◎ 郭金星，宋偉剛

（1.河南天隆輸送裝備有限公司，河南 新鄉(xiāng) 453000；2.東北大學機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110819）

帶式輸送機是最重要的散狀物料輸送設(shè)備，現(xiàn)代帶式輸送機由Thomas Edison在1891年設(shè)計，使用在新澤西的Ogden鐵礦，一般認為，Robbins于1885年發(fā)明了帶有槽形托輥的帶式輸送機[1]。最早出版的帶式輸送機設(shè)計的書籍可以追溯到Hetzel在1901年出版的Belt Conveyors and Belt Elevators[2]。帶式輸送機在糧食系統(tǒng)中的糧庫和港口糧食物流中心也有廣泛的應(yīng)用。

20世紀50年代，在Vierling等[4]開展了大量的理論研究，得出了一些影響因素的回歸計算式[3]。Vierling和Oehman對運行阻力的測量，確定了運行阻力的計算方法。在美國，1954—1956年間，經(jīng)過對現(xiàn)場帶式輸送機的測試，給出了承載段阻力系數(shù)與承載重量的關(guān)系曲線，于1966年形成了CEMA傳統(tǒng)計算方法[5]。1980年Jonkers[6]給出了壓陷滾動阻力的計算方法，Spaans[7]、Lodewijks[8-9]研究了帶式輸送機主要阻力的計算方法，Nordell等[10-12]通過橡膠損耗模型的現(xiàn)場實測開展應(yīng)用。Hager等[13-17]對輸送機的運行阻力、接頭強度曲線和過渡段的附加應(yīng)力等開展研究，以1條1 km長的帶式輸送機為例，給出了帶式輸送機各種阻力的分布，形成了DIN22101-2002[18]、DIN22123[19]。邱向軍提出全二維壓陷滾動阻力模型[20-22]，并針對主曲線求解Prony級數(shù)參數(shù)困難問題，提出了避免求解Prony級數(shù)參數(shù)的QC-N模型。Rudolphi等[23-25]應(yīng)用橡膠試樣測得橡膠儲能模量和耗散模量的主曲線，采用廣義Maxwell模型計算壓陷滾動阻力，該方法是CEMA[26-27]的計算基礎(chǔ)。Wheeler等[28-39]研究了輸送帶的彎曲阻力、物料彎曲阻力、托輥轉(zhuǎn)動阻力、輸送帶壓陷滾動阻力，開發(fā)了托輥轉(zhuǎn)動阻力和壓陷滾動阻力實驗臺，其阻力的計算多采用有限元方法，所開發(fā)的壓陷滾動阻力實驗方法已經(jīng)形成AS1334-13[40]。

1 壓陷阻力產(chǎn)生的機理與主要問題

物料和輸送帶的重力將傳遞到托輥上，使托輥和作為抗拉元件的輸送帶骨架之間的輸送帶橡膠受到擠壓。當輸送帶接觸托輥組輥子表面時，擠壓力引起輸送帶變形，會阻礙輸送帶的運動；當輸送帶通過托輥后，由于恢復(fù)作用，輸送帶受到的擠壓變形減弱。由于橡膠是粘彈性材料，擠壓變形的恢復(fù)存在時滯，變形功的一部分不能恢復(fù)。導(dǎo)致這部分變形能全部轉(zhuǎn)化為熱能而損耗，這可以看成由作用輥子中心和垂直反力中心之間的偏距產(chǎn)生的沿輸送帶運行方向的純運動阻力，見圖1。橡膠的性能可以由實驗測得的主曲線來表示，見圖2。由此可見，帶式輸送機輸送帶壓陷阻力的計算可歸結(jié)為具有粘彈性特性的輸送帶經(jīng)過剛性輥子時壓陷變形所產(chǎn)生的能量消耗所等價的阻力。其影響因素包括：輸送帶的下覆蓋層厚度與輥子直徑、環(huán)境溫度與帶速、覆蓋橡膠的本構(gòu)關(guān)系、輸送帶經(jīng)過輥子時橡膠與輥子的接觸輪廓以及物料在輸送帶上的載荷分布等因素。各類研究主要在以下幾個方面存在差異。

圖1 輸送帶經(jīng)過輥子的變形圖

圖2 輸送帶橡膠材料的主曲線圖

（1）模型的維數(shù)。Spaans、Jonkers、Qiu以及Rudolphi和Reicks主要來自采用的Winkler基礎(chǔ)假設(shè)。Winkler基礎(chǔ)假設(shè)使粘彈問題通過假設(shè)一維壓力狀態(tài)并完全地忽略剪應(yīng)力和材料的不可伸縮性，求解相對簡單。Qiu、王繁生也采用二維模型進行求解，需要用復(fù)雜的邊界元方法求解，Munzenberger采用三維有限元模型進行求解。

（2）覆蓋橡膠的本構(gòu)關(guān)系。作為粘彈性體的輸送帶覆蓋層，可采用廣義Maxwell模型來描述其本構(gòu)關(guān)系，可采用3元件模型進行簡化，見圖3。

圖3 輸送帶的本構(gòu)關(guān)系圖[41]

（3）環(huán)境溫度與帶速。具有流變特性的橡膠對溫度和施加載荷的頻率敏感，不同溫度和頻率條件下的彈性模量和損耗模量不同。

（4）相對于輥子壓陷接觸輪廓的對稱與非對稱。Jonkers采用對稱假設(shè)可直接得到解析解，而采用非對稱結(jié)構(gòu)時需要通過解非線性方程得出非對稱的接觸區(qū)域長度。

2 壓陷阻力的相關(guān)測試方法

壓陷阻力的確定一般有小試樣和大試樣兩種方法，兩種方法的原理本質(zhì)上是相同的，但由于存在模型的參數(shù)誤差和測試誤差，所以最終結(jié)果會存在一定差異。

2.1 小試樣參數(shù)的測量與確定廣義Maxwell模型參數(shù)

小試樣方法是研究輸送帶覆蓋層上取出3 mm×12 mm×30 mm的試樣，使用扭轉(zhuǎn)流變儀獲得溫度、應(yīng)變和頻率等所有范圍的輸送帶覆蓋層的動態(tài)物理性質(zhì)E′（彈性儲能模量）和E〞（耗散模量）。當給試樣一定頻率，可測得應(yīng)力σ0與應(yīng)變ε0的關(guān)系，應(yīng)變曲線相對于應(yīng)力曲線有滯后相位角δ，見圖4。圖5為RSA-G2流變儀及其試樣的固定方式。

圖4 粘彈性行為圖

圖5 RSA-G2固體分析[34]圖

從而有：

進行時間-溫度疊加數(shù)據(jù)是由樣品的溫度和頻率掃描獲得的。此測試包括：頻率變化時保持溫度和應(yīng)變常數(shù)不變，然后將溫度逐漸遞增，并在一段時間的新的溫度保持不變，以確保頻率掃描再次執(zhí)行之前整個材料的溫度不變。圖6為測得的流變參數(shù)-溫度關(guān)系曲線。儲能模量，損耗模量和的數(shù)據(jù)的主曲線（見圖7）來源于時間-溫度掃描，該掃描中溫度和頻率的關(guān)系用WLF（Williams，Landel and Ferry）方程[42-43]得出。

圖6 流變參數(shù)-溫度關(guān)系曲線圖[34]

圖7 從時間-溫度疊加的主曲線圖[34]

其中，C1、C2：常數(shù)，由經(jīng)驗數(shù)據(jù)確定；aT：位移因子；T0：參考溫度；T：溫度。

在WLF方程中，只有aT和T為獨立參數(shù)，可以通過多項式擬合函數(shù)關(guān)系：

通過主曲線確定常數(shù)ai。此計算式在CEMA6中采用。CEMA7中直接采用式（2），并且考慮了帶速對接觸頻率的影響。實際上也可以采用其他形式的函數(shù)進行插補擬合。

按照廣義2N+1參數(shù)模型，可以通過Prony級數(shù)給出應(yīng)力響應(yīng)函數(shù)：

其中τi=ηi/Ei是機械模型中各個耗散元件的周期特征參數(shù)。

采用對主曲線的擬合來得到E0、Ei和τi。

來計算E0和Ei。

由于Ei和τi的數(shù)量級差別較大（主曲線的橫、縱坐標都采用對數(shù)坐標），在應(yīng)用式（5）求解Prony級數(shù)（Maxwell–Weichert）參數(shù)時所得代數(shù)方程組為病態(tài)方程，Rudolphi采用最小2乘法通過主曲線來得到Prony級數(shù)參數(shù)，存在較大的誤差。

通常，通過扭轉(zhuǎn)測量所得結(jié)果為剪切模量，材料的剪切模量和彈性模量的關(guān)系為[43]為泊松比，橡膠為μ=0.5。

2.2 大試樣測試方法

大試樣方法使用包括上覆蓋層、骨架和下覆蓋層等輸送帶所有部分構(gòu)成的接頭后無極輸送帶，尺寸為350 mm寬，4800 mm長（13.8×190 in）。壓陷阻力是在不同托輥載荷、帶速和溫度下測得。DIN22123是大試樣測試方法。采用大試樣的結(jié)果可直接計算出壓陷損耗。圖8為壓陷滾動阻力測試結(jié)果示例[19,40]。

圖8 壓陷滾動阻力測試結(jié)果示例圖

3 壓陷阻力的計算方法

3.1 JONKERS壓陷滾動阻力模型

常用滾動阻力模型是由Jonkers提出的。其計算式是用水平力推導(dǎo)的，滾動壓陷阻力Fj為：

式中，W為輸送帶和物料產(chǎn)生的單位寬度垂直載荷，h為輸送帶下覆蓋層厚度，D為托輥直徑，材料特性E′和δ分別表示輸送帶底部的儲能模量和損耗角。

Jonkers計算式從粘彈性簡單的模型導(dǎo)出，滾動阻力計算結(jié)果偏高。Lodewijks、Wheeler、Rudolphi、Qiu詳細討論了Jonkers方程的局限性。Jonkers采用一維Winkler基礎(chǔ)假設(shè)，假定負載和壓陷深度之間存在線性關(guān)系，而通常對于大多數(shù)橡膠配料載荷或變形響應(yīng)只有在非常小的應(yīng)變時才是線性的。托輥建模為一個剛性圓柱體，輸送帶輪廓被假定為對稱于托輥的中心線；然而，在典型的運行速度，壓陷輪廓通常是不對稱的。

以Jonkers模型為基礎(chǔ)，現(xiàn)已開發(fā)使用了更為準確壓陷模型。然而，因為它的能量損失和動態(tài)的材料特性，Jonkers方程仍然是最常用的模型，它說明滾動阻力與成正比例關(guān)系。

3.2 QC-N壓陷滾動阻力模型

相對于簡單的Jonkers模型，QC-N模型是發(fā)展成為一個在理論上更準確的描述壓陷滾動阻力的新模型。類似Jonkers，主要彎曲橡膠數(shù)據(jù)可以直接應(yīng)用到模型，不同于由Lodewijks、Rudolphi和Reicks開發(fā)的分析模型需要麥克斯韋-維切特（Maxwell–Weichert）參數(shù)來表示橡膠的粘彈性性質(zhì)。和其他一維模型一樣，Qiu-N模型假設(shè)輸送帶簡化為在剛性托輥之上的Winkler基礎(chǔ)。假設(shè)接觸的輪廓被為半正弦函數(shù)曲線。模型包括一個“瞬態(tài)項”是考慮到壓陷變形的接觸應(yīng)力瞬態(tài)響應(yīng)，這是其他的一維模型所忽略的。

計算式是用水平力推導(dǎo)的，是滾動壓陷阻力：

式中，W為由輸送帶和物料產(chǎn)生的單位寬度垂直載荷力，h為輸送帶下表面覆蓋層厚度，R表示托輥半徑，材料特性δ表示帶底部的損耗角，由等式（8）確定，DQ是由等式（9）確定的無量綱值，A(α)是DQ的參數(shù)，由等式（10）確定。

G′和G〞分別為主曲線的剪切彈性模量和剪切損耗模量。

相位角α=ωt，ω表示頻率，t表示時間。α*由等式（11）確定，表示壓陷最大處到托輥皮帶接觸后沿與壓陷最大處到托輥輸送帶接觸前沿的比值。

雖然QC-N的模型并不如Jonkers方程能夠簡單地實現(xiàn)，但它表明能量損失和動態(tài)的材料特性之間有直接關(guān)系，其中滾動阻力正比于(1/3)。這可以用于橡膠膠料的快速比較。Qiu比較了幾種不同計算方法見圖9。

圖9 幾種計算方法能量損耗與溫度函數(shù)關(guān)系曲線比較圖[22]

QC-N模型避免了Prony級數(shù)參數(shù)的求解，但仍然是將輸送帶與托輥的接觸看作是準對稱結(jié)構(gòu)，只是滿足了非對稱接觸的邊界條件。

3.3 Prony級數(shù)參數(shù)的求解方法

對Prony級數(shù)參數(shù)求解困難問題，可通過將式（5）轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問題，再采用智能優(yōu)化算法進行求解，從而避免了求解代數(shù)方程的病態(tài)問題。

首先，定義 x1=E0,x2=E1,x3=τ1,…,x2i=Ei，x2i+1=τi(i=1,2,…,N)，X=[x1,x2,x3…x2i,x2i+1]T，則方程組（5）可以轉(zhuǎn)化為：

方程組（12）、（13）轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題，即求解fi(X)、fk(X)最小值。

定義目標函數(shù)f(X)為：

即fi(X)、fk(X)相對誤差的和。

則E0、Ei、τi的求解問題就可以轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)化問題：

此外，在計算的過程中還嘗試了另外兩種目標函數(shù)，即：fi(X)和fk(X)的平方和、fi(X)和fk(X)絕對值的和，但是效果都明顯不如fi(X)和fk(X)相對誤差的和。圖10為將主曲線用13項和1項（3參數(shù)）Prony級數(shù)擬合的結(jié)果?？梢姡捎?參數(shù)模型與實際橡膠的儲能（耗散）模量差異較大，其損耗角也會產(chǎn)生較大的誤差。

圖10 主曲線的Prony級數(shù)的擬合圖

4 其他主要阻力分量

Hager[14]對長度為1km的帶式輸送機進行各種阻力計算，見圖11，其結(jié)果為壓陷滾動阻力占總阻力的61%，托輥軸承阻力占6%，輸送帶彎曲阻力占5%，物料的內(nèi)摩擦（物料彎曲）阻力18%，附加阻力占9%，其他阻力占1%。顯然，這只有在特定條件下存在的，但大致反映了各部分阻力所占比例關(guān)系。

圖11 1km長水平帶式輸送機各種阻力的比例關(guān)系圖

4.1 物料內(nèi)摩擦阻力

物料的內(nèi)摩擦（彎曲阻力）是由于輸送帶經(jīng)過托輥組時物料被抬起，之后是下降，同時伴有物料在橫向的“張”、“合”運動。

Spaans[7]根據(jù)Krause和Hettler的作用在托輥組輥子上的主動和被動側(cè)壓系數(shù)，給出計算物料彎曲阻力為：

其中，F(xiàn)vs為物料重力作用在托輥上的正壓力；Fv為輸送帶和物料重力的垂直分力；為輸送帶張力；EI為輸送帶的彎曲剛度，Nm2；λρv——在垂直面上的主動側(cè)壓系數(shù)λa；λav為在垂直面上的被動側(cè)壓系數(shù)λp。

式中，β為槽角；φw為輸送帶與物料間的摩擦角；φt為物料堆積角；φi為物料內(nèi)摩擦角；ω為；x為從托輥上剛性槽形過渡到松弛的距離，0.01＜x＜0.04；d為物料的厚度。

Wheeler[29，33]采用實驗與有限元方法進行來確定壓陷阻力，難以在工程中應(yīng)用。

4.2 輸送帶的彎曲阻力

Spaans采用梁彎曲模型，給出輸送帶的彎曲阻力計算式為：

ψb——彎矩的遲滯損失?M正比于所施加的力矩M。彎曲輸送帶的能量損失系數(shù)，ψb=?M/M。其主要問題是確定彎曲輸送帶的能量損失系數(shù)較困難。Wheeler在壓陷阻力實驗臺上通過施加輸送帶彎曲變形，根據(jù)實驗結(jié)果推出輸送帶彎曲阻力[40]。

4.3 托輥的軸承阻力

Spaans給出托輥阻力的計算式為：

這里的n是托輥組中的托輥數(shù)，v是帶速，D是托輥直徑。

托輥軸承阻力可采用SKF的軸承阻力計算方法，但是該方法過于復(fù)雜[45]。Kruse和Lemmon[46]比較了Spaans、SKF、CEMA6的托輥阻力計算方法，在20℃的條件下，Spaans與SKF很好地吻合，而CEMA6的結(jié)果偏大；在-10℃的條件下，同樣地CEMA6的結(jié)果偏大。

4.4 物料和輸送帶在托輥上的載荷分布

在計算壓陷滾動阻力和物料彎曲阻力時，需要給出物料和輸送帶在托輥上的載荷分布。然而，確定載荷分布是困難的，它受到物料的種類、粒度分布、物料在輸送帶上的填充率以及托輥組的結(jié)構(gòu)、輸送帶的橫向剛度（成槽性）、張力等因素的影響，因此DIN22101的通過測試來確定主要阻力的方法也沒引入物料彎曲阻力，只采用托輥旋轉(zhuǎn)阻力和壓陷滾動阻力來折算。Grimmer等[47-50]在研究平面轉(zhuǎn)彎帶式輸送機的設(shè)計問題中給出了物料在各個輥子上的載荷分布比例關(guān)系。Ilic和Wheeler[37]采用DEM仿真和三維激光測量、以及Tekscan壓力傳感器測量輸送帶的輪廓和物料作用在輸送帶的壓力。Liu等[51-52]采用相同的是檢測裝置進行測試，圖12為所用傳感器和現(xiàn)場測試情況。CEMA7中也給出了一種物料在輸送帶的載荷分布，但尚不能得到業(yè)界的認可。DIN22123和AS 1334-13均采用線性載荷分布，見圖13。

圖1 2所用傳感器和現(xiàn)場測試情況圖

圖1 3等長輥子的托輥組設(shè)置在水平直線區(qū)段上理想化的正壓力分布圖

5 特種阻力和附加阻力

帶式輸送機的特種阻力和附加阻力是除主要阻力和提升阻力外阻力，之所以單獨劃分出一類附加阻力是由于20世紀70年代前受到計算工具的限制所造成的。近年來相關(guān)研究較少，值得注意的是：ISO5048的輸送物料與導(dǎo)料槽側(cè)板間的摩擦阻力的計算式過于簡化，該計算式已經(jīng)在DIN22101-2002中進行了修改，且ISO5048的計算結(jié)果過大。表1為帶式輸送機的計算實例，從計算結(jié)果看，滾筒阻力在各項特種與附加阻力所占比例較大，建議在設(shè)計計算中不要忽略該阻力。曲線段阻力的凸、凹弧部分具有相互抵消作用，但凸弧段在高張力區(qū)，還會產(chǎn)生一定的曲線段阻力。

表1 各部分阻力所占比例的計算實例表

6 帶式輸送機阻力計算與設(shè)計的問題

Lodewijks[9]認為，存在的事實是：①通過應(yīng)用橡膠粘彈性理論模型可以幫助預(yù)測帶式輸送機的能耗。②對橡膠的機械/動態(tài)特性測試應(yīng)遵從科學的方法。③可以比較兩種不同配方的橡膠的特性。此比較僅能基于測試特定流變儀的橡膠。測試的機械/動態(tài)特性可以作為壓陷滾動阻力的輸入?yún)?shù)，它能夠用以比較壓陷滾動阻力和/或系數(shù)。④可以通過特定的測試裝置測試不同橡膠配方下的橡膠機械/動態(tài)特性，用以采用計算設(shè)計工具對帶式輸送機的功率需求進行估計。

然而，作為虛構(gòu)：①應(yīng)用特定的流變儀測試的橡膠機械/動態(tài)特性可以應(yīng)用到任何的設(shè)計模型得出同樣預(yù)測精度的系統(tǒng)能量消耗。②理論模型預(yù)測與現(xiàn)場實測的帶式輸送機系統(tǒng)的功率消耗誤差在5%以下。③對于長距離越野帶式輸送機，壓陷滾動阻力總是起主導(dǎo)地位的設(shè)計參數(shù)，一些情況下，例如下運的帶式輸送機系統(tǒng)高的壓陷滾動阻力可能是有益的。另一些系統(tǒng)，例如大傾角輸送機，橡膠的損耗在總功率損耗中相對較小，甚至可以忽略。④在帶式輸送機安裝后應(yīng)盡早測試功率消耗，以對理論計算和實際功耗進行比較。

在帶式輸送機安裝后的半年，橡膠的性質(zhì)將會發(fā)生快速的變化，在投入運行半年內(nèi)測得的功率消耗不能表示系統(tǒng)將來的功率消耗。這種影響在進行橡膠配方的機械/動態(tài)測試時也應(yīng)予以考慮，阻力計算中應(yīng)注意以下內(nèi)容。

（1）CEMA計算方法不是標準，但由于CEMA的影響力往往被認為是事實上的標準。然而，CEMA6和CEMA7的計算方法是一個商業(yè)上的計算方法，僅依據(jù)CEMA設(shè)計指南很難進行計算，且通常不能直接將計算結(jié)果作為最終設(shè)計，CEMA計算方法也不被美國的業(yè)內(nèi)所完全接受[5，46]。

（2）帶式輸送機運行阻力在全生命周期中是不斷變化的，從安裝初期的跑合到壽命后期的零部件的老化（損壞），運行阻力也會從大到小，再變大。

（3）在設(shè)計過程中，對主要部件的運行阻力測試有助于帶式輸送機系統(tǒng)的設(shè)計；但由于測試的內(nèi)容很難涵蓋全部的運行工況，尚需要在設(shè)計過程中進行必要的修正，以保證系統(tǒng)安全可靠地運行。無論采用何種設(shè)計計算方法都依賴于設(shè)計者的最終判斷。

（4）低滾動阻力輸送帶的使用需要特別注意其適應(yīng)的溫度范圍，有的低滾動阻力輸送帶在合適的溫度范圍下具有較低的壓陷滾動阻力，而在其他溫度下可能阻力更大。

（5）采用小試樣和大式樣測試與計算所得壓陷滾動阻力會有很大的差別，因為兩者所存在的誤差來源有很大不同。