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1 引言

全波傅氏算法具有很強(qiáng)的濾除諧波的性能,不僅算法簡(jiǎn)單，而且穩(wěn)定性好,因此在電力系統(tǒng)微機(jī)繼電保護(hù)中得到廣泛的應(yīng)用。但全波傅氏算法是基于周期函數(shù)模型推導(dǎo)出來(lái)的,而在電力系統(tǒng)故障狀態(tài)下,輸入信號(hào)中因含有較大的衰減直流分量而不再是周期函數(shù),為了克服衰減直流分量的影響,很多學(xué)者做了大量的研究,提出了一些相應(yīng)的改進(jìn)全波傅氏算法[1-10],文獻(xiàn)[4-8]的算法都需要在基頻周期采樣的基礎(chǔ)上增加若干個(gè)采樣點(diǎn),直接求出誤差量大小，對(duì)衰減直流分量進(jìn)行補(bǔ)償，有些算法精度不高,有些算法十分復(fù)雜。文獻(xiàn)[9]在不需增加采樣點(diǎn)的情況下,也是求出誤差量的大小，對(duì)衰減直流分量進(jìn)行精確補(bǔ)償。其實(shí)，采樣的信號(hào)可看成衰減直流分量和周期信號(hào)的疊加，在取得采樣序列時(shí)，若能馬上求出衰減直流分量的初始值和衰減時(shí)間常數(shù)，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的每一采樣點(diǎn)的衰減直流分量的大小，讓采樣的每一個(gè)點(diǎn)減去對(duì)應(yīng)的衰減直流分量。這樣對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理后，得到的采樣序列就是只含基波和諧波的周期函數(shù)采樣序列，可直接用于全波傅氏算法的計(jì)算，且計(jì)算量大大減小，理論上沒有誤差。

2 全波傅氏算法

假設(shè)采樣信號(hào)具有如下形式：

(1)

式中：I0為衰減直流分量初始值；τ為衰減時(shí)間常數(shù)；In、φn分別為基波和各次諧波的幅值和初相角。

根據(jù)傅氏級(jí)數(shù)的原理，可以求得基波和各次諧波的正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)的表達(dá)式：

(2)

(3)

式中：T為基頻分量的周期；ω為基頻分量的角頻率。

將式(2)、式(3)進(jìn)行離散化處理可得：

(4)

(5)

式中：N為周期采樣點(diǎn)數(shù)。

離散情況下有：

得到基波和各次諧波的幅值和初相角為：

(6)

(7)

若式(1)中不含衰減直流分量，由式(4)、式(5)得到基波和各次諧波的理想的實(shí)部和虛部：

an=Incosφn

(8)

bn=Insinφn

(9)

3 改進(jìn)的算法

3.1 輸入信號(hào)

假設(shè)輸入信號(hào)為衰減直流分量、基頻分量與整次諧波分量之和，則：

(10)

則第k次采樣值可表示為：

I0ck+ia

(11)

式中,ia為交流分量，令e-Ts/τ=c，該文稱c為衰減常數(shù)。

3.2 求解衰減直流分量初始值I0和衰減常數(shù)c

新算法首要目的是求出衰減直流分量初始值I0和衰減時(shí)間常數(shù)τ，然而求解衰減時(shí)間常數(shù)要用到對(duì)數(shù)運(yùn)算，在微機(jī)保護(hù)算法編程中，對(duì)數(shù)運(yùn)算難以實(shí)現(xiàn)。其實(shí)在求得衰減常數(shù)c后，就求得了衰減時(shí)間常數(shù)τ，對(duì)計(jì)算的結(jié)果沒有影響。因此，只要求得衰減直流分量初始值I0和衰減常數(shù)c即可。

不少文獻(xiàn)[8-11]都提到求解衰減直流分量初始值和的衰減常數(shù)的方法[10]的方法過于復(fù)雜。文獻(xiàn)[11]用相似的方法濾除了衰減直流分量，但求解衰減直流分量初始值和衰減時(shí)間常數(shù)時(shí)要分三種情況，且對(duì)數(shù)運(yùn)算難以實(shí)現(xiàn)[9]。保證每基頻周期采樣點(diǎn)數(shù)N為4的倍數(shù)的前提下，將采樣點(diǎn)進(jìn)行奇偶序列分離，偶數(shù)序列采樣點(diǎn)之和與奇數(shù)序列采樣點(diǎn)之和的商，既為衰減常數(shù)[8]。{i(k)|k=2,3,…,N+1}的采樣點(diǎn)之和與{i(k)|k=1,2,…,N}[8-9]可總結(jié)一種求解衰減常數(shù)的方法：將一周期序列的采樣點(diǎn)(奇數(shù)序列或是{i(k)|k=1,2,…,N}的采樣序列)向下一個(gè)周期的方向移動(dòng)一個(gè)采樣間隔后，移動(dòng)后的周期采樣序列之和與移動(dòng)前的周期采樣序列之和的商，既為衰減常數(shù)c。求得衰減常數(shù)c后，很容易得到衰減直流分量初始值I0。

為了不增加采樣點(diǎn)數(shù)目，該文用奇偶序列分離的方法求衰減常數(shù)c。假設(shè)每基頻周期采樣點(diǎn)數(shù)N為4的陪數(shù)，易證交流分量一周波積分為零，與矩形積分近似，可表示為:

(12)

因此有：

(13)

得到

(14)

再對(duì)i(k)中偶數(shù)序列進(jìn)行一周波積分，N為4的倍數(shù)，所以N/2為偶數(shù)，得

(15)

由式(14)、式(15)得：

(16)

求得衰減常數(shù)c：

(17)

由式(13)得:

(18)

求得衰減直流分量初始值I0：

(19)

最后得到衰減直流分量：

h(k)=I0ck

(20)

3.3 改進(jìn)算法的實(shí)現(xiàn)

構(gòu)造只含周期分量的函數(shù)：

(21)

F(t)便是不含衰減直流分量的周期信號(hào)，可直接用于全波傅氏算法的計(jì)算。則第k次采樣值為：

(22)

則基波和各次諧波的實(shí)部和虛部為：

(23)

(24)

得到基波和各次諧波的幅值和初相角：

(25)

(26)

4 仿真計(jì)算

為了驗(yàn)證算法的正確性和精度， 以下面的信號(hào)作為輸入,對(duì)算法進(jìn)行了仿真并與傳統(tǒng)的算法及文獻(xiàn)[5]的算法進(jìn)行了比較。

i(t)=9e-t/τ+9sin(ωt+π/3)+5.1sin(2ωt+π/6)+3.4sin(3ωt+π/4)+2.7sin(4ωt+π/3)+2.1sin(5ωt)

τ=0.02s，ω=100π，取N=24，三種算法在相同的軟件MATLAB下的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 算法仿真結(jié)果及比較

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究的全波傅氏改進(jìn)算法,在取得采樣信號(hào)時(shí)就對(duì)信號(hào)進(jìn)行了處理，直接求出衰減直流分量的初始值和衰減常數(shù)，得到了只含基波和各次諧波的周期函數(shù)采樣序列，直接用于全波傅氏算法的計(jì)算。不像其他改進(jìn)的全波傅氏算法，算出誤差量的大小，對(duì)衰減直流分量的正弦、余弦分量的系數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償。仿真表明，該算法在這三種算法中是最精確的，且算法簡(jiǎn)單，思路明確，具精確性和快速性，符合微機(jī)繼電保護(hù)精度和速度應(yīng)用的要求。