張晶,馬瑾,邵晨,桂志國,張權,楊婕,*

(1.山西財貿(mào)職業(yè)技術學院 信息工程系,山西 太原 030031;2.山西中醫(yī)藥大學 醫(yī)藥管理學院,山西 太原 030619; 3.中北大學 電子測試技術國家重點實驗室,山西 太原 030051)

0 引言

近年,伴隨著信號采樣技術的快速發(fā)展,能夠從冗余度極低的稀疏信息中重構出原始圖像的壓縮感知(Compressive Sensing,CS)復原方法取得了很大的成功[1-2]。通過在采樣過程中同時對信號進行壓縮,CS方法能夠利用采集到的少量稀疏數(shù)據(jù),以遠小于Nyquist定理規(guī)定的采樣率高效地恢復出原始信號。CS理論指出,只要原始圖像是稀疏的或者在某些變換域是稀疏的,則將高維空間的信號映射到低維空間后獲取的少量投影中包含復原圖像所需的足夠信息[3]。

一般地,若長度為N的信號u的變換系數(shù)Φu的大部分值為0,或者Φu的大部分值為接近0的很小的數(shù),那么信號u在變換域Φ是稀疏的[3-4]。CS復原過程相當于求解:

b=Au

(1)

其中,A為一個大小為M×N的隨機測量矩陣,通過在A上投影可獲取比稀疏信號u長度小很多的觀測數(shù)據(jù)b。顯然,方程(1)是欠定的且病態(tài)的,無法直接采用觀測值b復原出原始信號u。為了復原u,需要求解下面問題,即

min‖u‖p,s.t.b=Au

(2)

其中,p為0或1,當u不滿足稀疏的條件時,需先采用稀疏基φ=[φ1,…,φN]對u進行稀疏表示:

(3)

由此,可以得出CS測量過程[4]的表達式:

u=Aφδ

(4)

可見,圖像的稀疏表示是圖像壓縮感知復原的關鍵一環(huán),通常采用單一的基函數(shù)來表示圖像。然而,富含光滑區(qū)域、邊緣、細節(jié)、結構及紋理信息的自然圖像是非常復雜的,僅采用單一基函數(shù)并不能獲取圖像的最優(yōu)稀疏表示[5-6]。目前,壓縮感知復原方法的一個研究熱點是探索圖像在各種稀疏變換(梯度變換[7]、小波變換[8]、剪切波變換[9]或冗余字典[10]等)域的先驗信息對復原精度的影響。特別地,基于全變分(Total Variation,TV)變換的CS復原方法得到了廣泛關注,表達式如下:

min‖u‖l,s.t.b=Au

(5)

盡管TV法允許圖像存在邊緣、紋理、結構等重要的不連續(xù)特征,可以取得較好的復原效果,但是TV函數(shù)的分片常數(shù)效應導致其具有非線性及不可導性,進而使得公式(5)的求解變得非常困難。目前國內(nèi)外對該問題的主流求解方法包括:梯度下降法[11]、乘法算子交替迭代方向法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)[12]、迭代收縮閾值法[13]、兩步迭代收縮閾值法[14]、快速迭代收縮閾值法[15]、增廣拉格朗日法[16]、NESTA法[17]等。此外,由于僅考慮圖像的平滑先驗信息,該類方法常有圖像細節(jié)和紋理的過平滑現(xiàn)象出現(xiàn),采樣率較低時,也會有階梯狀偽影污染。為了克服這些問題,學者們陸續(xù)提出了基于TV的改進算法，如強化了圖像梯度域稀疏度及方向連續(xù)性的TVL1法[18]，以及將幀內(nèi)預測引入復原過程產(chǎn)生稀疏殘差梯度域的基于圖像塊的CS復原法等[19]。近年,通過塊匹配實現(xiàn)細節(jié)和紋理很好保留的基于非局部相似模型的方法也取得了不錯的效果[20]。通過建立圖像的局部幾何結構,林等提出了幾何結構導引的協(xié)同壓縮感知圖像復原法,該方法有效利用了自然圖像的自相似性。此外,許多近期的研究結果表明,通過將某些變換域(如高斯混合GMM模型[21]、樹形結構復雜小波變換[22]、曲波變換[23])的變換系數(shù)先驗信息引入CS復原框架,也可以獲取不錯的復原效果。

由于具有多分辨率性和冗余性,基于緊框架小波的方法在稀疏逼近方面表現(xiàn)出比基于變分模型(如ROF模型等)方法更好地優(yōu)越性。此外,蔡等在文獻[24]中對緊框架和變分方法做了深入分析,指出緊框架模型可以根據(jù)解的奇異性順序自適應地為已知圖像在不同區(qū)域選出適當?shù)奈⒎炙阕印１疚尼槍V最小化方法在解決壓縮感知圖像復原問題時出現(xiàn)的紋理、細節(jié)信息丟失及階梯狀偽影污染問題,提出一種緊框架小波與全變分協(xié)同稀疏的壓縮感知圖像重構方法。

1 基本理論

1.1 緊框架小波

對于給定的Ψ={ψ1,ψ2,…,ψr}?L2(Rd),若存在仿射系統(tǒng)

X(Ψ)={ψl,n,k:1≤l≤r;n∈Z,k∈Zd}

(6)

其中,ψl,n,k表達式為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Wu={Wl,hu:(l,h)∈B},u∈Id

(16)

其中,B={(l,h):1≤l≤r,1≤h≤L}∪{(0,L)},u的小波框架系數(shù)可以通過Wl,hu=ql,h[-·]*u來計算,其中,

(17)

(18)

特別地,當W是一個緊框架系統(tǒng)的變換,根據(jù)UEP準則有:

u=WTWu

(19)

本文中,d=2,研究對象為二維圖像。采用公式(14)和(15)所示方法,對于給定的尺度函數(shù)φ(x)(如圖1(a)所示),可構造出兩個小框架函數(shù)ψ1(x)和ψ2(x)(如圖1(b)和圖1(c)所示)。

Fig.1 The diagram of tight frame function圖1 緊框架函數(shù)示意圖

1.2 增廣拉格朗日法

若有約束優(yōu)化問題

(20)

其中,x∈RN,z∈RM,?！蔙M×N,式(20)所示最小化問題的增廣拉格朗日函數(shù)定義如下:

(21)

其中,η∈RM表示拉格朗日乘數(shù),ε為正則化參數(shù)。

增廣拉格朗日算法(Augmented Lagrangian Method,ALM)的基本思想是通過尋找拉格朗日函數(shù)F(x,η)的一個鞍點來求解公式(21)所示最小化問題。最小化F(x,η)過程可以分解為,①給定η,求解x;②采用①中求得的x,更新η的值,重復上述兩個步驟,直到滿足收斂條件,便可完成求解過程。其求解過程見算法1。

算法1 ALM算法 1. 令k=0,設初值ε>0,x0和η0; 2. while 停步條件不滿足 3.xk+1∈argminxF(x,ηk); 4.ηk+1=ηk-ε(Γxk+1-z); 5. k=k+1; 6. 停步條件滿足,停止迭代,輸出結果

特別地,與傳統(tǒng)拉格朗日函數(shù)不同,增廣拉格朗日函數(shù)中包含平方懲罰項;與標準二次函數(shù)不同,增廣拉格朗日函數(shù)中包含拉格朗日乘數(shù)η。

此外,為了便于理解本文方法的求解過程,這里介紹一個引理,詳細內(nèi)容見參考文獻[28],即

(22)

式(22)所示最小化問題的解析解存在,且采用閾值法可得其閉式解為

(23)

2 本文方法

為了解決全變分最小化方法在解決壓縮感知圖像復原問題時出現(xiàn)的紋理、細節(jié)信息丟失及階梯狀偽影污染問題,本文通過設計能夠在克服TV模型的分片常數(shù)效應的同時,可以有效逼近紋理、結構及邊緣等重要信息的稀疏正則項來提高壓縮感知圖像復原質(zhì)量。由于緊支撐小波框架在稀疏逼近方面具有優(yōu)越性,提出一種緊框架小波與全變分協(xié)同稀疏的壓縮感知圖像重構方法。具體地,構造由能夠稀疏逼近紋理、結構等信息的緊支撐小波框架的L0范數(shù)和能夠有效逼近分段平滑函數(shù)的全變分的L1范數(shù)組成的非光滑的能量泛函來準確表征圖像先驗信息。本文模型如下:

(24)

可以看出,式(24)所示最小化問題所包含的聯(lián)合正則項具有非線性和不可微性,很難直接求出該問題的解。由于,增廣拉格朗日函數(shù)在最優(yōu)點處的二階導是正定的,具有嚴格的局部極小值[29],因此,本文采用增廣拉格朗日方法將如式(24)所示有約束的能量泛函優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束的混合泛函最小化問題。首先,通過引入輔助參數(shù),即

(25)

可得轉(zhuǎn)換后的拉格朗日函數(shù)如下:

(26)

(27)

(28)

其中,m為迭代次數(shù),v,γ和λ分別表示與約束u=w,Wu=ξ和Au=b相關的拉格朗日乘子。分析式(26)和式(27)所示最小化問題,由于存在不可微項,需通過交替迭代方法將問題分解為更簡單的子問題求解,由此,本文將該問題分解為如下A,B,C三個子問題,具體地,

A.求解w的子問題

給定u和ξ,經(jīng)過簡化,求解w的子問題變?yōu)?/p>

(29)

進一步地,采用閾值法,可得其閉式解:

(30)

B.求解u的子問題

借助于上一步求得的w和給定的ξ,求解u的子問題等價于求解下面最小化問題,

(31)

顯然,可以很容易求得二次函數(shù)Ξ(u)的導數(shù)

(32)

(33)

此處,Μ+表示矩陣Μ的偽逆矩陣,由于計算偽逆矩陣的代價很大,本文采用最速下降法來求解u,

(34)

其中,gu表示目標函數(shù)Ξ(u)的梯度方向,

(35)

Ι表示單位矩陣,因此通過迭代求解(28)可獲得u最優(yōu)解。

C. 子問題求解ξ

利用前面求得的u,對ξ進行更新:

(36)

ξm+1=Η(Wum+1+γm,ξm)

(37)

其中,Η為硬閾值,

綜上，本文算法的主要步驟見算法2。

算法2 本文算法1.輸入測量值b,觀測矩陣A,參數(shù)β,μ,θ和ρ; 2.賦初值u0=ATb,v0=γ0=λ0 2. while 停步條件不滿足 3. 利用公式(30)求解子問題A,更新wm;4. 利用公式(34)求解子問題B,更新um; 5. 利用公式(37)求解子問題C,更新ξm; 6 利用公式(28),更新拉格朗日乘數(shù)νm,γm,λm; 7. m=m+1; 8. 停步條件:‖um-um-1‖22‖b‖22 ≤5×10-5滿足,停止迭代 9. 輸出復原圖

3 實驗與分析

Fig.2 Original images used in the experiments.圖2 本文實驗采用的原始圖像

為了驗證本文算法的可行性和有效性,本文分別采用以“Barbara”,“House”,“Montage”和“Cameraman”命名的大小均為300×300的原始圖像(如圖2所示)進行壓縮感知圖像重構實驗。計算機硬件配置為:Intel(R) Core(TM) i5-6500 CPU @ 3.20GHz,Windows7 32位操作系統(tǒng);軟件環(huán)境為:MATLAB R2014a。復原圖像質(zhì)量量化評價指標為峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)和視覺信息保真度(Visual Information Fidelity,VIF)[30-32]，PSNR定義如下：

(38)

(39)

(40)

(41)

其中,式(39)表示基于緊框架模型的壓縮感知重構(簡記為TF-CS),式(40)為文獻[34]中提出的基于TV模型的壓縮感知重構方法(簡記為TVAL3)。公式(41)為文獻[35]提出的基于聯(lián)合稀疏約束的壓縮感知重構算法(簡記為TVNLR)。本文實驗中,參數(shù)設置為:β=0.038,θ=0.037,ρ=0.014,λ=17.5。通過對原始圖像進行高斯隨機投影獲取CS測量數(shù)據(jù),具體地,通過調(diào)用Matlab庫函數(shù)randn()可生成式(19)中的系統(tǒng)矩陣A:

randn(Μcs,Νcs),ratio=Μcs/Νcs

(42)

當采樣率分別為25%,35%,45%時,分別采用TF-CS、TVAL3、TVNLR以及本文方法獲得的壓縮感知Barbara、House、Montage和Cameraman重構圖像分別如圖3-圖6所示。

Fig.3 Obtained recovered Barbara images from different measurements(or ratios)圖3 采樣率不同時,獲得的不同Barbara重構圖像

Fig.4 Obtained recovered House images with measurements(or ratios)圖4 采樣率不同時,獲得的不同House重構圖像

Fig.5 Obtained recovered Montage images with measurements(or ratios)圖5 采樣率不同時,獲得的不同Montage重構圖像

Fig.6 Obtained recovered Cameraman images with measurements(or ratios)圖6 采樣率不同時,獲得的不同Cameraman重構圖像

觀察圖3-圖6可以看出,總體而言,四種壓縮感知重構算法的結果圖質(zhì)量均隨著采樣率的增大而提高,說明測量數(shù)據(jù)的不完備程度直接影響重構效率,如何能夠在數(shù)據(jù)量較小的情況下復原出質(zhì)量更高的圖像是本文需要解決的核心問題。當采樣率相同時,本文算法的重構圖在紋理、結構及邊緣等重要信息保留方面表現(xiàn)更好。

具體地,如圖3所示,圖中女人頭巾部分紋理信息豐富,TVAL3和TVNLR重構圖中均有塊狀偽影出現(xiàn)且頭巾中的部分紋理信息丟失和被破壞,復原效果不是最佳。TF-CS方法結果圖在結構和細節(jié)信息保留上表現(xiàn)相對較好,但是該復原圖平坦區(qū)質(zhì)量較差。本文方法重構圖像質(zhì)量最高,例如頭巾和褲子上的紋理、女人的眼睛和鼻梁以及女人手部信息都被很好地復原出來。如圖4中紅色箭頭所示,本文方法重構圖像更好地保留和復原了白色墻壁和磚塊等房子的重要信息,即使采樣率較低(25%)時,重構圖像的質(zhì)量也比較可觀。TVAL3和TVNLR重構圖中有塊狀偽影出現(xiàn),由于非局部先驗信息的引入,一定程度上抑制了由TV模型的分片常數(shù)性引發(fā)的塊狀偽影污染現(xiàn)象,與TVAL3結果圖相比,TVNLR結果圖質(zhì)量更好。類似地,如圖5紅色圓圈部分和圖6虛線圓圈部分所示,本文方法結果圖都能很好地重構出原始圖像豐富的細節(jié)、結構及紋理等信息,如圖3中帽檐、眼睛、鼻梁及肩膀信息,圖6中相機、頭發(fā)等信息,顯然地,可以看出本文方法重構圖像很好地抑制基于TV模型及其改進形式的壓縮感知重構圖像的塊狀或階梯狀偽影污染問題。

為了進一步驗證本文方法的優(yōu)越性,本文采用圖像質(zhì)量量化評價指標PSNR和VIF對四種壓縮感知重構算法在不同情況下的結果圖進行比較分析。其中,PSNR是峰值信噪比,主要衡量重構結果圖的失真程度和噪聲水平,PSNR值越大,重構圖像劣化程度越小質(zhì)量越好,反之,PSNR值越小,重構圖像劣化程度越大質(zhì)量越差。此外,VIF是測量重構圖像與原始圖像間視覺感知一致性的測度,主要從圖像的結構信息保真程度這個角度來分析圖像的特征,VIF值越大,重構圖像與原始圖像的視覺感知一致性越好,反之,VIF值越小,重構圖像與原始圖像的視覺感知一致性越差。

表1和表2分別給出了,當采樣率分別為20%,30%,40%和50%時,分別采用TF-CS、TVAL3、TVNLR以及本文方法獲得的壓縮感知Barbara和House重構圖像的PSNR值表現(xiàn)情況?？梢园l(fā)現(xiàn),對于同一種算法,重構圖像的質(zhì)量隨著采樣率的增大而提高,即隨著采樣率增大,重構圖像的PSNR值越來越大。通過比較不同算法,本文方法的綜合表現(xiàn)都是最好的,即當采樣率相同時,本文方法所獲重構圖像的PSNR值最大。進一步地,從量化角度說明,本文方法重構結果圖失真和劣化程度較小,更好地復原了原始圖像。

表1 不同算法Barbara復原圖PSNR比較(單位:dB)

表2 不同算法House復原圖PSNR比較(單位:dB)

表3和表4分別給出了當采樣率分別為20%,30%,40%和50%時,采用TF-CS、TVAL3、TVNLR以及本文方法獲得的壓縮感知Barbara和House重構圖像的VIF值表現(xiàn)情況。可以看出,對于同一種算法,重構圖像的質(zhì)量隨著采樣率的增大而提高,即隨著采樣率增大,重構圖像的視覺信息保真度VIF值越來越大。通過比較不同算法發(fā)現(xiàn),當采樣率相同時,本文方法所獲重構圖像的VIF值最大。進一步地,從量化角度說明,本文方法重構結果圖構圖像與原始圖像的視覺感知一致性越好,對原始圖像的復原效果更加優(yōu)異。

表3 不同算法Barbara復原圖VIF比較

表4 不同算法House復原圖VIF比較

4 結論

本文通過設計能夠在克服TV模型的分片常數(shù)效應的同時,可以有效逼近紋理、結構及邊緣等重要信息的稀疏正則項來解決全變分最小化方法在解決壓縮感知圖像復原問題時出現(xiàn)的紋理、細節(jié)信息丟失及階梯狀偽影污染問題。首先,構造由能夠稀疏逼近紋理、結構等信息的緊支撐小波框架的L0范數(shù)和能夠有效逼近分段平滑函數(shù)的全變分的L1范數(shù)組成的非光滑的能量泛函來準確表征圖像先驗信息;其次,通過引入輔助參數(shù),采用增廣拉格朗日方法將有約束的能量泛函優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束的混合泛函最小化問題,并分別利用閾值法和最速下降法,交替求解目標函數(shù)分解出三個子問題。最后,通過與其他壓縮感知圖像復原算法進行仿真實驗分析,不管從視覺效果還是從量化指標分析來看,本文方法不僅可以有效地重構原始圖像,而且能夠很好地保留紋理、結構、細節(jié)以及邊緣等圖像的重要信息,使得復原后的結果圖更接近原始圖像。因此,該算法的提出有助于基于壓縮感知的圖像復原技術作進一步的研究。