李炳秀 何明峰

(中國鐵路設計集團有限公司，天津 300142)

1 概述

鐵路路基填筑質(zhì)量對鐵路運輸安全至關重要。目前常用的路基填筑質(zhì)量檢測方法，如環(huán)刀法、灌砂法、靜載荷試驗等，是隨機檢測單個點上的壓實度和地基系數(shù)，很難對路基進行普查，而且隨機采樣的檢測結果往往缺乏代表性。瑞雷面波法能夠無損快速地對鐵路路基填筑質(zhì)量進行連續(xù)檢測，克服了傳統(tǒng)路基檢測方法的不足。然而瑞雷面波法求得的各層瑞雷波速值只能說明填筑各層的軟硬程度和填筑強度的均勻性，無法定量評價路基填筑質(zhì)量。因此，求解瑞雷波速和壓實度、地基系數(shù)的相關性，實現(xiàn)瑞雷面波法檢測的定量分析具有十分重要的意義。

瑞雷面波最早由Rayleigh[1]在計算半空間自由界面中的平面波傳播時發(fā)現(xiàn)。Haskell[2]計算出了瑞雷面波在不同介質(zhì)中的頻散特性，給出了對應的頻散曲線。Hesisey等[3]提出了瞬態(tài)瑞雷面波法的頻率域分析方法，進一步推進了瑞雷面波法的理論研究。1996年，劉云偵等[4]自主研制了SWS瞬態(tài)面波多道數(shù)據(jù)采集處理系統(tǒng)。盧寧等[5]應用瑞雷面波法檢測公路路堤的填方量并取得了一定成果。范躍武等[6]利用τ-p變換來有效提取采集數(shù)據(jù)中的面波反射，并應用瑞雷面波法檢測路基密實度。李海[7]討論了瑞雷波速與路基承載力之間的關系，并給出了兩者的相關性公式。李青山等[8]通過建立數(shù)學模型分析討論瑞雷波速與壓實度的相關性。董海文等[9]計算了瑞雷波速與壓實度的回歸經(jīng)驗公式。上官位等[10]通過分析瑞雷波速度與動力觸探和靜載結果，給出了路基承載力和瑞雷波速的線性相關公式。林向東[11]將BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型應用在瑞雷面波法檢測中，通過網(wǎng)絡學習訓練來快速計算波速值所對應的壓實度。劉曉敏[12]對比分析了瑞雷面波法檢測結果和灌砂法測試結果，確定了瑞雷波法檢測路基壓實度的可行性。劉超英等[13]通過對比分析瞬態(tài)瑞雷波速值和現(xiàn)場鉆孔取樣室內(nèi)填筑材料的干密度試驗資料，建立了瑞雷波波速與干密度的相關關系。

以下分析瑞雷波速與路基填筑干密度、地基系數(shù)的相關關系，給出擬合瑞雷波速與干密度、地基系數(shù)的數(shù)學回歸公式，并結合工程實例計算在滿足壓實度(或孔隙率)和地基系數(shù)設計要求下所需要達到的最小瑞雷波速值。通過上述回歸分析的過程，實現(xiàn)了瞬態(tài)瑞雷面波法的定量分析，解決了以往瑞雷面波法無法定量評價路基質(zhì)量的問題。另外，將相關數(shù)學公式編入Excel表格，使其能夠自動計算出瑞雷面波的數(shù)學回歸公式和最小瑞雷波速，方便了實際工程應用。

2 基本原理

地震波分為兩類，即體波和面波[14]，體波包括縱波(P波)和橫波(S波)。當介質(zhì)中存在分界面時，體波在一定條件下會相互干涉并迭加產(chǎn)生出一種頻率較低、能量較強的次生波，因其主要沿介質(zhì)的分界面?zhèn)鞑ィ史Q為面波。面波分為兩類，即瑞雷波和勒夫波。

當在各向均勻介質(zhì)中傳播時，瑞雷波速與介質(zhì)的物理力學性質(zhì)有關，與頻率無關。當在水平分層介質(zhì)中傳播時，瑞雷波速除與介質(zhì)性質(zhì)有關，還隨頻率的變化而改變，表現(xiàn)出頻散特性[15]。不同頻率的瑞雷面波傳播深度不同，可根據(jù)瑞雷面波的頻散特性劃分層位并計算各層的瑞雷波速值。瑞雷波速與介質(zhì)性質(zhì)存在相關性，可根據(jù)計算出的瑞雷波速值反演各層介質(zhì)的物理力學參數(shù)(壓實度和地基系數(shù))，從而實現(xiàn)路基填筑質(zhì)量的定量評價。

在瞬態(tài)瑞雷面波法檢測中，震源激發(fā)產(chǎn)生一個包含一定頻率范圍的瞬態(tài)激勵，某接收點記錄到的瑞雷面波有如下所示的頻譜形式

(1)

其中，f1(t)是時間域波形函數(shù)，F(xiàn)1(ω)是頻譜，ω是圓頻率。

與該接收點相距ΔX距離的另一接收點記錄到的瑞雷面波頻譜F2(ω)為

(2)

其中，f2(t)是該接收點記錄到的時間域波形函數(shù)。兩接收點頻譜間存在下列關系式

(3)

其中，VR(ω)是圓頻率為ω時瑞雷面波的相速度。

公式(3)可寫為如下相位差表示的形式

F2(ω)=F1(ω)e-iφ

(4)

其中，φ是F1(ω)和F2(ω)的相位差。根據(jù)公式(3)和公式(4)，有

(5)

即

(6)

公式(6)表明，已知兩個接收點的距離和每個頻率的相位差，便可以計算出每個頻率的相速度。對單個接收點，分別計算出不同頻率對應的速度值，就可以得到頻率速度曲線，即頻散曲線。

對多通道瑞雷面波法檢測，瑞雷波速可寫為

(7)

或

(8)

其中，VR是瑞雷波速，Δx是檢波器道間距，Δt是相鄰檢波器接收到面波的時間差，f是頻率，Δφ是相位差，N+1是檢波器個數(shù)。公式(8)表明瑞雷波速與頻率有關，通過反演VR-f曲線，即頻散曲線，可以得到不同深度下的瑞雷波速。

頻散曲線的反演建立在彈性波理論的基礎上。根據(jù)彈性波理論，瑞雷面波的能量主要集中在一個面波波長深度范圍內(nèi)，而半波長理論表明，瑞雷波平均速度反映的是半波長深度處介質(zhì)的平均彈性性質(zhì)，故瑞雷波速和勘探深度有如下關系

(9)

其中，H是勘探深度，λ是面波波長。

根據(jù)公式(9)，可將頻散曲線轉換為深度速度曲線，可得到該接收點處不同深度介質(zhì)的瑞雷波速值。

瑞雷波與介質(zhì)性質(zhì)的相關性可由剪切波進行推導。由彈性力學公式可知

(10)

其中，VS是剪切波速，G是剪切模量，ρ是密度。

在等效半空間條件下，瑞雷波速VR與剪切波速VS有如下關系式

(11)

其中，μ為地層泊松比，對于常用的鐵路路基填筑土體，可以近似認為瑞雷波速等于剪切波速，即

(12)

剪切模量G與彈性模量E間存在如下正比關系

G=αE

(13)

其中，α是比例系數(shù)(α≤1)，當土的密度增加時，α接近于1。對特定介質(zhì)，α為常數(shù)。

根據(jù)地基系數(shù)K30的計算公式

E=0.79(1-μ2)DK30

(14)

其中，D是荷載板直徑。聯(lián)立公式(12)到公式(14)，推導出瑞雷波速和地基系數(shù)的相關公式為

(15)

目前，國內(nèi)外關于密度與瑞雷波速關系的研究表明，兩者之間存在以下冪函數(shù)關系式

(16)

其中，A和B為函數(shù)系數(shù)，對特定介質(zhì)為常數(shù)。將公式(16)代入公式(15)可知，地基系數(shù)與瑞雷波速的冪指數(shù)成正比關系，即

(17)

其中，

(18)

對特定介質(zhì)，A，B，μ，D，和α均為常數(shù)，所以a和b也是常數(shù)。

壓實度K的計算公式[16]為

(19)

其中，ρ0是最大干密度，對特定介質(zhì)為常數(shù)。將公式(16)代入公式(19)，壓實度K與瑞雷波速VR也有如下冪函數(shù)形式的關系式

(20)

其中，c和d是函數(shù)系數(shù)。公式(17)和公式(20)表明，壓實度和地基系數(shù)與瑞雷波速的冪函數(shù)存在正比關系，這一關系式是進行瑞雷波法定量分析的理論基礎。在實際工程應用中，由于路基填料的性質(zhì)變化較大，土體模型并不滿足理想的等效半空間各項同性介質(zhì)的條件。為此，在理論公式的基礎上，利用試驗數(shù)據(jù)的回歸分析來確定最佳擬合參數(shù)，并計算在符合路基填筑設計標準下所需的最小瑞雷波速。

對含有兩個未知數(shù)的冪函數(shù)方程，當要擬合的數(shù)據(jù)點大于兩個時，回歸過程可寫為如下所示的超定方程組

(21)

其中，y代表壓實度或地基系數(shù)，x代表瑞雷波速，n是要擬合的數(shù)據(jù)點個數(shù)(n為整數(shù)且n>2)，a和b是待求擬合參數(shù)。公式(21)中方程個數(shù)大于未知數(shù)個數(shù)，方程組超定，常用的求解方法是在最小二乘意義下進行非線性擬合，即求取滿足目標函數(shù)時a和b的值

(22)

求出a和b后，將設計參數(shù)要求的最小壓實度或地基系數(shù)代入冪函數(shù)回歸方程，即可得到對應的最小瑞雷波速。

3 工程實例

根據(jù)某鐵路路基基床表層的瑞雷面波、干密度、和地基系數(shù)采集數(shù)據(jù)，分別計算瑞雷波速與干密度、地基系數(shù)的冪函數(shù)回歸方程，并用擬合誤差和相關系數(shù)來驗證回歸擬合的準確性。最后，根據(jù)該段鐵路路基的設計參數(shù)要求，利用回歸方程預測出滿足設計要求的最小瑞雷波速。所有計算過程被編入Excel表，以方便實際工程應用。

該段鐵路路基基床表層分別采用灌砂法、K30和瑞雷面波法進行檢測。瑞雷面波法配套儀器為國產(chǎn)SWS-6工程勘探與工程檢測儀。根據(jù)該段路基的測試段落長度，選擇測點間距為5 m。每個測點使用12道4 Hz低頻檢波器采集信號，采樣間隔0.1 ms，記錄長度200 ms，道間距1.0 m，偏移距2.0 m。采用50 kg級落錘錘擊墊板作為單邊激發(fā)震源，每個測點重復檢測一次。

得到瑞雷面波數(shù)據(jù)后，可以通過一系列數(shù)據(jù)處理得到每個測點處的瑞雷波速。首先，在時間距離(X-T)域設置面波時距窗口和頻率范圍，保留時窗中的有效信號并去除時窗外的干擾信號。其次，將X-T域中的瑞雷面波數(shù)據(jù)通過傅里葉變換轉換到頻率波數(shù)(F-K)域。在F-K域選定基階面波的能量峰脊，計算出不同頻率對應的瑞雷波速，畫出頻散曲線。根據(jù)得到的頻散數(shù)據(jù)以及頻率與面波勘探深度的關系式，在設置初始地層參數(shù)后，經(jīng)過人機聯(lián)作，優(yōu)化擬合，將頻散曲線轉換為深度速度(Z-V)曲線，得到在深度速度(Z-V)域的瑞雷面波數(shù)據(jù)，從而計算出采集排列測點下方介質(zhì)瑞雷波速的分層斷面和基床表層各位置的瑞雷波速值。

干密度和對應測點處瑞雷波速數(shù)據(jù)如表1所示。

根據(jù)公式(16)和表1的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法非線性擬合，建立干密度與瑞雷波速的回歸方程

(23)

回歸方程的相關系數(shù)為0.953，其回歸曲線如圖1所示。

表1 干密度和瑞雷波速數(shù)據(jù)

圖1 干密度與瑞雷波速回歸曲線

利用公式(23)和瑞雷波速反算干密度，如表2所示。

表2表明，公式(23)的平均擬合誤差為1%，最大擬合誤差不大于2.5%。另外，其相關系數(shù)大于95%，證明了回歸方程的準確性。

表2 干密度和反算干密度對比

該段鐵路路基基床表層使用的是A組填料，設計參數(shù)為孔隙率小于等于31%，土的顆粒密度為2.71 g/cm3。為求出滿足設計參數(shù)要求的最小瑞雷波速，首先根據(jù)孔隙率計算公式求得當孔隙率等于31%時，干密度為1.87 g/cm3。然后將該干密度值代入公式(23)，求得對應的瑞雷波速為182 m/s。該瑞雷波速值即是滿足設計參數(shù)要求的最小瑞雷波速，當路基基床表層瑞雷波速大于等于182 m/s時，即可視為該處路基填筑滿足設計的最大孔隙率要求。

下面推導地基系數(shù)與瑞雷波速的關系式。在刪除偏差較大的采集數(shù)據(jù)后，該段鐵路路基基床表層地基系數(shù)和瑞雷面波法檢測數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 地基系數(shù)和瑞雷波速數(shù)據(jù)

根據(jù)公式(17)和表3的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法非線性擬合，建立地基系數(shù)與瑞雷波速的回歸方程

(24)

回歸方程的相關系數(shù)為0.995，其回歸曲線如圖2所示。

圖2 地基系數(shù)與瑞雷波速回歸曲線

利用公式(24)和瑞雷波速反算地基系數(shù)，如表4所示。

表4 地基系數(shù)和反算地基系數(shù)對比

由表4可知，公式(24)的平均擬合誤差為1.56%，最大擬合誤差不大于4%。另外，其相關系數(shù)大于99%，證明了回歸方程的準確性。該段鐵路路基基床表層設計地基系數(shù)大于等于120 MPa/m，將其代入公式(24)，求得對應的瑞雷波速為145 m/s，即當路基基床表層瑞雷波速大于等于145 m/s時，該處路基填筑滿足設計的最小地基系數(shù)要求。

為方便實際工程應用，將上述計算過程編入Excel表格，對不同地區(qū)和填料的路基，使用時只需將采集的瑞雷波速、干密度(或壓實度)和地基系數(shù)填入表格，即可自動求出該段路基在滿足設計要求條件下的最小瑞雷波速，實現(xiàn)瑞雷面波法的定量分析評價?；貧w分析時用到的數(shù)據(jù)量越大，數(shù)據(jù)偏差就越小，最后得到的結果越準確。

4 結論

瞬態(tài)瑞雷面波法能夠?qū)崿F(xiàn)路基填筑質(zhì)量的無損快速連續(xù)檢測，面波法只能檢測出路基軟硬程度，無法對路基填筑質(zhì)量進行定量評價。本文提供了一種定量分析方法，并通過工程實例進行驗證，得到以下結論：

(1)給定壓實度和地基系數(shù)的設計值，利用二者與瑞雷波速的回歸方程可以計算出相應的瑞雷波速設計值，即當瑞雷波速大于等于該值時路基填筑質(zhì)量合格。由此解決了以往瑞雷面波法只能定性判斷路基填筑軟弱夾層的缺陷，實現(xiàn)了瑞雷面波法對路基填筑質(zhì)量的定量分析，簡化了路基填筑質(zhì)量的檢測過程。

(2)理論推導表明，冪函數(shù)形式的回歸方程是瑞雷波速與干密度、地基系數(shù)的最佳擬合函數(shù)。工程實例進一步驗證了冪函數(shù)回歸方程具有較大的相關系數(shù)和較小的擬合誤差，證明了回歸方程的準確性。

(3)最小二乘法非線性擬合是求解冪函數(shù)回歸方程的最優(yōu)化數(shù)學方法，擬合用的數(shù)據(jù)越多，求出的回歸方程準確度越高。

(4)求出回歸方程后，將干密度和地基系數(shù)的設計參數(shù)代入回歸方程，求出滿足設計要求的最小瑞雷波速，可為瞬態(tài)瑞雷面波法的定量分析提供評價標準。