閆 峰，夏 斌，程 燃

(云科智能伺服控制技術(shù)有限公司，上海 200433)

0 引言

數(shù)控機(jī)床伺服驅(qū)動方式通常是“旋轉(zhuǎn)電機(jī)+滾珠絲杠”進(jìn)給方式，這種伺服形式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且存在傳動間隙及彈性變形，要獲得較高的快速性和加工精度，給伺服控制系統(tǒng)提出了更高的要求[1]。以PID為核心的控制方法是基于系統(tǒng)對信號的響應(yīng)特性或者系統(tǒng)的反饋信息來確定控制律，即利用系統(tǒng)的給定與實際信號的誤差來確定系統(tǒng)的控制信號，導(dǎo)致系統(tǒng)的控制量總會慢一拍。同時，由于系統(tǒng)完全不依賴于模型或僅參考理想模型，當(dāng)同一套控制器應(yīng)用于相似的控制對象時或者是對象受到本身參數(shù)攝動和外部干擾時，控制器的參數(shù)需要重新調(diào)節(jié)，其通用性差[2-4]。文獻(xiàn)[5]采用PDFF控制抑制速度超調(diào)，但對參數(shù)攝動和外部干擾的抑制效果不明顯。文獻(xiàn)[6]采用滑模變結(jié)構(gòu)控制來抑制參數(shù)攝動和外部的擾動, 由于滑模控制固有的“抖振”問題, 影響伺服系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。

本文針對PMSM伺服控制系統(tǒng)存在的對系統(tǒng)參數(shù)攝動及外部干擾的抑制問題，設(shè)計線性自抗擾速度控制器(包括線性跟蹤微分器、線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器以及狀態(tài)反饋控制器)，將非線性的系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋與擾動估計補償?shù)姆绞阶儞Q為一類串聯(lián)積分型系統(tǒng)，從而提高了系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能。實驗結(jié)果表明，線性自抗擾速度跟蹤控制器可以有效地抑制不確定的擾動，提高系統(tǒng)的跟蹤性能和魯棒性。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

在忽略鐵心飽和、不計渦流和磁滯損耗、轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組、永磁材料的電導(dǎo)率為零、相繞組中感應(yīng)電動勢波形是正弦波的前提下，永磁同步電機(jī)d-q軸系的狀態(tài)方程為：

(1)

其中，isd、isq分別為d、q軸定子電流；usd、usq分別為d、q軸定子電壓；Ld、Lq分別為d、q軸線圈的電感；Rs為定子相繞組電阻；ωr為電角速度；ψf為勵磁磁鏈。

機(jī)械運動方程為：

(2)

其中，Ωr為機(jī)械角速度；Tem為勵磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動慣量；B為粘滯摩擦系數(shù)。

2 線性自抗擾控制

ADRC將模型論與控制論有機(jī)的結(jié)合，通過對象模型分析，建立系統(tǒng)固有的加速度與系統(tǒng)狀態(tài)的線性關(guān)系[7]。線性自抗擾控制器由線性跟蹤微分器、線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器以及狀態(tài)反饋控制器三部分組成，其一階線性ADRC控制框圖，如圖1所示。其中，v為系統(tǒng)輸入信號；v1為過渡信號；u0為矯正信號；u為系統(tǒng)控制信號；z1為狀態(tài)量觀測信號；z2為擾動估計信號；b為系統(tǒng)模型參數(shù)；y為系統(tǒng)輸出信號。

線性跟蹤控制器的狀態(tài)方程為：

(3)

其中，x為線性跟蹤微分器的狀態(tài)變量；a1和a2分別為線性跟蹤微分器的控制參數(shù)。當(dāng)控制參數(shù)取值為a1=r2，a2=2r，且r>0時，其過渡過程沒有超調(diào)。

圖1 一階線性ADRC控制框圖

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器是將系統(tǒng)的內(nèi)、外擾動擴(kuò)張成一個新的狀態(tài)變量，即總擾動，并將其觀測出來補償?shù)较到y(tǒng)的控制量中，實現(xiàn)對擾動的抑制作用。

一階非線性系統(tǒng)方程為：

(4)

其中，x1為系統(tǒng)中的狀態(tài)變量；f(x1(t),w(t))為系統(tǒng)的未建模部分及未知的擾動。將總擾動通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測器擴(kuò)張成系統(tǒng)的一個新的狀態(tài)變量x2=f(x1(t),w(t))，將其代入式(4)中，其線性系統(tǒng)方程為：

(5)

由式(4)、式(5)的推導(dǎo)過程，將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為線性系統(tǒng)，即為線性串聯(lián)積分型系統(tǒng)[8]。

9）住房建設(shè)部門資料。主要為風(fēng)景名勝區(qū)、自然文化遺產(chǎn)的名稱、面積，城市（縣城）和村鎮(zhèn)建設(shè)的統(tǒng)計范圍及相關(guān)成果資料，可作為重要地理要素的參考數(shù)據(jù)源。

由以上分析可知，線性跟蹤微分器的作用是安排過渡過程，給出合理的控制信號，解決了響應(yīng)速度與超調(diào)量之間的矛盾。線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器通過設(shè)計一個擴(kuò)張的狀態(tài)量來估計未知擾動和控制對象中未建模部分，然后狀態(tài)反饋控制器給出合適的控制量用于補償這些擾動，將控制對象變?yōu)榇?lián)積分型控制對象，實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)的反饋線性化。

3 自抗擾速度控制原理

一階ADRC速度跟蹤控制器框圖，如圖2所示。

線性跟蹤控制器采用PD控制，其狀態(tài)方程為：

(6)

其中，b1和b2分別為線性跟蹤微分器的控制參數(shù)。若使控制系統(tǒng)無超調(diào)，則b1=r2，b2=2r，r>0，且b1=(a1+kp)>0，b2=(a2+kd)>0，即

(7)

其中，kp和kd分別為線性跟蹤PD控制器的控制參數(shù)。

圖2 一階ADRC速度跟蹤控制器框圖

參考任意階系統(tǒng)建立線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的方法[9-10]，建立線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的方程為：

(8)

其中，e1為系統(tǒng)中的輸出量與系統(tǒng)對其觀測值的差值；y為系統(tǒng)輸出信號，即為ωr；β1、β2分別為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的增益參數(shù)；b=Kt/J為系統(tǒng)模型參數(shù)，Kt為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

由式(8)整理可得，線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器矩陣方程為：

(9)

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器特征多項式為：

(10)

狀態(tài)反饋控制器采用比例控制，其狀態(tài)方程為：

(11)

線性ADRC中的擴(kuò)張觀測器帶寬ω0和狀態(tài)反饋控制器帶寬ωc需要滿足的條件[11]為：

ω0≈5-10ωc

(12)

通過線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可準(zhǔn)確地將系統(tǒng)的擾動量、狀態(tài)量及其微分值觀測出來，再通過狀態(tài)反饋控制器將原系統(tǒng)變換為“串聯(lián)積分型”系統(tǒng)[12]。

將式(11)中的系統(tǒng)控制信號表達(dá)式代入式(12)中，可得：

(13)

將式(13)中的系統(tǒng)狀態(tài)變量用x1表示，總擾動用x2表示，系統(tǒng)輸出信號用y表示，其系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(14)

其中，變量x2和z2近似相等時，其系統(tǒng)狀態(tài)方程簡化為：

(15)

式(13)～式(15)的推導(dǎo)過程為控制系統(tǒng)對象逐漸變換為串聯(lián)積分型系統(tǒng)的過程。

線性自抗擾速度控制器原理為通過擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器觀察出系統(tǒng)總擾動，然后狀態(tài)反饋控制器引入合適的控制量，作為系統(tǒng)總擾動估計的補償量，最后將非線性的系統(tǒng)變換為線性串聯(lián)積分型系統(tǒng)進(jìn)行控制。

4 實驗結(jié)果及分析

永磁同步電機(jī)自抗擾速度跟蹤控制系統(tǒng)框圖，如圖3所示。其中，電機(jī)采用矢量控制，電流環(huán)采用PI控制器，實驗選用的PMSM參數(shù)如下：額定電壓為400V，額定功率為1.3kW；額定電流為5.4A；額定轉(zhuǎn)矩為8.34Nm；額定轉(zhuǎn)速為1500rpm；最大電流為14A；最大轉(zhuǎn)矩為23.3Nm；反電動勢系數(shù)為124 V/krpm；轉(zhuǎn)矩系數(shù)為1.78Nm/A；轉(zhuǎn)動慣量為19.9kg·m2×10-4。采用單圈20位、多圈16位絕對值編碼器獲取永磁同步電機(jī)位置信息，實現(xiàn)閉環(huán)控制。

圖3 PMSM自抗擾速度跟蹤控制系統(tǒng)框圖

實驗采用TI的F2812DSP實現(xiàn)電流采樣、SVPWM、SPI串行通信及雙閉環(huán)控制算法等軟件相關(guān)功能。采用倍福公司的EtherCAT與上位機(jī)進(jìn)行通訊，獲得狀態(tài)變量的實驗波形。

搭建對比實驗平臺，設(shè)計PDFF速度跟蹤控制器，其控制框圖，如圖4所示。其中，kf為前饋補償參數(shù)；kp為比例控制參數(shù)；ki為積分控制參數(shù)。PDFF控制參數(shù)設(shè)置值為kf=0.65，kp=30，ki=10。

圖4 PDFF速度控制框圖

根據(jù)PMSM自抗擾速度跟蹤控制系統(tǒng)框圖搭建軟、硬件平臺，得到以下實驗結(jié)果。圖5分別為ADRC和PDFF速度跟蹤控制系統(tǒng)，階躍轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速波形和q軸電流波形。圖6分別為ADRC和PDFF速度跟蹤控制系統(tǒng)在額定轉(zhuǎn)速下突加、突卸額定負(fù)載時的轉(zhuǎn)速波形和q軸電流波形。

由圖5可得，階躍轉(zhuǎn)速指令從0rpm上升到1500rpm，ADRC控制可快速達(dá)到期望轉(zhuǎn)速，且反饋轉(zhuǎn)速無超調(diào)；q軸電流比PDFF控制下的q軸電流更為平滑。從階躍轉(zhuǎn)速指令跟蹤特性上看，由于ADRC控制中線性跟蹤微分器可優(yōu)化期望指令，并給出合理的控制信號，解決了響應(yīng)速度快與超調(diào)量之間的矛盾，使得ADRC控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能。

(a) 階躍轉(zhuǎn)速時轉(zhuǎn)速波形

(b) 階躍轉(zhuǎn)速時q軸電流波形圖5 ADRC和PDFF速度跟蹤控制系統(tǒng)階躍轉(zhuǎn)速時轉(zhuǎn)速波形及q軸電流波形

(a) 突加、卸載時轉(zhuǎn)速波形

(b) 突加、卸載時q軸電流波形圖6 ADRC和PDFF速度跟蹤控制系統(tǒng)突加、卸載時轉(zhuǎn)速波形及q軸電流波形

由圖6可得，系統(tǒng)突加、突卸額定負(fù)載時，ADRC控制下的轉(zhuǎn)速跌落、提升小，且可以快速恢復(fù)穩(wěn)定轉(zhuǎn)速；而q軸電流波形比PDFF控制的q軸電流波形動態(tài)調(diào)節(jié)更迅速且劇烈。從抗負(fù)載擾動性能上看，由于ADRC控制中線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可估算出負(fù)載擾動，而狀態(tài)反饋控制器可給出合適的控制量補償此擾動，使得ADRC控制下的速度跟蹤控制系統(tǒng)具有良好的抗擾動特性。

實驗結(jié)果表明，ADRC速度跟蹤控制系統(tǒng)可合理地安排過渡過程，使得系統(tǒng)響應(yīng)快且無超調(diào)。而線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和狀態(tài)反饋控制器可對負(fù)載擾動進(jìn)行估計和補償，使得控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

5 結(jié)束語

針對高檔數(shù)控機(jī)床對速度快速響應(yīng)及跟蹤精度的要求，結(jié)合永磁同步電機(jī)的特點，采用自抗擾控制設(shè)計速度跟蹤器來抑制伺服系統(tǒng)模型攝動及外部不確定性擾動，實現(xiàn)了伺服控制系統(tǒng)對擾動的抑制作用。實驗結(jié)果表明，該方案合理地安排了期望指令的過渡過程，并對擾動進(jìn)行觀測和補償，發(fā)揮了自抗擾控制的優(yōu)勢，使得控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)特性和魯棒性，從而提高了伺服控制系統(tǒng)的跟蹤精度。