陳曉, 李亞安, 李余興, 蔚婧

(西北工業(yè)大學 航海學院, 陜西 西安 710072)

多目標跟蹤作為一項關(guān)鍵技術(shù)已廣泛應(yīng)用于軍事和民用領(lǐng)域[1]，比如：空中交通管制、監(jiān)視、偵察、海洋學及自動駕駛汽車等。隨著傳感器和計算機技術(shù)的發(fā)展，多目標跟蹤的應(yīng)用領(lǐng)域?qū)訌V泛。傳統(tǒng)的多目標跟蹤算法有：最近鄰算法、概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法、聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法、多假設(shè)跟蹤算法等。雖然這些算法都是基于數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)實現(xiàn)多目標的跟蹤，然而它們并不能實現(xiàn)可變數(shù)目多目標的跟蹤[2]。近年來，隨著隨機有限集理論的發(fā)展，基于貝葉斯濾波框架利用隨機有限集對多目標系統(tǒng)進行建模，基于矩近似的概率假設(shè)密度濾波(PHD,probability hypothesis density)[3]算法和帶勢的概率假設(shè)密度濾波(CPHD,cardinalized probability hypothesis density)[4]算法被提出。該算法不僅解決了多目標跟蹤中存在的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題，而且實現(xiàn)了對可變數(shù)目目標的跟蹤。

在目標跟蹤方面，雖然PHD算法是在單個目標運動的狀態(tài)空間中進行，從而避免了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)，但是遞推PHD的多目標跟蹤算法沒有閉合解。B N Vo在深入研究的基礎(chǔ)上提出了GM-PHD(Gaussian mixture probability hypothesis density)[5]濾波算法和SMC-PHD(sequential Monte Carlo probability hypothesis density)[6]濾波算法，并且應(yīng)用于實際問題，如：雙基地雷達跟蹤[7]、聲吶跟蹤[8]等。由于PHD濾波算法在缺失真實目標觀測的情況下，對目標數(shù)目的估計十分敏感，Mahler提出了GM-CPHD(Gaussian mixture cardinalized probability hypothesis density)[9]濾波算法，該算法在傳遞PHD的同時還傳遞目標數(shù)目的概率密度，可以更好地實現(xiàn)隨機有限集的勢估計。為了減少該算法的計算量，文獻[10]通過跟蹤門策略可以有效地減少計算量而不影響多目標跟蹤性能。然而對于水下聲吶系統(tǒng)的水下多目標跟蹤，雖然文獻[11]將SMC-PHD濾波算法用于實際聲吶目標跟蹤，但是并未對檢測概率進行分析。文獻[12]對變檢測概率條件下的GM-PHD濾波性能進行了分析，但其對檢測概率的建模缺少聲吶方程和水聲理論的依據(jù)，跟蹤性能有待進一步提高。

為了實現(xiàn)聲吶系統(tǒng)對水下多目標的跟蹤，結(jié)合跟蹤門策略，提出一種適用于水下聲吶系統(tǒng)的自適應(yīng)檢測概率GM-CPHD濾波算法。該算法比傳統(tǒng)GM-CPHD濾波算法增加了橢圓跟蹤門以減少計算量，同時提高了水下多目標跟蹤的性能。結(jié)合橢圓門策略，本文對GM-CPHD，自適應(yīng)檢測概率GM-CPHD濾波算法的跟蹤性能進行仿真分析，結(jié)果表明，自適應(yīng)檢測概率GM-CPHD濾波算法不僅提高了目標個數(shù)估計的精確性，同時可以有效地提高多目標跟蹤性能。

1 隨機集多目標跟蹤基礎(chǔ)

多目標跟蹤目的就是估計當前時刻多個目標的狀態(tài)以及總的目標個數(shù)，如果用隨機有限集中的元素表示目標狀態(tài)，元素的個數(shù)表示目標個數(shù)，則可以用一個隨機有限集表示多目標狀態(tài)集合，同時傳感器的量測集也可以用隨機有限集表示，集合元素表示量測值，集合元素數(shù)表示觀測目標數(shù)，這樣將多目標問題轉(zhuǎn)化為隨機集有限集問題。因此，多目標的狀態(tài)集合量測集分別以隨機有限集表示如下。

(1)

式中，ES表示目標狀態(tài)空間,Xk表示k時刻狀態(tài)隨機有限集,nk表示k時刻目標個數(shù);Eo表示傳感器量測空間,Zk表示k時刻傳感器量測隨機有限集,mk表示k時刻傳感器的量測數(shù)。

給定k-1時刻的多目標狀態(tài)集為Xk-1,綜合考慮目標的不同運動情況,則k時刻的目標狀態(tài)隨機集模型可以表示為:

Ξk=Sk|k-1(Xk-1)∪Γk

(2)

式中，Sk|k-1(Xk-1)表示從k-1時刻到k時刻存活的目標隨機集,Γk表示新生目標隨機集。

假設(shè)多目標的狀態(tài)集為Xk,考慮到傳感器量測信息的來源,則傳感器量測可以表示為:

Σk=Kk∪Ek(Xk)

(3)

式中，Ek(Xk)表示由Xk產(chǎn)生的量測隨機集,Kk表示雜波(虛假量測)的隨機集。

隨機有限集在多目標跟蹤的應(yīng)用是基于單目標貝葉斯的推廣,故其濾波形式可表示如下。

fk|k-1(Xk|Z1:k-1)=

fk|k(Xk|Z1:k)=

(4)

式中，fk|k-1(Xk|Xk-1)和gk|k(Zk|Xk)分別表示多目標狀態(tài)隨機有限集的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和量測有限集的似然函數(shù)。概率密度函數(shù)fk|k-1(Xk|Z1:k-1)和fk|k(Xk|Z1:k)分別表示多目標隨機有限集的預測概率密度和后驗概率密度。上式給出了多目標貝葉斯濾波的一般形式,但是集積分通常難以求解,因而實際應(yīng)用中通常利用各種次優(yōu)算法逼近多目標貝葉斯濾波,比如:GM-PHD,SMC-PHD及其改進算法。

2 GM-CPHD濾波算法

Mahler提出的CPHD濾波算法解決了PHD濾波算法的局限性,不同于PHD濾波算法,該算法同時傳遞多目標狀態(tài)有限集的后驗強度和集合勢的后驗分布信息,因此,利用CPHD濾波算法能夠獲得更加精確地估計目標個數(shù)。該算法基于以下假設(shè):

1) 每個目標的運動演化和量測的生成相互獨立;

2) 新生目標隨機有限集和存活目標隨機有限集相互獨立;

3) 雜波隨機有限集是獨立泊松過程且與量測隨機有限集相互獨立;

4) 預測和后驗多目標隨機有限集均為獨立泊松過程。

(5)

單傳感器的CPHD濾波[4]遞推公式可描述如下,假設(shè)k-1時刻狀態(tài)后驗強度為vk-1,后驗勢分布為ρk-1,那么預測過程如(6)、(7)式所示。

式中

pS,k(ζ)表示目標時刻的存活概率,fk|k-1(x|ζ)表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度,γk(x)為新生目標強度,ρΓ,k為新生目標勢分布。

更新過程如(8)、(9)式所示。

由于CPHD濾波算法的遞歸過程中仍存在多重積分,并不存在閉合解。在線性高斯的條件下,CPHD可以由高斯混合的形式實現(xiàn),即GM-CPHD濾波算法。該算法遵循以下假設(shè)條件:

1) 新生目標的強度是高斯混合形式,即:

(12)

2) 每個目標的遵守線性高斯動力學模型,即:

fk|k-1(x|ζ)=N(x:Fk-1ζ,Qk-1)

gk(z|x)=N(z:Hkx,Rk)

(13)

3) 存活概率和檢測概率相互獨立,即:

PS,k(x)=PS,k

Pd,k(x)=Pd,k

(14)

GM-CPHD濾波算法的遞推過程如下描述:

(1) 預測

假設(shè)k-1時刻的先驗強度vk-1(x)和勢分布ρk-1(x)已知,且vk-1(x)服從高斯混合分布,則預測的強度和勢分布分別如(15)、(16)式所示。

vk|k-1(x)=vS,k|k-1(x)+γk(x)

(15)

(16)

式中，γk(x),vS,k|k-1(x)如(17)式所示。

(17)

(2) 更新

式中

3 自適應(yīng)檢測概率GM-CPHD濾波算法

3.1 跟蹤門策略

在傳統(tǒng)多目標跟蹤中,利用跟蹤門來得到有效量測,將其應(yīng)用于GM-CPHD同樣可以降低量測有限集的勢,從而減少該算法的計算量,橢圓跟蹤門的定義如下式所示。

(22)

(23)

3.2 自適應(yīng)檢測概率

水下目標跟蹤的實現(xiàn)受檢測概率的影響,精確的檢測概率可以保障目標跟蹤的有效性及精確性。以水聲理論為基礎(chǔ),利用聲吶方程對檢測概率隨跟蹤距離變化進行建模,得到自適應(yīng)檢測概率,以此為基礎(chǔ)分析檢測概率對GM-CPHD濾波算法的影響。

水下目標跟蹤系統(tǒng)的設(shè)計離不開聲吶方程,根據(jù)工作方式的不同,聲吶可分為主動聲吶和被動聲吶,其中以噪聲為主要背景干擾的主動聲吶方程[13]如(24)式所示。

SL-2TL+TS-(NL-DI)=DT

(24)

式中，SL為發(fā)射聲源級,TL為傳播損失,TS為目標強度,NL為環(huán)境噪聲級,DI為指向性指數(shù),DT為檢測閾。由于傳播損失可以表示為距離的函數(shù),間接地,信噪比和檢測閾也可以表示為距離的函數(shù)。根據(jù)聲吶檢測理論,信噪比與檢測概率以及虛警概率3者之間的關(guān)系通過接收機工作特性(ROC)曲線完整表示。所以,檢測概率與距離之間的關(guān)系可以通過聲吶方程和ROC曲線建模得到。根據(jù)信號檢測理論[14],其推導過程如下。

對于已知信號的檢測,假設(shè)檢測判決模型如(25)式所示

H1:x(t)=s(t)+n(t)

H0:x(t)=n(t)

(25)

式中，s(t)為已知信號,n(t)均值為0的高斯白噪聲,以Δt為采樣間隔得到離散時間序列。

二元假設(shè)檢測的似然比如(26)式所示。

(26)

將上式簡化可得:

(27)

(28)

(29)

至此得到虛警概率和檢測概率分別為:

(30)

由(30)式可得:

(31)

假設(shè)采用主動檢測方式,距離較遠時波陣面為柱面波,因此傳播損失TL=10lg(r),根據(jù)(24)式有:RSN=SL-2TL-NL+TS+DI,結(jié)合(31)式,得檢測概率、虛警和距離之間的關(guān)系式為。

(32)

由于虛警的不確定性無法得到檢測概率與距離的解析關(guān)系,此處選擇奈曼皮爾遜準則作為判決標準,即:虛警概率一定的條件下使得檢測概率達到最大。假設(shè):聲源級SL=120 dB,5級海況下NL=55 dB,目標強度為艇艏艉方向的強度TS=10 dB,暫不考慮指向性指數(shù)DI=0,給定不同虛警概率的情況下,由(32)式求解得到的關(guān)于檢測概率和距離的關(guān)系如圖1所示。

圖1 檢測概率隨距離的變化示意圖

從圖1可以看出,當距離一定的時候,虛警概率越大檢測概率越大;檢測概率一定的時候,距離越遠虛警概率越大。無論虛警概率值如何選擇,檢測概率隨距離的增加成遞減趨勢,而虛警概率越小,檢測概率衰減越快。

3.2 自適應(yīng)檢測概率GM-CPHD濾波算法

通過對檢測概率的建模分析可知:隨著目標跟蹤距離的變化,虛警和檢測概率出現(xiàn)此消彼長的變化趨勢,而在CPHD濾波更新方程中,檢測概率直接影響到已檢和漏檢兩部分高斯分量大小,因此,結(jié)合水聲環(huán)境,此處假設(shè)虛假概率Pf=0.001,利用檢測概率(32)式替換GM-CPHD濾波算法公式(18)、(19)中的檢測概率,結(jié)合橢圓跟蹤門策略,從而可以提高濾波器的估計精度。

4 仿真結(jié)果分析

圖2 目標運行軌跡圖

在不同雜波環(huán)境下,當檢測概率分別為0.7,0.8,0.9和自適應(yīng)檢測概率時的GM-CPHD濾波算法分別進行50次蒙特卡羅仿真。

如圖3～圖5所示,在不同雜波密度環(huán)境下,針對不同固定檢測概率和自適應(yīng)檢測概率的GM-CPHD濾波算法對目標數(shù)目的估計進行比較,隨著雜波密度的增大,固定檢測概率的GM-CPHD濾波算法在80 s之后目標數(shù)統(tǒng)計值明顯偏離真實,隨著時間的偏移,且存在檢測概率越高,目標勢的估計誤差越大的局勢。這是因為實際環(huán)境中,隨著目標的遠離,檢測概率逐漸減小,漏檢的目標數(shù)目越來越多,然而GM-CPHD算法具有固定檢測概率,導致“不可信”量測用來更新目標數(shù)目而導致估計精度越來越差。對于自適應(yīng)檢測概率GM-CPHD濾波算法,由于目標離原點距離超過2 km之后,其檢測概率降至0.4之下,但仍具有一定的跟蹤效果,而對目標勢的估計出現(xiàn)較多的誤差?？傮w而言,自適應(yīng)檢測概率GM-CPHD濾波算法對目標勢的估計更準確。

圖3 雜波強度λ=5時對目標數(shù)目統(tǒng)計比較

圖4 雜波強度λ=10時對目標數(shù)目統(tǒng)計比較

圖5 雜波強度λ=20時對目標數(shù)目統(tǒng)計比較

時間平均OSPA距離GM-CPHDPd=0.7Pd=0.8Pd=0.9自適應(yīng)檢測概率GM-CPHDλ=545.1352.6467.2835.31 λ=1049.4353.6364.631.57 λ=2054.0957.4762.8732

如表1所示：通過OPSA距離[15]對多目標跟蹤性能進行衡量。隨著雜波強度的增大，當固定檢測概率時，GM-CPHD濾波算法其時間平均OSPA距離有增大趨勢，因短距離情況下，高檢測概率更接近真實檢測概率對多目標跟蹤精度高，而當距離增大時，其同樣存在高檢測概率導致"不可信"量測被用來估計目標狀態(tài)，對于目標勢估計的錯誤最終使得目標跟蹤性能下降，故時間平均OPSA距離總體較大。而對于自適應(yīng)檢測概率GM-CPHD濾波算法，由于該算法中檢測概率的誤差小，不僅提高對目標勢的估計，同時可以更精確地實現(xiàn)多目標跟蹤?？傮w而言，該算法比固定檢測概率GM-CPHD具有更好的跟蹤性能。

5 結(jié) 論

針對水下目標跟蹤的應(yīng)用，本文在橢圓跟蹤門策略的基礎(chǔ)上，結(jié)合聲吶方程，利用信號檢測理論對檢測概率、虛警概率和距離進行建模，選擇奈曼皮爾遜準則作為判決標準，得到當虛警概率一定的條件下，自適應(yīng)檢測概率與距離之間關(guān)系的解析式，并將其應(yīng)用于GM-CPHD濾波算法，提出了自適應(yīng)檢測概率GM-CPHD濾波算法。對不同固定檢測概率GM-CPHD濾波算法和自適應(yīng)檢測概率GM-CPHD濾波算法進行仿真，結(jié)果表明：隨著雜波強度的增大，在目標勢的估計方面該算法優(yōu)于固定檢測概率GM-CPHD濾波算法，同時該算法也提高了多目標跟蹤性能。