□ 毛文亮 □ 楊小平

1.甘肅機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 甘肅天水 741001

2.甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)科學(xué)技術(shù)處 蘭州 730000

精密復(fù)雜零件數(shù)控加工過程中，引起加工誤差的因素較多，表現(xiàn)形式、規(guī)律各異，很難精確找出各影響因素與加工誤差之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系［1］。如果從精密復(fù)雜零件數(shù)控加工的精度檢測(cè)數(shù)據(jù)出發(fā)，分析精密復(fù)雜零件檢測(cè)曲面的測(cè)量數(shù)據(jù)，那么就可以不考慮每個(gè)單一因素對(duì)零件加工誤差的影響，將所有因素產(chǎn)生的誤差歸結(jié)為加工誤差［2］。加工誤差中具有重復(fù)性、穩(wěn)定性的誤差為系統(tǒng)誤差［3］，隨機(jī)產(chǎn)生的誤差為隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差具有不確定性［4］。若能將精密復(fù)雜零件數(shù)控加工中產(chǎn)生的加工誤差分解為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，進(jìn)而準(zhǔn)確對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償加工，則可以有效提高精密復(fù)雜零件的加工精度。

1 在線檢測(cè)誤差補(bǔ)償原理

根據(jù)精密復(fù)雜零件確定檢測(cè)部位，在計(jì)算機(jī)中生成檢測(cè)程序，通過RS 232串行通信接口傳輸至數(shù)控機(jī)床。在檢測(cè)程序的驅(qū)動(dòng)下，數(shù)控機(jī)床從刀庫中調(diào)出事先安裝好的測(cè)頭，并按照檢測(cè)程序規(guī)劃路徑，對(duì)所確定的檢測(cè)部位進(jìn)行自動(dòng)測(cè)量。測(cè)量結(jié)果通過反饋系統(tǒng)傳輸至數(shù)控機(jī)床控制系統(tǒng)，然后再通過RS 232串行通信接口傳輸至計(jì)算機(jī)。將測(cè)量結(jié)果與檢測(cè)部位的理想編程坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，就可以得到加工誤差。根據(jù)誤差大小，修改數(shù)控加工編程坐標(biāo)代碼，進(jìn)行補(bǔ)償加工，就可以實(shí)現(xiàn)精密復(fù)雜零件“加工、測(cè)量、補(bǔ)償加工”閉環(huán)制造［5］，其原理如圖1所示。

2 在線檢測(cè)曲面回歸模型

2.1 定義

在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)系統(tǒng)中，理想復(fù)雜曲面模型廣泛采用參數(shù)曲面來表示，設(shè)u、v為精密復(fù)雜零件檢測(cè)曲面輪廓沿坐標(biāo)平面兩個(gè)軸線方向的矢量參數(shù)，A（u，v）為精密復(fù)雜零件檢測(cè)部位的實(shí)際加工曲面，B（u，v）為精密復(fù)雜零件檢測(cè)部位的理想曲面，ds（u，v）為精密復(fù)雜零件數(shù)控加工中產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差，dr（u，v）為精密復(fù)雜零件數(shù)控加工中產(chǎn)生的隨機(jī)誤差，則有：

根據(jù)式（1），設(shè) C（u，v）=B（u，v）+ds（u，v），則 C（u，v）為精密復(fù)雜零件檢測(cè)部位理想曲面與系統(tǒng)誤差迭加形成的新曲面。由于理想曲面B（u，v）具有確定性，系統(tǒng)誤差 ds（u，v）具有重復(fù)性、穩(wěn)定性，因此將 C（u，v）定義為回歸模型，用C（u，v）來描述加工條件下的零件檢測(cè)曲面。

▲圖1 精密復(fù)雜零件數(shù)控加工在線檢測(cè)誤差補(bǔ)償原理

2.2 表達(dá)

采用雙三次B樣條曲面來描述精密復(fù)雜零件檢測(cè)部位的曲面模型。為使精密復(fù)雜零件檢測(cè)部位能夠得到分片連續(xù)的檢測(cè)曲面模型，設(shè)在檢測(cè)曲面空間給定（n+1）（m+1）個(gè)控制點(diǎn) Gij（i=0，1，...，n；j=0，1，...，m），逼近生成一個(gè)n×m次的貝濟(jì)埃曲面片，如圖2所示。

▲圖2 貝濟(jì)埃曲面片

式中：Ui（u）和 Vj（v）為 B 樣條基函數(shù)；Rij為控制點(diǎn)；h×l為零件檢測(cè)部位曲面片的數(shù)量。

曲面模型就是控制點(diǎn)與基函數(shù)張量積的線性組合，因此，式（2）可表示為：

多個(gè)三次B樣條曲面片的表達(dá)式為［6］：

式中：XK為B樣條基函數(shù)張量積；RK為相應(yīng)控制點(diǎn)，RK=（xrk，yrk，zrk）T；F 為控制點(diǎn)的數(shù)量，F(xiàn)=（h+3）（l+3）。

XK與RK的線性組合就是曲面模型。

2.3 建模

假設(shè)從已加工實(shí)際曲面上獲得了z個(gè)檢測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù) Pw，w=0，1，...，z，且在 u、v 方向上的節(jié)點(diǎn)矢量與檢測(cè)曲面片的數(shù)量，以及每一個(gè)測(cè)點(diǎn)的u、v參數(shù)值都已知，那么式（3）中的張量積XK就能夠計(jì)算出來。基于以上分析，檢測(cè)曲面控制點(diǎn)的線性回歸模型可以用矩陣P表示：

式中：X為零件檢測(cè)部位曲面模型與每個(gè)測(cè)點(diǎn)相關(guān)的張量積，R為控制點(diǎn)。

檢測(cè)曲面控制點(diǎn)的線性回歸模型最小二乘估計(jì)值可表示為：

由于零件表面上加工誤差遠(yuǎn)小于零件尺寸，因此回歸模型測(cè)點(diǎn)的u、v參數(shù)值可以用檢測(cè)時(shí)的理想曲面參數(shù)值u、v代替，精密復(fù)雜零件檢測(cè)曲面的估計(jì)回歸模型可表示為［7］：

殘差可表示為：

3 加工誤差分解

對(duì)于精密復(fù)雜零件檢測(cè)曲面的加工誤差分解，筆者采用空間統(tǒng)計(jì)分析方法中的莫蘭指數(shù)統(tǒng)計(jì)法進(jìn)行。莫蘭指數(shù)顯著為正，表示空間分布中相似的觀察值趨向于聚集在一起，空間對(duì)象存在空間正相關(guān)。莫蘭指數(shù)顯著為負(fù)，表示空間分布中不同的觀察值趨向于聚集在一起，空間對(duì)象存在空間負(fù)相關(guān)。莫蘭指數(shù)趨近于0，表示觀察值趨于獨(dú)立隨機(jī)分布，即空間對(duì)象不存在空間自相關(guān)［9］。因此，只有當(dāng)莫蘭指數(shù)趨近于0時(shí)，才可認(rèn)為各個(gè)測(cè)點(diǎn)的加工誤差在空間上是獨(dú)立分布的，它們之間不存在顯著的相關(guān)性。

設(shè)εi為樣本位置點(diǎn)i到理想曲面的法向偏差，ε為z個(gè)測(cè)量點(diǎn)處ε的平均值，則莫蘭指數(shù)I可表示為［8］：

式中：ωij為在位置點(diǎn)i處，位置j對(duì)它的空間作用度量權(quán)重因數(shù)。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T可表示為：

式中：μM為莫蘭指數(shù)均值；σM為莫蘭指數(shù)方差值。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

隨機(jī)部分的估計(jì)方差σ2μ可用樣本方差表示：

為了從取樣點(diǎn)的加工誤差中分解出隨機(jī)誤差，在擬合回歸模型得到殘差后，可以通過空間獨(dú)立分布的零假設(shè)檢驗(yàn)來確定。如果零假設(shè)被接受，則可以認(rèn)為取樣點(diǎn)法向偏差服從空間獨(dú)立分布，不存在確定性部分，偏差就可以作為隨機(jī)誤差。如果零假設(shè)被拒絕，則表明這些誤差數(shù)據(jù)是自相關(guān)的，誤差值中同時(shí)包含隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，在此情況下，需要進(jìn)一步尋找，最終使零假設(shè)被接受，方可實(shí)現(xiàn)誤差分解［10］，分別求出系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。筆者通過對(duì)所建立的精密復(fù)雜零件檢測(cè)曲面回歸分析模型迭代求取，單側(cè)檢驗(yàn)，驗(yàn)證檢測(cè)曲面回歸分析模型接受空間獨(dú)立分布零假設(shè)檢驗(yàn)，殘差服從空間獨(dú)立性分布，殘差可以作為隨機(jī)誤差。精密復(fù)雜零件某一檢測(cè)曲面分解的系統(tǒng)誤差如圖3所示，分解的隨機(jī)誤差如圖4所示。

▲圖3 檢測(cè)曲面分解的系統(tǒng)誤差

4 在線檢測(cè)誤差補(bǔ)償

根據(jù)精密復(fù)雜零件數(shù)控加工系統(tǒng)誤差與補(bǔ)償點(diǎn)之間的補(bǔ)償量關(guān)系，建立補(bǔ)償點(diǎn)計(jì)算數(shù)學(xué)模型。設(shè)P（u，v）為補(bǔ)償點(diǎn)補(bǔ)償值，B（u，v）為理想復(fù)雜曲面，s（u，v）為系統(tǒng)誤差估計(jì)值為 B（u，v）的法矢方向，則有：

根據(jù)補(bǔ)償點(diǎn)公式計(jì)算結(jié)果，修改數(shù)控代碼，將理想曲面刀具路徑偏移一個(gè)系統(tǒng)誤差值，生成新的刀具路徑，重新進(jìn)行走刀加工，即可實(shí)現(xiàn)精密復(fù)雜零件加工誤差補(bǔ)償。

▲圖4 檢測(cè)曲面分解的隨機(jī)誤差

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證筆者方法的有效性，采用帶發(fā)那科數(shù)控系統(tǒng)的三軸立式加工中心、雷尼紹觸發(fā)式測(cè)頭，對(duì)精密復(fù)雜零件進(jìn)行在線檢測(cè)，并進(jìn)行誤差補(bǔ)償加工試驗(yàn)，將試驗(yàn)結(jié)果與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，確認(rèn)兩者基本一致。精密復(fù)雜零件數(shù)控加工在線檢測(cè)如圖5所示，精密復(fù)雜零件數(shù)控加工補(bǔ)償前后數(shù)據(jù)與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)檢測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比結(jié)果見表1。

▲圖5 精密復(fù)雜零件數(shù)控加工在線檢測(cè)

表1 精密復(fù)雜零件數(shù)控加工在線檢測(cè)誤差補(bǔ)償數(shù)據(jù)與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比mm

6 結(jié)論

針對(duì)精密復(fù)雜零件數(shù)控加工中存在的問題，筆者構(gòu)建了基于B樣條曲面的回歸分析模型。通過空間獨(dú)立性分析，將精密復(fù)雜零件的數(shù)控加工誤差分解為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。通過補(bǔ)償點(diǎn)偏差計(jì)算，修改數(shù)控加工程序，準(zhǔn)確對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行了補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)了精密復(fù)雜零件“加工、測(cè)量、補(bǔ)償加工”的閉環(huán)制造，有效提高了精密復(fù)雜零件的數(shù)控加工精度。