劉光遠

摘要：文章立足于金融期權(quán)衍生品構(gòu)造和對沖的基本方法對現(xiàn)實中工商銀行的A股股票進行6個月歐式期權(quán)的構(gòu)造以及對構(gòu)造的期權(quán)進行包含無交易成本、絕對交易成本以及相對交易成本下的最優(yōu)對沖成本探尋，并在運用廣義維納過程對未來6個月內(nèi)股價進行合理預測的基礎(chǔ)上根據(jù)期權(quán)的Delta值測算出有交易成本下的平均最優(yōu)對沖間隔為19.25天。文章通過研究，為今后我國股票期權(quán)的構(gòu)造以及成本的合理對沖提供思路。

關(guān)鍵詞：工商銀行股票；BS期權(quán)定價；Delta對沖

一、引言

（一）研究背景

1. 中國金融市場發(fā)展不夠全面，金融市場投資標的少，衍生品市場發(fā)展滯后。

2. 衍生品產(chǎn)品結(jié)構(gòu)不合理、缺少足夠的有價值的期權(quán)產(chǎn)品對金融市場的風險進行管理。

3. 具體來說，目前幾類有農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)和唯一的50ETF交易型基金期權(quán)，缺少股票期權(quán)。

（二）創(chuàng)新點

1. 中國股票市場發(fā)展層次上并不健全，沒有多樣化的衍生品對股票的風險進行對沖，具體地，中國股票期權(quán)市場發(fā)展緩慢沒有足夠的期權(quán)對股票投資的風險進行對沖，從衍生品構(gòu)造的基本理論來構(gòu)造虛擬期權(quán)并進行最優(yōu)對沖的設(shè)計能夠結(jié)合現(xiàn)實情況，具有前瞻性。

2. 能夠為今后中國大類股票的期權(quán)的構(gòu)造及交易策略的設(shè)計提供比較有價值的參考意義，該套方法能夠在A股具有大市值特征的股票中進行拓展，在該范圍內(nèi)具有一定的泛化能力。

二、策略模型機理闡述

（一）金融期權(quán)定價

金融期權(quán)是一份未來能夠?qū)崿F(xiàn)買入或賣出某項金融基礎(chǔ)資產(chǎn)的權(quán)利，由于期權(quán)的權(quán)利只有權(quán)利而沒有義務(wù)，故為了平衡金融基礎(chǔ)資產(chǎn)的買賣雙方的利益，就必須對金融期權(quán)進行合理的定價使期權(quán)的空頭方得到多頭方一定的對價支付以彌補。常見的期權(quán)定價方法有兩種：布萊克——斯科爾斯模型（BS模型）；二叉樹模型。

本文將對中國工商銀行A股股票進行歐式期權(quán)的構(gòu)造，故選用BS模型進行計算。其中，BS看漲期權(quán)模型具體如下：

本文中c代表工商銀行股票看漲期權(quán)的價值，S0代表股票在2017年12月8日的收盤價，K為執(zhí)行價格，r為股票的貼息率，T表示期權(quán)的期限，。具體地，N為標準正態(tài)分布函數(shù)，其分別在d1和d2的條件下計算出看漲期權(quán)的價值。

（二）Delta希臘值的測算

期權(quán)中的Delta值為定義為期權(quán)價格變動與其標的資產(chǎn)價格變動的比率，它是期權(quán)價格與標的資產(chǎn)價格變化曲線的切線斜率。在一般情況下期權(quán)價值的變動為曲線，故根據(jù)定義，Delta值得公式為：

（三）最優(yōu)Delta對沖

Delta對沖是指期權(quán)交易員通過測算Delta值對空頭期權(quán)后多頭基礎(chǔ)資產(chǎn)進行回補以控制期權(quán)行權(quán)風險的措施。假設(shè)股票價格為10元，期權(quán)的價格為1元，金融機構(gòu)的交易員賣出了10分該股票看漲期權(quán)（有權(quán)購買1000股股票），Delta為0.6，則交易員的頭寸可以通過購買0.6×1000=600股股票來對沖，即期權(quán)頭寸上對應(yīng)的盈利（虧損）可由股票頭寸上的虧損（盈利）來抵消。因此期權(quán)的交易者為控制自身的風險就必須進行依托于Delta值的反向?qū)_。一種較為特殊的情形是投資者整體的Delta值為0，即股票頭寸的Delta被期權(quán)頭寸的Delta所抵消，這種情況被稱為Delta中性，這時投資者在進行多（空）頭期權(quán)時就沒有必要進行基礎(chǔ)資產(chǎn)的反向?qū)_了。

然而Delta為0在現(xiàn)實中是幾乎不可能發(fā)生的事情，更加符合現(xiàn)實的是隨著時間的變化而不斷變化的Delta值，為了進行更加合理的風險對沖就必須在期權(quán)期限內(nèi)不斷地進行多次以不同Delta值為基礎(chǔ)的對沖操作。這種描述被稱為動態(tài)對沖。

而最優(yōu)對沖通常指在動態(tài)對沖中使得總的對沖成本最小的對沖策略。一般做法為通過廣義維納過程模擬出期權(quán)期限內(nèi)的股價，從而在設(shè)定執(zhí)行價后計算出分時點的期權(quán)價格和對應(yīng)的Delta動態(tài)值，最后計算出反向?qū)_的成本來進行不同時間間隔策略下的最優(yōu)規(guī)劃。

三、數(shù)據(jù)描述與處理

通過從wind數(shù)據(jù)庫中導出中國工商銀行從2014年12月8日到2017年12月8日的日收盤價數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)的處理，將數(shù)據(jù)分為6個區(qū)間，分別為2014年12月8日至2015年6月7日，等間隔的至 2017年6月8日至2017年12月8日。

從時間序列上依次對相鄰兩區(qū)間進行均值求解，將半年區(qū)間的收盤價轉(zhuǎn)化為年度區(qū)間的收盤價均值，得到收盤價、股息和股息率如表1。最后通過對3年歷史數(shù)據(jù)進行再次平均，得到最終的3年歷史收益率為12.6821%，無風險利率為5%。而波動率通過由時間的遠近將六個區(qū)間的標準差數(shù)值進行1～6的賦權(quán)后平均，波動率為25.51058%。

四、實證結(jié)果分析

（一）靜態(tài)期權(quán)價格結(jié)果

根據(jù)BS模型，將工商銀行2017年12月8日股票收盤價5.88元、歷史半年期望收益率0.126821、股息率0.05和歷史6個月波動率0.2551058以及行權(quán)價格6.468元帶入公式，計算得到6個月靜態(tài)看漲期權(quán)的價格為0.2493457元。

（二）無交易成本時動態(tài)看漲期權(quán)對沖成本計算結(jié)果

查詢到2017年12月8日中國工商銀行的收盤價為5.88元，為計算出未來6個月工商銀行看漲期權(quán)的合理價格，需要通過三步進行，首先將以上數(shù)值帶入到公式：

上式中，S（T）代表T時刻工商銀行股票的價格，S（0）表示2017年12月8日工商銀行收盤價，r為無風險收益率，σ為歷史波動率，W（t）為連續(xù)時間的維納過程。

通過不同時間的多次迭代運算，可以計算出服從幾何布朗運動的未來6個月股票價格的變動情況，以及未來6個月的Delta值，最終計算出動態(tài)看漲期權(quán)的價格情況，如圖1所示。

從圖1第一幅圖中可以看出，從時間飄移和隨機波動加和股價蒙特卡洛模擬中，未來半年工商銀行股票價格將會從5.88元飆升至2個月后的7.75元，之后時間段內(nèi)圍繞7.5元的價格進行上下震蕩，其后，Delta值將從0.59快速上升至兩個月后的0.97并隨著模擬股價的上漲快速逐步震蕩上升并在4個月后收斂到1的水平。同樣，工商銀行看漲期權(quán)的價格也與模擬股價的價格相呼應(yīng)，在從每份0.49元上升至2個月后2元的水平，之后再圍繞1.75元的價格軸線上上下波動。

一般來說，加入的基期價格走高，則執(zhí)行看漲期權(quán)的概率也會相應(yīng)上升，然而要復制該看漲期權(quán)就必須買入更多的股票，同時，下降的股價導致更低的Delta，意味著賣出?？傮w而言，如果股票價格昂貴，策略為買入股票；如果股價低廉，則賣出股票。期權(quán)價格源自于這個對沖成本。股價重新平衡期的時間越短，所追蹤的價格變動幅度就越小。

John C.Hull定義對沖成本為買入和賣出對沖所需股票的累計凈成本的現(xiàn)值。其中全部成本分為兩部分：購買股票所需的金額以及保有該頭寸的融資利息。在BSM模型中，本文將使用無風險利率進行復利計算，并可以看到對沖成本取決于未來價格的運動，通過模擬工商銀行股票價格的路徑，可以畫出對沖成本的分布狀況，發(fā)現(xiàn)股票價格更高的波動率會引起對沖成本更高的波動率。

表2中列式了從半日到4周對沖操作頻率下的期望成本（E）、成本標準差（v）以及標準差單位期權(quán)價格比率（ratio）?？梢钥闯鰡喂P對沖成本在不同的時間調(diào)整頻度下從每4周0. 5074421元下降到每2天0. 4940984元，但是隨著交易頻次逐漸增加到每半天一次，則對沖成本會緩慢增加到0.4946613元每筆。但是，隨著對沖頻次從每4周一次上升到每天2次，總對沖成本的標準差從13.6%顯著降到了約2.3%，成本愈加穩(wěn)定和可期。同時，總對沖成本標準差單位期權(quán)價格比率從對應(yīng)的28.6%降到了4.8%。

然而，一個良好的衍生品對沖策略必須與實際高度的切合，只有如此，該衍生品對沖策略才能夠在實際中充分發(fā)揮出其理論上所論證的價值。

就上述的中國工商銀行假想看漲期權(quán)的對沖而言，昂貴的傭金成本即為最優(yōu)對沖策略的一個限制性條件，如果忽略交易過程中的費用而只是追求沒有對沖策略的最優(yōu)化，則在現(xiàn)實操作中必然會與前期的預想南轅北轍。為了探尋更加符合現(xiàn)實的對沖策略，本文接下來從加入絕對交易成本和相對交易成本兩個角度對最優(yōu)對沖策略進行進一步的探討，以期尋找出最優(yōu)的時間操作頻次。

（三）加入交易成本后動態(tài)看漲期權(quán)對沖成本計算結(jié)果

表3中所反映的數(shù)據(jù)均為加入了單筆對沖成本后進行的計算。進行對比后發(fā)現(xiàn)在每筆對沖成本0.02元的條件下，總成本將隨著對沖頻次的升高而單調(diào)升高，并在1日兩次的對沖中達到0.5433元/筆，而在每筆對沖成本1%的條件下，總成本將先在2周1次的對沖頻次下達到最小值（0.0616元/筆）之后最終在每日2次的操作頻次下達到0.0807元每筆的最大值。同時，兩種成本的標準差也都呈現(xiàn)出一種平穩(wěn)增加的趨勢。

如何在兩種交易成本的測度下實現(xiàn)看漲期權(quán)的Delta對沖的最優(yōu)化變成了之后研究的主要問題。為了克服一次性測度的隨機性，本文采用隨機100次模擬的方法，計算出工商銀行看漲期權(quán)的對沖總成本的分布，對沖操作的間隔時長從每日4次下降到每20日一次（即在原有操作市場80倍的區(qū)間內(nèi)）進行對沖，從而在不同交易成本計價方式下找到最優(yōu)的對沖間隔時長。

通過模擬計算得到圖2，可以看出在絕對交易成本0.02元每筆的條件下，總交易成本從每日4次對沖的近1.3元每筆經(jīng)過對沖間隔時長的延伸不斷波動下降，并在平均相隔19.25天（77次每日4次調(diào)整的間隔）的時長下達到20日內(nèi)對沖成本的最小值0.6589元每筆，然而此時所對應(yīng)的方差值也不斷上升到了13.74%，為了在對沖總成本最小值和最小方差條件下進行平衡，本文在此衡量成本波動在不同的調(diào)頻下的變化狀況，并使用總成本+標準差的新條件對最優(yōu)的成本值進行衡量。圖2中標準差的最小值為9.84%位于5.5日時間間隔的對沖操作下，與單純的最小總成本處相差55次（13.89天）對沖操作，計算得出77次相隔對沖處的成本方差之和為0.79626，而22次處的數(shù)值為0.83779。顯然將最優(yōu)的對沖頻次定為了77次。

同樣地，在相對交易成本為1%的條件下，進行同樣的模擬。圖3中，總成本期望值在從每天4次的對沖操作頻次下的0.95每筆下降到每20天1次的對沖頻次下的近0.6每筆的水平，其中在77次對沖時間間隔下期望成本達到了最小值（0.5804元每筆），同樣在考慮了成本波動率的條件下，得到了成本的波動最小值為7.35%，其經(jīng)過了平均10次（2.5天）的對沖時間間隔。通過計算發(fā)現(xiàn)，在成本最小時的成本波動率之和為0.7129元每筆，而在波動最小時的成本波動率之和為0.7315元每筆，故我們認為在1%相對交易成本的條件下經(jīng)過77次1/4天的對沖操作間隔后進行對沖操作才能夠使中國工商銀行A股股權(quán)虛擬看漲期權(quán)的最優(yōu)對沖得以實現(xiàn)。

五、總結(jié)

本文通過對工商銀行2014年12月8日至2017年12月8日的收盤價數(shù)據(jù)和期間每年的股息率數(shù)據(jù)進行整理計算出了工商銀行股價在未來6個月內(nèi)的股價模擬數(shù)據(jù)、Delta值和動態(tài)看漲期權(quán)價格，之后在無交易成本條件下對半日、一日、兩日、一周、兩周、四周不同頻次的對沖策略成本即標準差進行了計算，發(fā)現(xiàn)2日一次的對沖操作能夠使得對沖成本優(yōu)化。之后，為了使討論的內(nèi)容更加符合實際，本文將絕對交易成本和相對交易成本分別加入，并在每日4次的交易頻次下算得二者的最優(yōu)對沖策略為每77次即平均19.25天對沖一次。本文雖然是建立在工商銀行虛擬期權(quán)條件下的最優(yōu)對沖的設(shè)定，但是本文的價值在于通過模擬的方式再拓寬現(xiàn)有國內(nèi)研究標的的條件下對股票期權(quán)交易過程的最優(yōu)對沖策略構(gòu)造進行了實證，可以為將來我國股票期權(quán)的交易對沖中的風險管理提供借鑒思路。

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（作者單位：貴州大學經(jīng)濟學院）