陳振中 賈宇航 李海峰 張弛 王航超

摘要：飛機(jī)輔助動力裝置（APU）是現(xiàn)代客機(jī)上的一種小型渦輪軸發(fā)動機(jī)。本文對大量采集到的APU使用壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過建立相應(yīng)的可靠性壽命模型，利用MINITAB軟件對APU的壽命及可靠性進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：APU;壽命; MINITAB; 可靠性

0引言

APU是飛機(jī)上獨立于航空發(fā)動機(jī)的動力裝置，主要作用是為飛機(jī)提供電力、壓縮空氣并且保障飛機(jī)在地面時的正常工作^[1]。飛行安全是航空企業(yè)首要任務(wù)，在此基礎(chǔ)上，確定科學(xué)合理的維修周期、減少航材庫存、提高經(jīng)濟(jì)效益是航空公司探討的一個問題。MINTAB軟件是現(xiàn)代質(zhì)量管理統(tǒng)計領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用的軟件之一，是六西格瑪管理中必需的統(tǒng)計分析軟件^[3]。本文使用MrNTAB軟件中的可靠性性存模塊對某型客機(jī)APU的實際使用壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，在滿足顯著性水平的條件下選擇最優(yōu)的壽命分布模型，并在此基礎(chǔ)上分析了APU的可靠性。研究結(jié)果可以對APU的壽命預(yù)測以及檢測周期的確定提供有益的參考。

1利用MINTAB對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合

1.1最小二乘法

常用的數(shù)據(jù)擬合方法主要有最小二乘法和極大似然估計法，本文采用最小二乘法對APU壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。最小二乘法的基本原理是將回歸線擬合到數(shù)據(jù)集中的點來計算，而這些點的值與實際觀測值之間的偏差平方最小。最小二乘法提供了一種對分布參數(shù)高效且無偏的估計法。此方法常用于一元線性、多元線性和非線性回歸^[4]。

如果數(shù)據(jù)分布是非線性的，就需要將分布函數(shù)進(jìn)行二次取對數(shù)，然后進(jìn)行變量替換，使參數(shù)線性化，從而運用最小二乘法估計參數(shù)^[5-6]。以威布爾分布為例：對等式兩邊取兩次對數(shù)可得到

Inln[1-F（x）]=βlnη-βlnx （2）

則令：

X=In x

（4）

A= -βlnη

（5）

B=β

（6）

那么式（2）可以以線性方程給出，即

Y=A+BX

（7）

此時采用最小二乘法對該線性方程的未知參數(shù)進(jìn)行求解，則有：

1.2數(shù)據(jù)擬合

本文采用南航沈陽維修基地2016年APU維修數(shù)據(jù)共100組。表1為2016年南航維修基地APU維修數(shù)據(jù)。A、B兩組數(shù)據(jù)是隨機(jī)抽取的2016年各50組APU的使用時間。從中隨機(jī)選取A組50組數(shù)據(jù)對APU壽命數(shù)據(jù)利用最小二乘法進(jìn)行擬合。

在MINITAB中輸入APU壽命數(shù)據(jù)，并利用最小二乘法對APU壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并得到威布爾分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布四種分布的分布概率圖以及對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)。四種分布模型的擬合優(yōu)度統(tǒng)計如表2所示。

Anderson-Darling統(tǒng)計量（即A-D值）是Anderson和Darling對K-S擬合優(yōu)度檢驗的一種修正。A-D檢驗較K-S檢驗加重對尾部數(shù)據(jù)的考量^[7]。A-D值越小，表明分布模型與數(shù)據(jù)擬合度越高。

通過觀察四種分布的相關(guān)系數(shù)，威布爾分布的相關(guān)系數(shù)為0.996最接近1，并且從表1可知威布爾分布的相關(guān)系數(shù)值最大。因此我們選擇威布爾分布模型作為描述APU壽命可靠性的數(shù)學(xué)模型。

通過MINTAB軟件的計算擬合的到APU壽命威布爾分布模型的各項參數(shù)：β=3.62005，η=6868.87。

2擬合優(yōu)度檢驗

分布的檢驗是通過實驗或者生產(chǎn)過程中產(chǎn)生統(tǒng)計數(shù)據(jù)，利用檢驗計算方法推斷產(chǎn)品的壽命是否服從初步分析所選定的分布模型，判斷的依據(jù)就是擬合優(yōu)度檢驗^[7]。

2.1皮爾遜卡方檢驗

在可靠性數(shù)據(jù)分析中常用的擬合優(yōu)度檢驗方法主要有兩種，一種是K-S檢驗，另一種是皮爾遜卡方擬合優(yōu)度檢驗。本文采用卡方擬合優(yōu)度檢驗對已經(jīng)建立的威布爾模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗?？ǚ綑z驗的基本思想是比較樣本某一區(qū)間的實際頻數(shù)與理論頻數(shù)。

假設(shè)現(xiàn)有數(shù)據(jù)服從某一分布，那么得到理論上的總體分布函數(shù)，然后將總體數(shù)據(jù)取值范圍分為若干區(qū)間，根據(jù)分布函數(shù)即可求得落在某一區(qū)間內(nèi)的理論概率P_i。假設(shè)樣本量為n。那么理論上落入該區(qū)間的頻數(shù)為np_i。而從實際得到的樣本中可得知落入這一區(qū)間的實際樣本數(shù)量為n_i。如果該樣本服從這一分布，那么（ n_i-np_i）²應(yīng)為極小值。皮爾遜證明^[8]了在H₀成立時，當(dāng)n→∞統(tǒng)計量的極限分布是自由度為k-1的χ²分布。而在大部分實際情況中，要檢驗的母體分布F₀（x;θ）中θ=（θ₁，θ₂，L，θ_m）的是m維未知參數(shù)，即p_i是參數(shù)θ的函數(shù)。因此在這種情況下，為計算統(tǒng)計量χ²中的P_i，用θ的極大似然估計代替θ。

這時的檢驗統(tǒng)計量為

當(dāng)n→∞時，F(xiàn)isher^[9]提出在計算過程中每估計一個參數(shù)則統(tǒng)計量就丟失一自由度的原則，證明該統(tǒng)計量的極限分布是自由度為k-m-1的χ²分布。

因此，在給定顯著性水平α?xí)r，可由χ²分布分位點求出臨界值c=χ²_1-α（k-m-1）。當(dāng)χ²的觀測值大于臨界值c=χ²_1-α（k-m-1）時，拒絕原假設(shè)。

卡方檢驗適用范圍較廣，母體可以是離散型隨機(jī)變量也可以是連續(xù)型隨機(jī)變量，母體參數(shù)可以已知也可以未知，可適用于完全樣本也可適用于截尾樣本和分組數(shù)據(jù)^[10]。

2.2利用B組數(shù)據(jù)對威布爾分布模型進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度檢驗

通過利用MINITAB軟件中的參數(shù)分布分析，按之前得到的形狀參數(shù)和尺寸設(shè)置威布爾分布的參數(shù)，并將B組50組數(shù)據(jù)導(dǎo)入MINITAB中，對得到的威布爾分布模型進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度及檢驗。設(shè)置其顯著性水平為95%。

計算結(jié)果見表3。

通過查詢卡方臨界值分布表，在自由度為2、顯著性水平為95%的情況下，臨界卡方值為：

χ²_0.05（2）= 5.99147> 0.145820=χ²

并且P=0.930> 0.05

因此，經(jīng)由卡方擬合優(yōu)度及檢驗后發(fā)現(xiàn)沒有足夠的理由否定原假設(shè)，即APU壽命分布服從威布爾分布W（3.62005，6868.87）。

經(jīng)過卡方擬合優(yōu)度檢驗后，發(fā)現(xiàn)APU壽命服從參數(shù)為β=3.6205、η=6868.87的威布爾分布，由此得到APU壽命分布的累積失效分布函數(shù)：

同時，可利用MINITAB軟件得到置信度為95%的APU壽命的威布爾分布概率圖，如圖1所示。圖1中，橫軸為APU壽命，縱軸為失效百分比，經(jīng)過縱軸任意一點做水平線得到與曲線的兩個交點即為置信度為95%時該失效率的置信上下限。

通過MINITAB中的“可靠性/生存”選項得到該威布爾模型的概率密度函數(shù)圖、生存函數(shù)圖、故障函數(shù)圖和威布爾分布特征參數(shù)。

當(dāng)要求APU可靠度為R=0.95，根據(jù)式（9）可以求得可靠度為0.95時的壽命，即

計算可得，在可靠度為R= 0.95時，APU壽命為3023.8h。這意味著APU工作時間在3023.8小時內(nèi)，可靠性是比較高的，只需要維護(hù)人員進(jìn)行簡單的檢查。利用MINITAB軟件還可以求得該威布爾分布的各項分布特征，如均值、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)等等一系列參數(shù)。

3結(jié)論

本文使用MINITAB軟件對實際的APU使用壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，確定相關(guān)系數(shù)最大的威布爾分布作為壽命分析模型，并利用卡方擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗。研究結(jié)果可以對APU的壽命預(yù)測以及檢測周期的確定提供有益的參考，同時對APU的維修以及相關(guān)航材儲備提供參考，提升航空維修的效率并降低維修成本。

參考文獻(xiàn)

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