李昌官

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追尋直覺背后的邏輯與引領邏輯的直覺

李昌官

（臺州市教育局教研室，浙江 臺州 318000）

直覺與邏輯的完美結(jié)合是數(shù)學發(fā)展與學生思維發(fā)展的根本之道．數(shù)學教育應追尋直覺背后的邏輯與引領邏輯的直覺．即一方面應把正確直覺系統(tǒng)化、清晰化、邏輯化，并搞清楚錯誤直覺產(chǎn)生的原因；另一方面，應營造利于直覺產(chǎn)生的心理氛圍，采用利于直覺形成的教學策略，還原、再現(xiàn)引領邏輯的直覺．此外，教師應引導學生在邏輯的基礎上形成新的、更高層次的直覺．

直覺；邏輯；直覺背后的邏輯；引領邏輯的直覺

直覺與邏輯于數(shù)學發(fā)展和學生思維發(fā)展猶如車之兩輪、鳥之兩翼．正確處理直覺與邏輯的關系，使它們優(yōu)勢互補、相互促進、協(xié)調(diào)發(fā)展是數(shù)學教育面臨的重大任務．

1 直覺與邏輯的關系

直覺是指未經(jīng)充分邏輯推理的感性認識，它以已知獲得的知識和累積的經(jīng)驗為依據(jù)[1]．邏輯是指思維的規(guī)律與規(guī)則．邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其它命題[2]．

1.1 直覺與邏輯具有不同的特點

直覺與邏輯是兩種不同類型的思維，它們具有許多不同的特點．一是思維基礎不同．直覺是從內(nèi)隱的形象、感覺和經(jīng)驗出發(fā)，并以之為基礎；邏輯是從外顯的概念、命題、原理出發(fā)，并以之為基礎．二是思維方式不同．直覺通常表現(xiàn)為直觀想象、靈感與頓悟，它比較隨意，不受概念和邏輯規(guī)劃的約束；邏輯通常是基于概念與規(guī)則的推理，因而比較嚴謹、理性．三是表現(xiàn)形式不同．直覺往往具有突發(fā)性、偶然性和跳躍性，它以省略、簡化、濃縮的方式洞察問題的本質(zhì)；而邏輯通常具有必然性、連續(xù)性與完整性，它是以推演的方式判斷命題的真?zhèn)危氖庆`活程度不同．直覺靈活、多變，而邏輯具有程序性和確定性．五是功能價值不同．直覺往往用于探索、發(fā)現(xiàn)道路；邏輯往往用于沿著直覺探索得到的道路一步一步推進；直覺用于發(fā)明，邏輯用于證明；直覺用于構想一種科學體系，邏輯用于建立一種科學體系．六是清晰程度不同．直覺內(nèi)隱性強，往往說不清、道不明，只能意會，難以言傳；而邏輯有明確的前提和規(guī)則，利于以語言和書面的方式傳播．

1.2 直覺是邏輯的先導而邏輯是直覺的護欄

直覺是邏輯的先導．蘇聯(lián)哲學家、科學史家、化學家凱德洛夫指出：“沒有任何一個創(chuàng)造性行為能離開直覺活動．”[3]蘇聯(lián)著名物理學家?？耍╒. A. Fock）也指出：“偉大的，以及不僅是偉大的發(fā)現(xiàn)，都不是按邏輯的法則發(fā)現(xiàn)的，而都是由猜測得來的；換句話說，大都是憑創(chuàng)造性的直覺得來的．”[4]著名數(shù)學家、教育家王梓坤院士說得更加明確：“在實踐中所體會到的直觀形象有助于抓住本質(zhì)，它常常是理論的先導，并為理論提供思路、模型與方法，嚴格的邏輯證明和計算有時無非是直覺的一種數(shù)學加工和精確化而已．”[5]直覺不僅先于邏輯，而且為邏輯提供目標與方向．或者說，邏輯的思路與方法、所要達到的目標都是直覺提供的．離開了直覺，邏輯寸步難行．直覺之所以成為邏輯的先導，既是因為它“在潛意識中尋找靈感，企圖在互不相干的事物之間建立聯(lián)系，更不受理智之條條框框制約”[6]；也是因為它“像勇敢的前衛(wèi)騎兵，迅猛出擊”，容易直插問題的核心[7]．“直覺總以超常的上乘口味影響理論研究，它以一種無形的方式評價、思考、創(chuàng)造，并哺育邏輯成長．直覺無與倫比的啟發(fā)力，能夠使人類從感覺、資料的一方，跨越理性深淵和邏輯障礙，到達概念、理論的彼岸．”[6]

邏輯是直覺的護欄．直覺源于觀察，但“你能不能觀察眼前的現(xiàn)象，取決于你運用什么樣的理論，理論決定著你到底能夠觀察到什么”（愛因斯坦語）[8]．“直覺的可靠性是以堅實的學科知識為基礎的，即直覺憑借對學科知識的熟悉來起作用．”[9]盡管直覺對邏輯的運用可能是無意識或潛意識的，但正確的直覺總是以一定的邏輯為基礎．而錯誤的直覺或是由于其所依靠的經(jīng)驗是錯誤的，或是由于其背后所蘊含的邏輯是錯誤的．由于經(jīng)驗的錯誤本質(zhì)上是邏輯的錯誤，因此錯誤的直覺本質(zhì)上源于錯誤的邏輯．簡而言之，直覺的背后蘊含著邏輯，它具有“潛邏輯性”；缺乏邏輯的直覺不僅沒有價值，而且可能會起誤導作用．

1.3 直覺和邏輯協(xié)同促進問題解決與學生思維發(fā)展

首先，數(shù)學思維的啟動和解決問題思路的尋找依靠直覺．數(shù)學發(fā)展史表明：“那種創(chuàng)造發(fā)明的要素，那種起指導和推動作用的直觀要素，雖然常常不能用簡單的哲學公式來表述，但是它們卻是任何數(shù)學成就的核心”[10]；“直覺比以往任何時候都更加成為數(shù)學發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造源泉”[11]；“直覺這個不可捉摸的生動的力量在創(chuàng)造性的數(shù)學中總是起作用，推動并指導著甚至最抽象的思維”[11]．人們是在經(jīng)驗的基礎上形成直覺，再把直覺發(fā)展成為邏輯；直覺是溝通經(jīng)驗與邏輯的橋梁．

其次，決定直覺有效性的是邏輯．“直覺不能給我們以嚴格性，甚或不能給我們以確定性”[7]，它是“冒風險的、有爭議和暫時的”，而邏輯則是“可靠的、無可置辯的和終決的”[12]．因此單純依靠直覺并不能解決問題；數(shù)學問題的最終解決、數(shù)學結(jié)論的最后確認必須依靠邏輯．數(shù)學之所以受到特殊的尊重，之所以絕對可靠和無可爭辯，是因為它是建立在邏輯的基礎上．邏輯是數(shù)學這座“高樓大廈”堅不可摧的可靠保證，是數(shù)學神奇力量的源泉．

第三，直覺和邏輯協(xié)同促進數(shù)學問題解決．希爾伯特認為：“數(shù)學的源泉就在于思維與經(jīng)驗的反復出現(xiàn)的相互作用．”[13]愛因斯坦認為：“從特殊到一般的道路是直覺性的，而從一般到特殊的道路則是邏輯性的．”[14]法國數(shù)學家龐加勒（Poincare）對直覺與邏輯如何相互影響作了精練的概括：“人們證明正是用邏輯，人們發(fā)明正是用直覺……邏輯告訴我們走如此這般的道路保證不會遇到任何障礙；但是它沒有說哪一條道路通向目標．為此，必須從遠處瞭望目標，教導我們瞭望的官能是直覺．沒有它，幾何學家便會像這樣的作家，他只是按語法作詩，但卻毫無思想．”[15]因此邏輯主義以“邏輯”為核心刻畫數(shù)學，直覺主義以“構造”“非邏輯思維”“數(shù)學美”等概念為核心認識數(shù)學，都具有一定的片面性[16]；直覺與邏輯的完美結(jié)合才是數(shù)學發(fā)展與問題解決的根本之道．

第四，直覺和邏輯協(xié)同促進學生思維發(fā)展．直覺與邏輯有各自的特點與功能．當邏輯難以施展和奏效時，需要直覺指明目標與方向；當直覺已經(jīng)有初步的目標與方向后，又需要邏輯進一步核實、落實與推進．問題在直覺與邏輯的交替中解決，思維在直覺與邏輯的交互作用中發(fā)展．由于思維能力是各種不同的思維品質(zhì)、直覺思維能力、邏輯思維能力等綜合體現(xiàn)，因此數(shù)學教學應通過加強思維各要素的綜合訓練，最大限度地促進學生發(fā)展，應“積極尋找為邏輯指引方向的直覺和正確直覺背后所蘊含的邏輯”[17]，使直覺與邏輯在相互滲透、相互轉(zhuǎn)化、相互促進的過程中，實現(xiàn)思維能力由量變到質(zhì)變的飛躍．

2 追尋直覺背后的邏輯

追尋直覺背后的邏輯，使直覺邏輯化，既有可能，也有必要．因為這是學生“通過數(shù)學學會思維”[18]的重要途徑與方式．

2.1 直覺背后蘊含著邏輯

直覺的產(chǎn)生具有很強的突發(fā)性與偶然性，但它不是憑空產(chǎn)生的，而是建立在經(jīng)驗的基礎上，是經(jīng)驗積累和優(yōu)化到一定程度后的“突變”或“頓悟”．實際上，許多看似自發(fā)產(chǎn)生的直覺都是長期有意識地思考與探索的間接結(jié)果．“直覺思維是以對所學知識領域及其結(jié)構的熟悉為基礎的，這樣才能使思考者思維跳躍，省略步驟，走捷徑．”[9]直覺思維過程就是直覺空間對知識空間不斷進行重建的過程．這里的知識空間是指已經(jīng)獲得的和系統(tǒng)化了的知識，它以靜態(tài)的方式存在；直覺空間以一種心理圖像的方式顯現(xiàn)出來，它是動態(tài)的[6]．或者說，靈感、頓悟等直覺的產(chǎn)生需要一定的前提、基礎與條件．盡管這些前提、基礎與條件因人、因境、因事而異，并且人們可能還不是很了解，但它們一定存在．因此直覺背后或多或少、或明或暗地蘊含著邏輯．

2.2 盡可能把正確直覺“系統(tǒng)化”“清晰化”“邏輯化”

既然直覺對問題解決、發(fā)明與創(chuàng)新來說十分重要，那應通過創(chuàng)設一定的條件和環(huán)境，讓這些具有突發(fā)性、偶然性直覺的產(chǎn)生變得更加自然、更加容易．直覺思維是邏輯思維的凝練與濃縮，還原、尋找直覺背后的邏輯對學生思維發(fā)展十分重要．“必須對直覺思維的過程作慢鏡頭的解剖，找出（或復原）被它簡約了的環(huán)節(jié)，也就是說要為直覺的產(chǎn)生鋪設一條邏輯的道路．”[19]“只有把數(shù)學直覺思維看成是邏輯性思維，才可能有意識地加以培養(yǎng)．”[20]

鑒于直覺具有跳躍性、模糊性和“潛邏輯性”，為了追尋直覺背后的邏輯，應盡最大可能把直覺補充、完善成為具有系統(tǒng)性、連續(xù)性、清晰性的邏輯鏈條．下面以橢圓幾何特征的發(fā)現(xiàn)為例說明這一點．橢圓的焦點與定長的發(fā)現(xiàn)是個難點，這個難點是通過直覺思維突破的．為了使之成為發(fā)展學生思維的有效載體，現(xiàn)對這個直覺思維過程作如下邏輯化處理．

直覺產(chǎn)生的心理基礎：一是強烈的探究欲望，迫切希望搞清楚橢圓的幾何特征；二是比較強烈的大膽猜想和批判質(zhì)疑意識．

直覺產(chǎn)生的經(jīng)驗基礎：一是圓的幾何特征，即圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的軌跡．二是圓與橢圓相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的生活經(jīng)驗，如當盛著一定量的水的圓柱形水杯直立放置時，水平面是圓；當它傾斜時，水平面是橢圓．陽光下，球在地面的投影通常是橢圓．三是對橢圓的幾何特征已經(jīng)有相當長一段時間的思考與探索．

直覺背后的觀念信念：函數(shù)的連續(xù)性是刻畫事物變化連續(xù)性的數(shù)學模型．它表明：當自變量的變化很小時，所引起的應變量的變化也很?。捎趫A到橢圓的變化具有連續(xù)性，因此當圓作微小變化成為橢圓時，圓的圓心與半徑不可能突然徹底消失，而只能發(fā)生微小的變化．

直覺背后的思維方法：一是從事物產(chǎn)生的源頭及其相互聯(lián)系入手，即從橢圓是怎樣產(chǎn)生的，以及橢圓與圓的聯(lián)系入手．二是從事物的構成要素入手．由圓有兩個要素——定點圓心與定長半徑，猜想橢圓也有類似的定點和定長．三是從事物的發(fā)展軌跡入手，即在圓變成橢圓的過程中，它們的相關要素會發(fā)生怎樣的變化．由圓可以看作是橢圓的特殊情況，猜想：圓的圓心與半徑是橢圓相應“定點”與“定長”的特殊情況，并且橢圓的“定點”與“定長”是由圓的定點與定長演變而成的．

探索過程的靈感頓悟：圓柱形水杯中的水平面由圓變成橢圓時，由于難以發(fā)現(xiàn)圓心和半徑變化的軌跡，因而思維受阻．但機遇總是給有準備的人．球在與地面垂直的陽光照射下的投影是圓，此時球與地面的切點是圓心；在與地面斜交的陽光照射下的投影是橢圓，并且這個切點隨著光線與地面所成角的減小逐漸偏離原來的圓心（如圖1）．受此啟發(fā)，突然頓悟：球與地面的切點很可能就是類似圓的圓心的橢圓定點；同時由橢圓的對稱性猜測橢圓還有另一個定點（如圖2）；由圓是到定點距離等于定長的點的軌跡，猜測橢圓上的點到兩定點的距離之和為定長．

探索結(jié)果的邏輯證明：把照射球的太陽光數(shù)學化為外切于球的圓柱，把地面數(shù)學化為與球相切的平面（如圖1）．由球的切線的性質(zhì)可知，＝，＝，故=+=（如圖3），由此證明了具有猜想性質(zhì)的頓悟．

圖1

圖2

圖3

追尋直覺背后的邏輯的關鍵是從直覺的產(chǎn)生過程與心理機制入手，搞清楚思維是怎樣突然“開竅”的，搞清楚“開竅”的原因與依據(jù)．這種追尋的實質(zhì)是尋找偶然背后的必然，是使偶然、突然、很難想到的東西變得更加容易想到，是把碎片化、說不清、道不明的直覺系統(tǒng)化、清晰化、邏輯化．因此它是學生學會數(shù)學地、理性地、有條理地思考問題的極好素材，是他們形成專業(yè)“嗅覺”和提升他們直覺可靠性的有效途徑．在這樣的過程中，學生能充分享受追根究底、探求事物本源的思維樂趣．

2.3 盡可能搞清楚錯誤直覺產(chǎn)生的原因

直覺有“功”也有“過”．搞清楚錯誤直覺產(chǎn)生的原因，既可以避免再次犯類似的錯誤，也可以提高學生的直覺思維與邏輯思維水平．由于錯誤直覺的種類繁多，且產(chǎn)生原因各不相同，因此這里不討論通常所說的“錯覺”（即人們觀察物體時，由于受到形、光、色的干擾，加上人們的生理、心理等原因，會產(chǎn)生與實際不符的視覺誤差），而只從認知視角探討其他數(shù)學錯誤直覺產(chǎn)生的原因．

原因一：已有相關經(jīng)驗的局限性．直覺以已有的知識和經(jīng)驗為基礎，因此相關知識與經(jīng)驗的局限性是錯誤直覺的主要源頭．感覺整數(shù)的個數(shù)比偶數(shù)的個數(shù)多、一條直線點的個數(shù)比1 cm長的線段上點的個數(shù)多，主要源于“整體大于局部”的生活經(jīng)驗．假如能把一張普通的紙對折30次，感覺其厚度不會超過喜馬拉雅山的高度，是因為學生只有線性增長、二次函數(shù)增長等數(shù)學經(jīng)驗而缺乏指數(shù)函數(shù)爆炸式增長的數(shù)學經(jīng)驗．由于經(jīng)驗總是基于特定的具體情境形成與產(chǎn)生的，因此經(jīng)驗難免有一定的局限性，而這種局限性極有可能誘發(fā)錯誤直覺．

原因二：生活問題與生活經(jīng)驗的誤導．記得有一次擔任全國高中數(shù)學優(yōu)秀課評比的評委，連續(xù)聽了4節(jié)不同教師執(zhí)教的隨機抽樣方面的課，發(fā)現(xiàn)教師和學生都把為了調(diào)查方便而進行的“任意抽樣”作為數(shù)學意義上的“隨機抽樣”，把代表性不強的“方便樣本”作為“隨機樣本”．與此相類似，學生經(jīng)常把生活意義上的隨機事件作為數(shù)學意義上的隨機事件，把生活意義上的平移作為數(shù)學意義上的平移，而沒有意識到生活中不存在數(shù)學，只存在數(shù)學概念和原理的原型；沒有意識到“只要數(shù)學的命題涉及實在的，它們就不是可靠的；只要它們是可靠的，它們就不涉及實在”[14]．

原因四：不當?shù)男睦戆凳净蛩季S定勢．連續(xù)4次擲一枚硬幣，認為“如果前3次都正面朝上，那么第4次正面朝上的可能性不大”是源于擲硬幣連續(xù)4次都正面朝上的可能性不大的心理暗示．認為“試驗次數(shù)越多，頻率越來越接近概率”主要源于用確定性思維思考問題的思維定勢．

布魯納曾指出：“直覺的方式常常會產(chǎn)生錯誤的答案，這就需要一位敏感的教師將直覺的錯誤——有趣的跳躍——同愚蠢或無知的錯誤區(qū)別開來，同時要求教師能適時地對運用直覺思維的學生予以贊同或予以糾正．”[9]因此分析、尋找學生直覺錯誤的原因，并消除這些錯誤產(chǎn)生的源頭是數(shù)學教學的重要任務．需要注意的是：許多直覺錯誤的源頭表面上看是經(jīng)驗錯誤，實質(zhì)上是邏輯錯誤．如前面提到的認為整數(shù)的個數(shù)比偶數(shù)的個數(shù)多，表面上是源于整體大于局部的生活經(jīng)驗，實質(zhì)上是對邏輯——“數(shù)量相等的本質(zhì)是兩者之間能夠建立一一對應”缺乏認識．

3 追尋并再現(xiàn)引領邏輯的直覺

在教給學生更傳統(tǒng)、更正式的演繹和證明方式之前，培養(yǎng)他們對材料的直覺才是首要任務[9]．數(shù)學教學應追尋、再現(xiàn)引領邏輯的直覺．

3.1 營造利于直覺產(chǎn)生的心理氛圍

直覺是情感與理智交融的結(jié)果，數(shù)學教學應營造利于直覺產(chǎn)生的心理氛圍．這種氛圍應滿足如下4個條件：①學生有強烈的探究欲望．因為“問題的一個基本要素就是解它的愿望、干勁和決心……除非你有十分強烈的愿望，否則要解出一個真正的難題可能性是很小的”[21]．②學生在學習過程中有愉悅感和成就感．誠如蘇霍姆林斯基所說：“所謂課上得有趣，這就是說：讓學生帶著一種高漲的、激動的情緒從事學習和思考，對面前展示的真理感到驚奇甚至震驚；學生在學習中意識和感覺到自己智慧的力量，體驗到創(chuàng)造的歡樂，為人的智慧和意志的偉大而感到驕傲．”[22]③明確活動的目標指向或?qū)嶋H意義．“在開始學習任何新的經(jīng)驗時，應當著重于兒童已經(jīng)熟悉了的東西，如果可能的話，應把新的課題和原則與某些活動所追求的目的結(jié)合起來．”[23]④學生具有心理自由與心理安全．自由與安全的心理環(huán)境有助于學生創(chuàng)造力的發(fā)揮；反之，學生的思維必然處于壓抑狀態(tài)，難以發(fā)揮他的正常水平．

3.2 采用利于直覺產(chǎn)生的教學策略

為了有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺，有學者提出應優(yōu)化認知結(jié)構、創(chuàng)設直覺思維場情境、訓練直覺思維方法、開發(fā)元直覺思維等[24]；也有學者提出應培養(yǎng)學生的數(shù)學興趣、讓學生真正理解數(shù)學、開設數(shù)學文化課程等[25]．其實，比這些更重要、更本質(zhì)的應是遵循直覺產(chǎn)生的心理機制，采用利于直覺產(chǎn)生的教學策略，并盡可能讓學生理解直覺形成的基本過程與方法，掌握利于直覺產(chǎn)生的學習策略與“憑直覺領悟一般真理的藝術”[26]．因為研究表明：高效率數(shù)學學習學生的元認知策略比較突出；學習策略與數(shù)學學業(yè)水平呈顯著正相關[27]．

3.2.1 加強觀察和實驗

皮亞杰把兒童的思維發(fā)展分為4個階段：感知運動階段、前運演階段、具體運演階段和形式運演階段．布魯納認為，兒童的認知發(fā)展由行為把握、圖像把握、符號把握3個階段組成．直覺思維也類似．它是在觀察與實驗的基礎上形成的．“直覺并不是對外部永恒存在的事物的直接感覺，它是具體事物（后來是紙上的記號甚至內(nèi)心的想象）的活動和操作的某些經(jīng)驗在頭腦中產(chǎn)生的影響．”[28]觀察與實驗是學生形成數(shù)學直覺的第一步．因此數(shù)學教學應“將思維建立在直接的觀察上”[26]，讓學生從“從觀察出發(fā)積累最正確的經(jīng)驗”[29]；應讓學生親自動手，以便他們獲得的知識富有現(xiàn)實感，他們的才能富有活力，他們的思維栩栩如生[26]．

3.2.2 加強比較與聯(lián)想及想象

僅有觀察決不會產(chǎn)生直覺，只有把觀察與已有的知識和經(jīng)驗進行比較時，才可能產(chǎn)生直覺．聯(lián)想是由某人或某物想起其他相關的人或物的心理過程．沒有聯(lián)想，人們很難發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念與概念、原理與原理、結(jié)構與結(jié)構之間的相同點與不同點，很難發(fā)現(xiàn)概念、原理之間的聯(lián)系，因而也很難產(chǎn)生直覺．想象是指人在客觀事物的作用下，借助言語，把頭腦中已有的表象經(jīng)過組合和改造而產(chǎn)生新的表象的心理過程．沒有想象，人們很難理解高度抽象的數(shù)學概念、原理和結(jié)構，也就很難產(chǎn)生理性色彩濃厚的數(shù)學直覺．借助想象，“事實不再是赤裸裸的事實，它被賦予了各種可能性；也不再是記憶的負擔：它像詩人一樣活躍我們的想象，像建筑一樣構筑我們的目標”[26]．數(shù)學中的點、線、面，直與曲的統(tǒng)一、有限與無限的統(tǒng)一，都不是單純地、機械地從經(jīng)驗事實中總結(jié)出來的，而是經(jīng)驗事實基礎上的思維直覺與心靈的自由創(chuàng)造．因此數(shù)學教育應讓學生“用充滿想象力的方式獲取知識”[26]．

3.2.3 加強對事物的綜合感知和整體感知

直覺意味著與詳細或分析相對立的籠統(tǒng)或綜合[28]．直覺思維與邏輯思維相比的一個突出特點與優(yōu)勢是它的綜合性與整體性．直覺往往直接地從整體上感知研究對象，感知研究對象各要素、各部分之間的聯(lián)系．相應地，數(shù)學教學應處理好整體與局部、綜合與分解的關系，按“整體—局部—整體”的方式組織學習與探究，即應在初步感受整體、認識“森林”的基礎上，認識“樹木”，然后又“借助于樹木來認識森林”[26]．應強化學生對數(shù)學結(jié)構、數(shù)學聯(lián)系、數(shù)學本質(zhì)、數(shù)學思維的感知與感悟，并形成相應的數(shù)學直覺．應通過綜合感知、整體感知，使學生“對隱藏于數(shù)學對象深層的數(shù)學事物關系間的和諧性與規(guī)律性有深切感受，對隱藏于數(shù)學知識間的邏輯脈絡和演繹方式有深切感受”[30]，進而形成生動、鮮活的數(shù)學直覺．

3.2.4 加強對數(shù)學美的感悟和以美啟真

數(shù)學直覺在很大程度上是只可意會不可言傳的心靈感受，它往往在無意識或潛意識的狀態(tài)下進行，冥冥之中起作用的是數(shù)學美，是數(shù)學美在引領數(shù)學直覺的形成與發(fā)展．數(shù)學美具有雅致、和諧、對稱、平衡、有序、統(tǒng)一、簡單性、思維經(jīng)濟等特點，這些特點中最本質(zhì)、最核心的是和諧[31]．“世界的普遍和諧是眾美之源”；“內(nèi)部和諧是唯一真實的客觀實在”；“和諧的最好表達方式是定律”[7]．數(shù)學美既能滿足人們審美的需要，又是支持和指導心智的助手．它對數(shù)學思維與數(shù)學創(chuàng)造起著微妙的篩選作用[15]．數(shù)學教學應一方面讓學生充分感受數(shù)學美、欣賞數(shù)學美，尤其是數(shù)學的和諧美、統(tǒng)一美、結(jié)構美；另一方面，應充分發(fā)揮數(shù)學美作為真理的光輝、真理的向?qū)У募罟δ芘c啟真功能，用數(shù)學美來啟發(fā)和幫助學生形成有意義、有價值的數(shù)學直覺．

3.2.5 借助典型案例強化直覺教學

好的教學不是教數(shù)學，而是激勵、指導學生自己去學數(shù)學，是指導和促進學生“用內(nèi)心的創(chuàng)造與體驗的方法來學習數(shù)學”[32]．數(shù)學概念和問題解決應“不是形式地（熟記定義）而是直覺地講授”[28]；應借助典型案例，加強直覺思維示范教學，因為“如果學生從來沒有見過他們的長輩們有效地使用直覺思維的方式，那他們幾乎不可能或沒有信心來培養(yǎng)自己的直覺思維”[9]．因此教師應該講授自己如何觀察、思考，講授自己對問題的直觀感受，講授自己思考的緣由與過程．例如，對問題：設(≥2)個正整數(shù)1，2，…，x，滿足1+2+…+x=12…x，求x的最大值．教師應直覺地分析：①由于1+2+…+x與12…x都是對稱多項式，因此要使x盡可能地大，必有x≥x(=1, 2,…,-1)．②由于1，2，…，x都是正整數(shù)，因此要使x取最大值，那么1，2，…，x－1都應盡可能地小，即最好是1＝2＝…＝x－1＝1，但由已知，這樣就有-1+x=x，而這不可能．③退而求其次，1，2，…，x－1中有1個數(shù)為2，其余數(shù)均為1．此時x＝．這樣地分析與求解，與“邏輯地分析和求解”相比，既簡單，又能讓學生更好地感受直覺、學習直覺．

3.3 還原并再現(xiàn)引領邏輯的直覺

由于教材呈現(xiàn)的通常是結(jié)論性的數(shù)學知識，是作為邏輯思維結(jié)果的知識，因此數(shù)學教學應還原、再現(xiàn)引領邏輯的直覺，努力填平學生已有數(shù)學活動經(jīng)驗與數(shù)學邏輯之間的鴻溝．盡管我們無法還原數(shù)學家發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造時的直覺，盡管相同的邏輯可用不同的直覺來引領，但這種追溯、還原對學生思維的發(fā)展仍然極有意義和價值．在這樣的追溯、還原過程中，學生可以強烈地感受到邏輯是怎樣一步一步練成的．

3.3.1 案例一：弧度制

現(xiàn)行不同版本的高中數(shù)學教材都是直接給出弧度制的概念，但學生不清楚有了角度制為什么還要引入弧度制，不清楚弧度制是怎樣產(chǎn)生的．從教學視角看，應搞清楚引領弧度制建立的數(shù)學直覺有哪些．追溯弧度制建立的過程，下列直覺思維也許是不可或缺的．

直覺思維三：怎樣彌補這個缺陷？應采用相同的度量單位、相同的進位制．考慮到用角度制度量角的函數(shù)值不大可能，因此只能以圓的半徑為單位來度量角的大小．

直覺思維四：用圓的半徑來度量角的大小，可能嗎？科學嗎？合理嗎？經(jīng)探索、檢驗，不難發(fā)現(xiàn)：其可能性、科學性、合理性都不成問題．

直覺思維五：新的度量方式有什么優(yōu)點或優(yōu)勢？不難發(fā)現(xiàn)：它不但有效避免了角度制的缺陷，而且使弧長公式、扇形面積公式變得更加簡單．其他優(yōu)勢目前還不清楚，誰能知道剛出生的孩子長大后會有什么貢獻呢？

正是在上述直覺思考的基礎上，數(shù)學家根據(jù)數(shù)學知識內(nèi)在的邏輯法則建立了弧度和弧度制兩個概念．由上可知，看似天上突然掉下的“林妹妹”其實是水到渠成、自然產(chǎn)生的．

3.3.2 案例二：等比數(shù)列前項和公式的推導

直覺思維一：目標是思維的動力與方向．等比數(shù)列前項和公式推導的目標是什么？是用首項、公比等盡可能少的已知項或值來表示．

直覺思維二：等比數(shù)列前項和公式推導的思維出發(fā)點或依據(jù)是什么？等差數(shù)列前項和公式推導用的是倒序相加法，其思維依據(jù)是利用等差數(shù)列內(nèi)在的性質(zhì)，化數(shù)值不同項的和為數(shù)值相同項的和．等比數(shù)列前項和公式的推導思路與方法也應從其自身的特點和性質(zhì)中尋找．

直覺思維五：如果只從“數(shù)”的角度思考找不到突破口，能否借助“形”？等差數(shù)列有很好的幾何模型，等比數(shù)列有相應的幾何模型嗎？有，分形．分形有怎樣的特點？能給等比數(shù)列前項和公式的推導以啟示嗎？仔細觀察分形，發(fā)現(xiàn)其最大的特點是“自相似”，是按定比放大或縮小，并且分形“連續(xù)的個部分的和”之間也具有“自相似”的性質(zhì)．由

可得

，()．

即

觀察知，這兩個等式右邊有-1項完全相同，可以通過兩式相減消去相同項．

4 在邏輯基礎上形成新的更高層次的直覺

4.1 數(shù)學教學應使學生達到直覺水平

“養(yǎng)成習慣去積極地利用已經(jīng)透徹理解的原理，才是真正的擁有智慧．”[26]“只有做到直觀上懂才算是‘真懂’．所謂‘真懂’的意思是指：對數(shù)學的理論、方法或定理能洞察其直觀背景，并且看清楚它是如何從具體特例過渡到一般（抽象）形式的．”[33]當學生把數(shù)學知識的背景、來龍去脈、結(jié)構與本質(zhì)搞得清清楚楚、明明白白，并將其變得非常直觀、形象時，他便達到了直覺水平；數(shù)學教學應該努力使得學生達到直覺水平．為了使學生達到直覺水平，數(shù)學教學應提高認知維度與認知過程維度，盡可能讓學生學到有根的、活的、充滿智慧與創(chuàng)造、富有營養(yǎng)的知識[34]；應揭示知識產(chǎn)生的背景，揭示知識的形成過程與方法；應善于從具體素材中提煉出一般的、本質(zhì)的東西；應抓住其中的關鍵性問題及其解決的思路與方法；應讓學生通過咀嚼、消化、感悟、聯(lián)想，把抽象的數(shù)學知識與方法變得直觀、形象、生動；應讓學生“逐步學會想得更清晰、更全面、更深刻、更合理”[35]．

4.2 數(shù)學直覺應上升到信仰與精神層面

數(shù)學直覺是一種感覺、一種信念，是一種建立在理性基礎之上的直觀，是對數(shù)學知識內(nèi)在的規(guī)律性與統(tǒng)一性的心理感受，是一個人數(shù)學素養(yǎng)的集中體現(xiàn)．如，通過前面橢圓幾何特征的發(fā)現(xiàn)、弧度制的建立、等比數(shù)列前項和公式的推導，可形成如下信念：①解決問題的思路與方法永遠蘊含在問題之中，應在問題內(nèi)部、基于問題本身的特點尋找問題解決思路與方法；②應從數(shù)與形、變化、聯(lián)系等視角尋找問題解決思路與方法；③總存在一種有序、有理有據(jù)地解決數(shù)學問題的邏輯之道；④“世界在本質(zhì)上是有秩序的和可認識的”[14]．這些信念、精神層面的直覺又將產(chǎn)生更多、更好的直覺與邏輯，并成為學生從事“一切科學工作的基礎”[14]．

5 結(jié)語

盡管直覺邏輯化、邏輯直覺化不可能完全實現(xiàn)，但部分實現(xiàn)也非常有意義、有價值．應積極探索直覺邏輯化與邏輯直覺化的策略、途徑與方式，使直覺與邏輯在更高水平上相互交融、相互促進、螺旋上升．

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Pursuit of the Logic Underlying Intuition and the Intuition Guiding Logic

LI Chang-guan

(TeachingResearch Section of Taizhou Education Bureau, Zhejiang Taizhou 318000, China)

A perfect combination of intuition and logic was essential for the development of mathematics and student’s mindset. Mathematics education should pursue the logic underlying intuition and the intuition guiding logic. On the one hand, the correct intuition should be systemized, clarified and logicalized and the how the incorrect intuition was generated should be ascertained. On the other hand, we should foster the psychological atmosphere that stimulates of intuition, adopt education strategy that facilitates intuition and reproduce the intuition that guided the logic. Furthermore, new intuitions of higher level could be achieved based on the logic.

intuition; logic; the logic underlying intuition; the intuition guiding logic

[責任編校：周學智]

2018–03–07

浙江省教研課題——高中數(shù)學研究型教學實踐與探索（10455）

李昌官（1964—），男，浙江臨海人，正高級教師，博士，教育部國培專家，主要從事中學數(shù)學課程與教學研究．

G40–02

A

1004–9894（2018）04–0076–06

李昌官．追尋直覺背后的邏輯與引領邏輯的直覺[J]．數(shù)學教育學報，2018，27（4）：76-81．