宣 賀，華青松，張洪信，程聯(lián)軍，趙清海，毛新凱

(青島大學(xué) a.機電工程學(xué)院；b.動力集成及儲能系統(tǒng)工程技術(shù)中心，山東 青島 266071)

0 引言

機床工業(yè)是我國加工制造業(yè)的根本。機床工作時振動可產(chǎn)生較大的誤差，機床的模型降階可以減小振動，提高機床的生產(chǎn)效率。

高精密機床的結(jié)構(gòu)復(fù)雜度越高，分析時的時間和費用增加的越快。這就需要對高精密機床的結(jié)構(gòu)進(jìn)行降階，進(jìn)幾年，動力縮減技術(shù)被廣泛應(yīng)用到模型的降階研究和相關(guān)領(lǐng)域，在振動分析中具有特別重大的意義[1-2]。

動力減縮技術(shù)模型降階主要包括兩類：①整體降階法，包括動力縮聚，模態(tài)法、Lanozos等法。②局部降階法，包括動態(tài)子結(jié)構(gòu)法或模態(tài)綜合法[3-4]?？刂评碚撝械慕惦A方法主要有：平衡降階法(Balanced Reduction)、代價分析法(Cost Analysis)、最優(yōu)投影法(Optimal Projection)，但是這些方法對于降低維數(shù)過高的機床模型的階數(shù)有一定的困難。因此，本文應(yīng)用動態(tài)子結(jié)構(gòu)法，即對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型，首先對物理空間模型降階，然后與物理模型和平衡降階法聯(lián)系起來，得到的降階模型不僅階數(shù)低，而且所得狀態(tài)空間方程具有可觀性和可控性，這樣就能保證控制器的設(shè)計與分析。

1 動態(tài)子結(jié)構(gòu)降階法

動態(tài)子結(jié)構(gòu)降階技術(shù)把主自由度分為自由度和副自由度，利用主、副自由度之間的動力縮聚矩陣把原系統(tǒng)的剛度矩陣，阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣投影到一個只有主自由度的物理空間中[5]。從數(shù)學(xué)角度上看，動態(tài)子結(jié)構(gòu)降階法是一種物理變換，降階后的模型仍在物理空間。

如圖1所示，為了對機床實時進(jìn)給位置進(jìn)行建模，需要在進(jìn)給部件柔性體1和2之間實時定義聯(lián)接單元，并刪除前一時間點已建立的聯(lián)接單元，以獲得該位置的多體耦合模型。柔性體之間聯(lián)接單元的生成和刪除通過編程實現(xiàn)，最重要的是快速搜尋所需的聯(lián)接單元節(jié)點。常用聯(lián)接單元是彈簧——阻尼單元[6-7]。采用這種單元聯(lián)接兩個自由子結(jié)構(gòu)時，要求1、2自由子結(jié)構(gòu)上節(jié)點的位置、序號一一對應(yīng)，這給有限元網(wǎng)格劃分提出了很高的要求；如果接合面上節(jié)點單元比較多，并且是非等距分布，則無法通過節(jié)點生成聯(lián)接單元[8]。同時，如果接合面上節(jié)點數(shù)目很大，則尋找聯(lián)接單元節(jié)點的所需時間會很長，導(dǎo)致系統(tǒng)耦合建模時間過長，不能滿足高效建模的要求。

圖1 采用彈簧-阻尼鏈接單元聯(lián)接的柔性體系統(tǒng)

本文將研究高效的節(jié)點搜尋域floor方法。將進(jìn)給路線長度進(jìn)行一維等距離劃分，長度為最近兩個節(jié)點之間的距離[9-10]。將等距的域按順序生成一個向量，每個向量元素包含該域中的所有單元節(jié)點。實時域中序號為m的元素表達(dá)方式為：

(1)

xact表示進(jìn)給裝置(自由子結(jié)構(gòu)2)在y方向上的實時位置，l為導(dǎo)軌(自由子結(jié)構(gòu))長度。建立實時位置xact的彈簧——阻尼聯(lián)接單元時，直接選取該時間點離MASTER節(jié)點最近的對應(yīng)域中的節(jié)點作為單元節(jié)點[11]。通過定義節(jié)點搜尋域的方法，避免了花很長時間找聯(lián)接單元節(jié)點的問題，從而確保快速建模的要求。根據(jù)實際模型中機床結(jié)合部的實際情況，也可將節(jié)點搜尋域定義為二維、或者三維的向量，在公式(1) 中添加yact和zact即可。搜尋節(jié)點的算法等同于一維算法。

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程可用如下方程表示：

(2)

式中，M、C和K分別為機床進(jìn)給系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣，它們均以n×n階對稱矩陣，X為位移向量，F(xiàn)為結(jié)構(gòu)受到的外作用力向量。把該結(jié)構(gòu)的總自由度n分為主自由度m和副自由度兩部分，則式(2)可用分塊的形式表示為：

(3)

假定結(jié)構(gòu)主、副自由度之間的關(guān)聯(lián)矩陣為R，即:

(4)

關(guān)聯(lián)矩陣R可由下式來解，

R=Kss-1[(Msm+MssR)MR-1KR-Ksm]

(5)

關(guān)聯(lián)矩陣R包含了降階模型的參數(shù)，而這些參數(shù)與關(guān)聯(lián)矩陣R有關(guān)，因此常用迭代法求解，當(dāng)引入迭代法后，經(jīng)過(i)次迭代后降階系統(tǒng)動力方程為：

(6)

其中，

MR(i)=Mmm+(R(i))TMsm+
MmsR(i)+(R(i))TMssR(i)

(7)

DR(i)=Dmm+(R(i))TDsm+
DmsR(i)+(R(i))TDssR(i)

(8)

KR(i)=Kmm+(R(i))TKsm+
KmsR(i)+(R(i))TKssR(i)

(9)

FR(i)(t)=Fm(t)+(R(i))TFs(t)

(10)

R的初始值R(0)=-Kss-1Ksm。

主自由度的選擇和主自由度的多少對動態(tài)子結(jié)構(gòu)降階法尤為重要，因為它們直接影響到降階方法的精度和適用范圍[12-14]。一般而言，從定性的角度出發(fā)，應(yīng)該遵循以下規(guī)則，①所選擇的主自由度應(yīng)該是質(zhì)量陣中最大元素所對應(yīng)的自由度，或是在所選的振動幅值中，幅值變化最大的自由度。②對簡單結(jié)構(gòu)而言，主自由度應(yīng)選擇線位移，而不是轉(zhuǎn)角位移。③對復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，應(yīng)該是慣性和柔度均較大的區(qū)域。④從定量的角度出發(fā)，Matta和Shah直接選擇m個對角元素的最小比值ri=kii/Mii所對應(yīng)的自由度為主自由度。⑤對于主自由度的選擇和多少，應(yīng)該根據(jù)問題實際情況而定。

2 高精密機床進(jìn)給系統(tǒng)降階分析

在進(jìn)行一般動力學(xué)仿真分析時，一些螺栓連接往往用固定副約束，但進(jìn)行振動分析尤其想考慮振動通過螺栓連接進(jìn)行傳遞時需要使用彈性連接描述部件間的運動關(guān)系。這時使用Adams/Vibration提供了兩種阻尼器的連接方式，一種是FD阻尼器，另一種是FD 3D阻尼器，其中FD阻尼器只阻礙兩個構(gòu)件間在一個自由度上的相對運動，而FD 3D阻尼器可以同時阻礙兩個構(gòu)件在多個自由度上的相對運動。

圖2 進(jìn)給系統(tǒng)多體系統(tǒng)動力學(xué)模型

在ADAMS中對Adams/Vibration模塊進(jìn)行加載，然后進(jìn)行如下操作。

輸入通道：在進(jìn)給系統(tǒng)模型中，主要考慮工作臺上的零件在切削力的作用下所導(dǎo)致的進(jìn)給系統(tǒng)的振動，所以在工作臺的x方向上添加激勵力。力的大小為600N，相位為0o、方向沿x軸的激勵力。

輸出通道：絲杠的振動是影響加工精度的一個至關(guān)重要的因素，所以輸出通道選擇絲杠上的中間點，以便更加細(xì)致入微的觀察，故對絲桿的中間點定義的輸出通道為z方向[15]。

3 降階仿真分析

對進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行振動分析，運行ADAMS/Vibration模塊，點擊Test，然后點擊Vibration Analysis，在ADAMS中將絲杠的柔性體轉(zhuǎn)換為剛性體，得到剛性體全模型絲杠上中點的幅頻特性和相頻特性[16]。然后在全模型的基礎(chǔ)上添加FD 3D阻尼器，設(shè)置C1=0.006，K1=1.25，對其進(jìn)行模型仿真，進(jìn)入后處理模塊，得到降階模型絲杠中點的幅頻特性和相頻特性。圖3是原始模型與降階模型的幅頻特性曲線，圖4是原始模型與降階模型的相頻特性曲線。

圖3 原始模型與降階模型的幅頻特性曲線

圖4 原始模型與降階模型的相頻特性曲線

從圖3和圖4可以看出，在模型仿真運行中，降階模型能夠很好的逼近剛?cè)嵩寄Ｐ汀Ｆ胶饨惦A模型基本上重現(xiàn)了原始模型的動態(tài)特性，既說明了柔性體的仿真準(zhǔn)確性，又說明本文中動態(tài)子結(jié)構(gòu)降階法能夠準(zhǔn)確、可靠地實現(xiàn)主動約束層阻尼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型降階[17]。在狀態(tài)空間對原始模型進(jìn)行子結(jié)構(gòu)降階。不僅能夠降低模型階數(shù)，而且所得狀態(tài)空間方程可觀且可控，這在振動主動控制中具有特別重要的意義。

對于二階線性系統(tǒng)(a,b,c,d)，定義可控矩陣，可觀矩陣如下：

根據(jù)以上公式可以得出，平衡降階模型可控矩陣及可觀矩陣的秩為16。當(dāng)系統(tǒng)可控時，可控矩陣gc滿秩；當(dāng)系統(tǒng)可觀時，可觀矩陣go滿秩[18]，降階模型即可控又可觀，由于兩次降階后模型階數(shù)很低，使得實時振動變主動控制成為可能。

在ADAMS仿真模型中，以絲杠的中點為研究對象，進(jìn)行仿真分析，再轉(zhuǎn)換為剛性體，進(jìn)行仿真[19]。得到模型降階前后的脈沖響應(yīng)，如圖6所示。表1反映的是降階前后仿真計算時間對比。

圖5 絲杠中心速度時間歷程

圖6 模型降階前后的脈沖響應(yīng)

方法求解時間t/s效率比原始模型1201降階模型85.81.39

通過圖5、圖6和表1可以看出，降階模型和原始模型的計算結(jié)果吻合極好，從仿真計算時間上來看，模型降階后的計算時間更短，降階后模型的精確度更高，說明本文提出的降階模型比全模型具有更高的計算效率和仿真精確效率。

4 結(jié)論

(1)提出在動態(tài)仿真軟件ADAMS通過添加FD 3D阻尼器對機床進(jìn)給系統(tǒng)模型進(jìn)行降階。

(2)通過動態(tài)子結(jié)構(gòu)降階法和ADAMS動態(tài)仿真分析，降階后的幅頻特性和脈沖響應(yīng)極好地吻合，說明此降階方法的準(zhǔn)確性。

(3)降階后機床進(jìn)給系統(tǒng)模型的仿真精確效率更高。

(4)高精密機床進(jìn)給系統(tǒng)降階后的仿真計算時間更短，效率提高了39%。