孟德泉 應(yīng)黎坪 楊欣欣

摘要：從細觀角度分析再生混凝土的力學(xué)特性，以往都是將再生混凝土視為由骨料、新砂漿、新界面、老砂漿、老界面五相介質(zhì)組成的復(fù)合材料來分析，為了簡化這種常規(guī)五相再生混凝土模型，提出了基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法。首先運用三相球理論模型將再生混凝土中的老砂漿、新界面、老界面三相介質(zhì)等效成一種介質(zhì)，得到三相介質(zhì)的再生混凝土界面等效模型；然后利用勢能原理的基面力元法編制出損傷基面力元程序，對不同尺寸的再生混凝土試塊進行單軸拉伸試驗?zāi)M。給出了應(yīng)力-應(yīng)變曲線及破壞過程圖，并與普通五相模型進行了對比，兩種曲線基本吻合。因此，等效模型可以代替普通五相模型，從而簡化多相再生混凝土的損傷分析，提高模擬效率。

關(guān)鍵詞：混凝土與鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)；再生混凝土；三相球模型；界面等效模型；基面力元法

中圖分類號：TU528文獻標(biāo)志碼：Adoi： 10.7535/hbgykj.2018yx04004

再生混凝土五相介質(zhì)細觀分析模型給數(shù)值模擬帶來了許多不便和本構(gòu)復(fù)雜性，以往提出的格構(gòu)模型[1]、隨機粒子模型[2]、MOHAMED[3]等的細觀模型、隨機骨料模型[4-7]、隨機力學(xué)特性模型等[8-9]，也大多不能脫離再生混凝土五相介質(zhì)的復(fù)雜力學(xué)性質(zhì)對數(shù)值模擬分析造成的不便。另一方面，對復(fù)合材料的等效模量的預(yù)測，很多專家也提出了很多模型，包括Voigt模型、Reuss模型、Hansen模型、Mori-Tanaka法[10-14]等。1980年，RAO[15]將三相球模型運用于預(yù)測兩相復(fù)合材料的有效模量；1996年，盧子興等[16]運用三相球模型對泡沫塑料的有效模量進行了預(yù)測；2012年，DU等[17-18]在三相球模型的基礎(chǔ)上對含孔隙混凝土復(fù)合材料有效力學(xué)性能以及考慮過渡區(qū)界面影響的混凝土宏觀力學(xué)性能進行了研究。

第4期孟德泉，等：基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析河北工業(yè)科技第35卷2003年，GAO[19]提出一個描述應(yīng)力狀態(tài)的新概念——基面力，隨后PENG等[20]提出了一種新型的有限元——基面力元法（BFEM），利用“基面力”概念和勢能原理，建立了三角形基面力元模型，并對不同尺寸的再生混凝土試件的單軸拉壓特性進行了分析；2016年，PENG等[21]在此模型基礎(chǔ)上采用分段曲線損傷模型作為損傷本構(gòu)模型，對隨機凸形骨料模型的再生混凝土進行了單軸拉壓試驗?zāi)M。

綜上所述，本文提出一種基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法，運用兩次三相球模型，將再生混凝土老砂漿、老界面、新界面三相介質(zhì)等效成一種介質(zhì)，得到此等效部分的有效模量，形成由骨料、新砂漿、等效體三相介質(zhì)組成的界面等效模型，使用基面力元法損傷分析，簡化了多相再生混凝土的損傷分析，提高了模擬效率。

1再生混凝土界面等效模型

1.1骨料與新砂漿過渡區(qū)特征

再生混凝土是一種多相復(fù)合材料，并且再生混凝土中再生骨料和砂漿之間存在著物理力學(xué)性能截然不同的過渡區(qū)層面[22-24]。SIMEONOV等[25]、LEE等[26]都對混凝土過渡區(qū)層面進行了研究，可見再生混凝土的界面過渡區(qū)特別重要。本文先采用Monte-Carlo法對骨料顆粒進行隨機投放，形成五相再生混凝土隨機骨料模型（見圖1），為后面過渡區(qū)等效處理作準(zhǔn)備。

1.2界面等效化步驟

本文對老界面、老砂漿、新界面三相介質(zhì)的等效采用兩步等效：第1步等效，老界面和老砂漿的等效生成等效體A；第2步等效，等效體A和新界面的等效生成等效體B。圖2為等效化過程。

將老界面和新界面看成含有不同孔隙率的老砂漿，而二者中間的老砂漿看成無孔隙。三相球模型見圖3。在第1步等效的時候?qū)⒌刃wA里的孔隙作為夾雜相，體積模量、剪切模量都為0，基體相為等效體A里的老砂漿；在第2步等效的時候?qū)⒌刃wB里的孔隙作為夾雜相，相應(yīng)的體積模量、剪切模量都為0，基體相為等效體B里的老砂漿。

1.3第1步等效

首先對再生混凝土隨機五相模型進行網(wǎng)格劃分，計算確定各網(wǎng)格單元中骨料、老界面、老砂漿、新界面、新砂漿的體積分數(shù)分別為Ca，Coit，Cm，Citz，Cmo（下同）。顯然：

Ca+Coit+Cm+Citz+Cmo=1。 （1）

設(shè)定老界面的孔隙率為coit，老界面和老砂漿兩部分（等效體A）的孔隙率c*A為

c*A=coit=CoitCoit+Cm。（2）

根據(jù)文獻＼[15＼]三相球模型推導(dǎo)，可知含孔復(fù)合材料的等效體A等效體積模量K*A為

K*A=4Kmμm（1-c*A）（4μm+3Kmc*A）， （3）

式中：Km，μm分別代表老砂漿的體積模量和剪切模量。

根據(jù)文獻＼[10＼]，本文模型的泊松比變化較小，等效泊松比可采用橫向串聯(lián)模型來預(yù)測，即等效體A的泊松比為ν*A：

ν*A=νoitCoitCm+Coit+νmCmCm+Coit。（4）

當(dāng)研究對象為各向同性材料時，其獨立的彈性常數(shù)只有2個，所以只要先確定了等效體A的等效體積模量和等效泊松比，就可以確定它的等效彈性模量E*A：

E*A=12Kmμm（1-c*A）（1-2ν*A）（4μm+3Kmc*A）。（5）

根據(jù)文獻＼[12＼]，采用Hansen模型，含孔復(fù)合材料中等效體A的等效強度f*A與等效峰值應(yīng)變ε*A為

f*A=fm（1-1.22（c*A）2/3），（6）

ε*A=fm（1-1.22（c*A）2/3）E*A。（7）

1.4第2步等效

第2步等效為等效體A與新界面的等效，設(shè)新界面的孔隙率citz，同第1步等效，那么孔隙占據(jù)新界面和等效體兩部分的等效體B的孔隙率c*B為

c*B=c*ACoit+CmCoit+Cm+Citz。（8）

將得到的等效體B的孔隙率c*B和等效體A的等效體積模量K*A、等效彈性模量E*A、等效強度f*A以及等效峰值應(yīng)變ε*A對應(yīng)地代入式（3）、式（5）—式（7），得到了等效體B的等效體積模量K*B、等效彈性模量E*B、等效強度f*B以及等效峰值應(yīng)變ε*B。同樣的，等效體B的泊松比為

ν*B=ν*ACm+CoitCm+Coit+Citz+νitzCitzCm+Coit+Citz 。 （9）

五相隨機模型等效為三相的界面等效模型效果圖如圖4所示。

本文沒有采用老界面、老砂漿和新界面一步等效為一相介質(zhì)，采用的是兩步等效方法，即先將老界面和老砂漿等效為一相介質(zhì)，然后再將生成的等效介質(zhì)與新界面等效為一相介質(zhì)。雖然兩種方法求得的孔隙率（老界面與新界面中的孔隙占老界面、老砂漿和新界面的體積比）是一樣的，但是根據(jù)式（3）—式（5）和式（6）、式（9）分兩步等效得到的等效剪切模量、等效彈性模量、等效強度、等效泊松比都會更為準(zhǔn)確。

2基面力元法模型

基面力元法控制方程指依據(jù)勢能原理的基面力元法，使用位移梯度作為基力的共軛變量來建立新的有限元方法的控制方程。PENG等[20-21]基于“基面力的概念”推導(dǎo)出一個三角形基面力元剛度矩陣的顯式表達式。圖5為一個考慮邊界的三角形基面力元，用I，J，K表示各頂點，uI，uJ，uK表示各頂點的位移。

基面力單元的剛度矩陣可以表示為

KIJ=E2A（1+ν）×

2ν1-2νmImJ+mIJU+mJmI，

I，J=1，2，3，（10）

式中：E為彈性模量；ν為泊松比；A為單元面積；U為單位張量，U=PαPα=PαPα；mIJ=mI·mJ。其中Pα是基本向量；Pα是Pα的共軛向量；mI表示為

mI=mIαPα=12（LIJnIJ+LIKnIK），（11）

式中：LIJ 和LIK分別是單元中IJ和IK的邊長；nIJ和nIK分別是單元中IJ和IK的外部法線。

對于平面問題，式（10）可以用E來代替E1-ν2，用ν代替ν1-ν。

3再生混凝土單軸拉伸試驗?zāi)M

3.1損傷本構(gòu)模型

本文針對再生混凝土材料損傷特性，采用較為常用的雙折線損傷本構(gòu)模型，但是為了更好地適合再生混凝土破壞機理，又對雙折線損傷本構(gòu)模型的極限階段進行了調(diào)整，認為在此極限階段應(yīng)力會從殘余應(yīng)力下降至零。雙折線損傷模型如圖6所示。

ε0是單元應(yīng)力達到抗拉強度時的主拉應(yīng)變，εr是殘余應(yīng)變，εu是極限拉應(yīng)變，ft是抗拉強度，ftr是抗拉殘余強度。

3.2加載模型

本文基于再生混凝土等效界面模型，模擬再生混凝土的單軸拉伸試驗?zāi)Ｐ停妶D7 a）。通過對試驗?zāi)Ｐ偷谋举|(zhì)簡化，認為本文單軸拉伸試驗?zāi)Ｐ偷牧⒎襟w試件底邊所有結(jié)點的豎向位移均被約束，而中間結(jié)點的水平位移及豎向位移都被約束住，簡化后的加載模型見圖7 b）。

3.3材料參數(shù)

試驗所用再生混凝土由五相介質(zhì)組成，其粒徑、顆粒數(shù)滿足富勒級配曲線，砂漿層厚度選用較常采用的42%，選取與文獻＼[23—24＼]相同的材料參數(shù)進行試驗?zāi)M，各相介質(zhì)的參數(shù)見表1?；诮缑娴刃Ｐ?，對100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm的3組試件進行單軸抗拉試驗?zāi)M。先根據(jù)文獻＼[12＼]里含孔復(fù)合材料的有效強度、抗拉強度和孔隙率的關(guān)系（即式（6））反推算出老界面、新界面里老砂漿的孔隙率分別為6.63%和663%，再結(jié)合表1中老界面、老砂漿、新界面的彈性模量、泊松比、抗拉強度相應(yīng)代入式（4）—式（6）和式（9），最后生成等效后的三相再生混凝土的材料參數(shù)（見表2）。

考慮尺寸效應(yīng)帶來的影響，選擇100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm的3組試件為代表，采用界面等效模型，基于基面力元法進行單軸拉伸試驗?zāi)M，運用Fortran編程語言軟件中QuickWin圖形顯示模塊得到破壞過程圖，如圖8所示。圖中每個試件初始圖像都為無損單元，對應(yīng)的深灰色填充單元為損傷單元，最后的黑色部分為破壞單元。

從圖8中可以看出，裂縫從再生混凝土等效模型的等效界面處開始產(chǎn)生，即裂縫從各相介質(zhì)中低強度介質(zhì)開始破壞，然后裂紋沿著周圍骨料的等效界面蔓延破壞，最后橫向貫穿。由此說明試驗?zāi)M效果較好，符合混凝土試驗拉伸破壞規(guī)律。

運用自己編制的基于再生混凝土界面等效模型的基面力元損傷分析的Fortran語言程序，對100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm等3種尺寸等效界面模型再生混凝土試件進行平面應(yīng)力分析，得到了每個試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，如圖9所示。

從100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm等3種尺寸等效界面模型再生混凝土試件的破壞曲線與普通五相隨機骨料模型再生混凝土試件的應(yīng)力-應(yīng)變破壞曲線的對比圖（圖9）中可知：由基于界面等效模型的再生混凝土基面力元法細觀損傷分析程序計算的100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm等3種試件的界面等效模型的抗拉強度分別為2.68，259和2.43 MPa；普通五相隨機骨料模型的抗拉強度分別為2.73，264和2.48 MPa；綜合文獻＼[27—28＼]可知，再生混凝土試驗抗拉強度均在2.0～3.0 MPa之間，這是由于再生粗骨料的來源以及損傷本構(gòu)選取的不同而導(dǎo)致結(jié)果離散。在符合試驗允許范圍的基礎(chǔ)上可以看出，與普通五相隨機骨料模型的抗拉強度相比，等效模型的抗拉強度誤差不大，只是在極限應(yīng)變上較小一些，綜合看來，基本吻合。

4結(jié)論

本文從研究再生混凝土的細觀角度出發(fā)，提出了一種新的細觀再生混凝土數(shù)值模擬分析新方法——基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法，利用此模型對3種代表性尺寸再生混凝土試件進行了單軸拉伸試驗數(shù)值模擬，并與隨機骨料模型進行了對比，得出的結(jié)果在符合試驗允許范圍的基礎(chǔ)上，得到以下結(jié)論。

1）基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法，由于再生混凝土分析介質(zhì)相數(shù)的減少，使得分析模型得以簡化，降低了損傷分析的復(fù)雜程度。

2）采用基于勢能原理的基面力元法分析，剛度矩陣為顯式表達式，無需數(shù)值積分，提高了數(shù)值模擬的計算效率和精確度。

3）通過數(shù)值模擬結(jié)果對比，說明了新的再生混凝土界面等效模型可以替代普通五相模型。

本文模擬的再生骨料是球形，對應(yīng)的是卵石混凝土破碎，但在實際工程中大多建筑破碎為凸形，再生骨料即為凸形骨料，以后可以就再生凸骨料模型進行研究模擬。此外，本文建立的模型都是二維平面，對再生混凝土進行數(shù)值模擬的結(jié)果良好，但不能反映真實三維試件的損傷情況，由于實際工程中的試件及骨料均為三維，在以后的研究中可建立三維界面的等效模型。

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