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計輸出對比。從圖3可以看出，在低信噪比條件下，僅有BS-RMFOCUSS算法能夠成功分辨兩個信號，而CAPON算法、MUSIC算法和l1-SVD算法只呈現(xiàn)出一個誤估的譜峰，無法分辨兩個信號。圖3表明所提算法在低信噪比的情況下同樣具有較好的分辨能力。

圖3 -10 dB時的非相干信號的空域譜估計

實驗4 考慮兩個入射角度分別為10°和15°的非相干信號，信噪比為10 dB，進行100次獨立蒙特卡羅實驗。圖4為分別采用CAPON算法、MUSIC算法、l1-SVD算法和BS-RMFOCUSS算法的DOA估計均方根誤差隨信噪比變化關系曲線。從圖4可以看出，所提算法在低信噪比條件下的均方根誤差曲線明顯低于CAPON算法、MUSIC算法和l1-SVD算法，且隨著信噪比的增大，各算法的均方根誤差曲線均趨向于平穩(wěn)狀態(tài)。圖4表明，低信噪比條件下，所提算法具有較高的角度估計精度。

圖4 非相干信號DOA估計均方根誤差隨信噪比的變化曲線

實驗5 考慮兩個入射角度分別為10°和20°的相干信號，信噪比為10 dB，進行20次獨立蒙特卡羅實驗。圖5為分別采用CAPON算法、MUSIC算法、l1-SVD算法和BS-RMFOCUSS算法的空域譜估計輸出對比。從圖5可以看出，CAPON算法和MUSIC算法在相干信號情況下，不能對兩個相干信號進行精確有效的估計，且兩種算法的旁瓣相對較高，而所提算法和l1-SVD算法可正確辨識兩個相干信號。此外，需要說明的是，相干信號條件下，所提算法比l1-SVD算法具有更窄的主峰和更低的旁瓣。圖5表明所提算法在信號相干的情況下同樣具有較高的角度估計精度和較好的角度分辨能力。

圖5 相干信號的空域譜估計Fig.5 Spatial spectral estimation of coherent signals

實驗6 為進一步驗證所提算法在算法復雜度上的優(yōu)勢，本文與基于陣元域的RMFOCUSS算法和l1-SVD算法進行對比，如圖6所示。考慮到實際情況，l1-SVD算法復雜度近似為Ο(2MS2+MLS2+KS2)，基于陣元域RMFOCUSS算法復雜度近似為Ο(2MS2+MLS2+M3(M-1)(M-2)),BS-RMFOCUSS算法復雜度近似為Ο(2MS2+MLS2+2NML+N3(N-1)(N-2))，其中，M為陣元數(shù)，K為信源數(shù)，S為稀疏字典個數(shù)，L為快拍數(shù)，N為波束數(shù)。實驗仿真取S=361，L=200，N=8，K=2。

圖6 BS-RMFOCUSS算法、RMFOCUSS算法和l1-SVD算法復雜度對比Fig.6 Complexity of BS-RMFOCUSS,RMFOCUSS and l1-SVD algorithms

從圖6可以看出，當陣元數(shù)量較小時，3種算法的運算復雜度近似相同，且所提算法運算復雜度略低于RMFOCUSS算法和l1-SVD算法。然而，隨著陣元數(shù)量的不斷增大，陣元域RMFOCUSS算法的運算復雜度呈指數(shù)上升趨勢，而本文所提算法和l1-SVD算法在復雜度增長率上遠低于陣元域RMFOCUSS算法，且所提算法在運算復雜度上略優(yōu)于l1-SVD算法。由此可知，與基于陣元域的RMFOCUSS算法和l1-SVD算法相比，所提算法具有較低計算復雜度。

4 結(jié)束語

本文針對傳統(tǒng)DOA估計算法計算復雜度高、分辨率低等問題，提出一種基于波束域的多測量矢量欠定系統(tǒng)正則化聚焦求解(BS-RMFOCUSS)算法。該算法首先基于壓縮感知理論對空域稀疏信號進行壓縮采樣，并將目標壓縮信號從陣元域映射到波束域，避免了傳統(tǒng)DOA估計算法較高計算復雜度的問題。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的CAPON算法、MUSIC算法及l(fā)1-SVD算法相比，所提算法在低信噪比及相干信號條件下，具有較好的DOA估計精度和角度分辨力；與RMFOCUSS算法和l1-SVD算法相比，所提算法具有較低計算復雜度和較好的算法運算性能。