傅麗娜

【摘 要】現(xiàn)在學生對幾何題目經(jīng)常無從下手，不知如何解決，本文通過對基本圖的歸納和在一系列題目中的應用來探討教學中基本知識落實的重要性。

【關鍵詞】基本圖形；中點；中線（重心）；中位線

數(shù)學教學的重要目標應該是，引導學生從學習知識走向強化數(shù)學思維和提高綜合素質(zhì)。在本人的初中教學中，發(fā)現(xiàn)有關相似三角形的問題對不少學生來說是一個難點，本文從三個基本圖形及其重要結(jié)論出發(fā)來談談在解題過程中如何運用基本圖形，輕松解幾何題目。

一、基本圖形

1.中點基本圖和結(jié)論

已知△ABC，D是邊BC上的中點，則S■=S■。

已知△ABC，D是邊BC上的點，則S■：S■=BD：CD。

2.中線（重心）基本圖和結(jié)論

∵G是△ABC的重心

∴AG/GD=BG/GF=CG/GE=2/1

GD：AG：AD=1：2：3

3.中位線基本圖和結(jié)論

∵DE是△ABC的中位線

∴DE∥BC

DE=1/2BC

二、有關相似三角形的面積問題

題目1. 如圖， ABCD中，E是BC邊的中點，已知△BEF的面積為S，則△ABF的面積為（ ）

分析：相似三角形面積之比等于相似比的平方，高相同的兩個三角形面積之比等于底邊之比。運用基本圖形一可以解決本題。

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△ADF∽△BEF，

∴AD：BE=AF：EF，

∵E是BC邊的中點，

∴BE=1/2BC=1/2AD，

∴AF：EF=2/1，

∴S■：S■=AF：EF=2/1，

∵△BEF的面積為S，

∴△ABF的面積為2S。

題目2.如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DE∥AC，若BE：BC=1：4，則S■：S■的比為（ ）

解：∵DE∥AC，

∴△ABC∽△DBE，

∴S■：S■=（BE：BC）■

∵BE：BC=1：4，

∴S■：S■=1：16，

設S■=S，則S■=16S，

∵BE：BC=1：4，

∴S■=4S，

∴S■=16S-4S=12S，

∴S■：S■=1：12。

為了讓大多數(shù)學生能對已知的比值求相似三角形面積比的知識內(nèi)化理解，知一題、會一片，這里又設計了一道，以此引導學生分析理解，會用基本圖和基本結(jié)論。

題目3.如圖，在△ABC中，點D，E分別在AC、AB上且DE∥BC，若S■：S■=2：3，則S■：

S■=（ ）

三、有關相似三角形線段之比的問題

題目4. 如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，AE：ED=1：3，BE的延長線交AC于F，則AF：FC=（ ）

A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：6

學生第一次做這個題目基本沒有思路，常規(guī)的都是找三角形相似，對平行線所夾線段成比例忽略，如果想到平行線，那么過中點做平行線就變得常規(guī)，可以構造出中位線模型的基本圖。

分析：作DH∥BF交AC于H，據(jù)三角形中位線基本圖形得到FH=HC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AF：FH=AE：ED=1：3，計算得到答案。

解：作DH∥BF交AC于H，

∵AD是△ABC的中線，∴FH=HC，

∵DH∥BF，

∴AF：FH=AE：ED=1：3，

∴AF：FC=1：6 答案選擇D

題目5.如圖，△ABC的兩條中線AD和BE相交于點G，過點E作EF∥BC交AD于點F，則FG：AG是（ ）

A.1：4 B.1：3 C.1：2 D.2：3

分析：兩條中線的交點不能只想著重點，還必須想到重心，因為重心分中線為1：2的兩條線段，考慮是否能用到這邊題目中，而已知EF∥BC想到三角形相似或平行線所夾線段成比例，正好可以得到FG：DG=EG：BG=1：2。

解：∵△ABC的兩條中線AD和BE相交于點G，

∴點G是△ABC的重心，

∴DG：AG=EG：BG=1：2，

∵EF∥BC，

∴FG：DG=EG：BG=1：2，

∴FG：AG=1：4，所以A選項是正確的。

題目6.如圖，在△ABC中，中線BE與CD相交于點O，連接DE，下列結(jié)論：①DE：BC=1：2；②S■：S■=1：2；③AD：AB=OE：OB； ④S■：S■=1：3。其中正確的個數(shù)有（ ）

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

本題主要考查三角形的基本概念和相似三角形的判定與性質(zhì)。

①項，因為BE、CD均為中線，所以D，E分別為AB，AC的中點，所以DE為△ABC的中位線，所以DE=1/2BC，所以DE：BC=1：2。故①項正確。

②項，因為DE是中位線，所以DE∥BC，DE=1/2BC，所以△DOE∽△BOC，S■=（DE/BC）■=（1：2）■=1：4，所以故②項錯誤。

③項，因為△DOE∽△BOC，所以OE：OB=1：2，又因為AD：AB=1：2，所以AD：AB=OE：OB，故③項正確。

④項，因為△ABC的中線BE與CD交于點O，所以點O是△ABC的重心，根據(jù)重心性質(zhì)可得，OB=2OE，根據(jù)基本圖形一S■：S■=OE：OB=1：2，S■：S■=1：3，因為D為中線，所以S■=S■，所以S■：S■=1：3。

所以正確的有3個，選擇答案C。

四、解題反思

由上面幾個例題可以看出，在看到中點、中線、中位線時借助模型可以出現(xiàn)很多結(jié)論。在三角形相似問題中，學生要學會通過找基本圖形解決問題。學會充分挖掘題目條件，注重問題本質(zhì)和通性通法的探究和注重解題策略的探究。

學生的學習是從自己已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)的一種自主構建的過程。教學中無論是新課還是復習，必須研究學生，當學生思維受阻或解決問題遇到困難時，教師作為數(shù)學學習的組織者，引導者和合作者，應多思考問題出在了哪里，教學要遵循學生學習數(shù)學的心理規(guī)律，從學生已有的知識和視鏡情況出發(fā)，將問題分解，更應該在落實基礎知識的前提下，給學生適當補充一些激化思維、提升能力、鍛煉學生應用知識及創(chuàng)新發(fā)展的問題。對課本內(nèi)容進行二次開發(fā)，對有深層聯(lián)系的知識進行重組整合，使之成為有效促進學生深度學習的載體，讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展的過程，從而體驗到自己是知識與結(jié)論的探索者、發(fā)現(xiàn)者，這樣既活化了知識，又促進了思維的發(fā)展。

【參考文獻】

[1]初中數(shù)學教與學