楊文舉 鄒峰

摘 要：本文針對OMP算法需要已知稀疏度的缺陷，提出了一種全盲的基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的SAMP算法，并利用此算法進行仿真分析，然后與OMP算法進行比較，分析這兩種算法的性能，得出SAMP算法在未知目標(biāo)信號的稀疏度的情況下能和OMP算法一樣實現(xiàn)目標(biāo)信號的頻譜重構(gòu)。

關(guān)鍵詞：壓縮感知理論；調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器；重構(gòu)算法

中圖分類號：TN911.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-5168（2018）19-0054-04

Research on the Signal Reconstruction Algorithm Based on the

Modulated Wideband Converter

YANG Wenju ZOU Feng

（The 723 Institute of CSIC，Yangzhou Jiangsu 225001）

Abstract： In this paper， a totally blind SAMP algorithm based on modulation wideband converter was proposed in this paper， which required the known sparsity of the OMP algorithm. This algorithm was simulated and analyzed by this algorithm. Then compared with the OMP algorithm， the performance of the two algorithms was analyzed. It was concluded that the SAMP algorithm could be calculated with OMP in the case of the sparsity of the unknown target signal. The same method was used to realize the spectral reconstruction of the target signal.

Keywords：compressed sensing theory；modulated wideband converter；reconstruction algorith

1 調(diào)制帶寬轉(zhuǎn)換器

調(diào)制帶寬轉(zhuǎn)換器作為一種全盲的和實用的欠奈奎斯特采樣系統(tǒng)，與傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣系統(tǒng)有很大區(qū)別，其在模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號的過程中，直接把傳統(tǒng)采樣中的采樣和壓縮過程合二為一，采樣之后的數(shù)據(jù)是已經(jīng)壓縮好的失真數(shù)據(jù)[1]。調(diào)制寬帶采樣系統(tǒng)是一種隨機解調(diào)采樣系統(tǒng)的多路并用，在利用遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率的情況下，較好地實現(xiàn)了對多頻帶未知稀疏性信號的采樣，但帶來了另一個難題，就是如何把采樣之后的信號進行無失真的、理想的重構(gòu)出原始目標(biāo)信號的頻率譜。調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的原理見圖1。

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器雖然在理論上有很大優(yōu)勢，使人們能很好地對多頻帶未知稀疏信號進行采樣，但其還存在很多亟待解決的問題。首先，重構(gòu)算法的性能不高，現(xiàn)有的重構(gòu)算法在成功率、可重構(gòu)的最大頻帶數(shù)和所需的通道數(shù)量等方面性能不太好，在現(xiàn)實環(huán)境中達(dá)到理論性能的極限值還有較大差距。此外，在有噪聲的情況下，重構(gòu)算法性能更差，需要進行大量研究。其次，在采樣過程和重構(gòu)過程中會有嚴(yán)苛的條件要求，在現(xiàn)實環(huán)境中，很多信號各個頻帶的數(shù)量和最大帶寬都是無法預(yù)知的，因此，在實際應(yīng)用中，必須采用全盲的采樣方法，這進一步提高了對重構(gòu)算法的性能要求。

2 頻率譜重構(gòu)的充分條件

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器系統(tǒng)對于信號是未知的，很多頻帶在信道中有很多可能的情況，有可能各個頻帶在信道中是相鄰的，也有可能是不相鄰的，很難得到目標(biāo)信號的最大頻率。此外，在特定的時間內(nèi)占用的頻帶數(shù)量也不知道。面對這么多未知狀況，必須對多頻帶稀疏性信號的信號模型進行重新定義，這樣才能在不知道最大子頻帶帶寬及子頻帶數(shù)量的情況下進行信號重構(gòu)[2]。

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的采樣原理就是通過混頻器進行調(diào)制，然后通過低通濾波器進行濾波，得到一個輸入信號和采樣信號的關(guān)系表達(dá)式：

[aiej2πfTs=n=-R0R0pinXf-nfp，f∈Fs=-fs/2，f/2s] （1）

然后，進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算，對這個式子兩端同時進行離散時間傅立葉變換的逆運算表達(dá)形式為：

[Yn=?Xn] （2）

其中，[Yn=y1n，y2n，…，ymnT，Xn=x1n，x2n，…，xLnT，n∈Z]。根據(jù)數(shù)學(xué)矩陣知識可知，式（1）中，[?]是[m×L]矩陣，[?i（n）=pi（n）]且[m設(shè)多頻帶的信號[xt]包含任意數(shù)量的頻帶，筆者利用調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器系統(tǒng)進行采樣，如果下列條件成立，則[Xf]就會有唯一解，原始目標(biāo)信號就能無失真地恢復(fù)。

①[fs≥fp]，并且[fs/fp]數(shù)值不能很大。

②一個周期內(nèi)[pit]的符號數(shù)[M≥Mmin=2fQ2fp+12-1]。

③[m≥2K]，其中[K=sup pxFs]。

④觀測矩陣[?]的任意2K列線性無關(guān)。

3 頻譜感知中通道個數(shù)的確定

對多帶稀疏信號是未知的，必須根據(jù)實際情況對聯(lián)合稀疏度進行估算，然后估計出對目標(biāo)信號進行采樣需要多少個通道并行隨機解調(diào)，即要估計出所需要的通道數(shù)m。

在[fs=fp]作為最基本的配置情況下，假設(shè)在實際頻譜中第i個子頻帶[Ai]將自己帶到向量[Xf]的非零元素的數(shù)量記作[IAi]。根據(jù)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣技術(shù)的頻域行為，并考慮頻帶位置的隨機性，可以得到如式（3）所示的表達(dá)式：

[Ai/fp≤IBi≤Ai/fp+1] （3）

因此，所有的頻譜都進入到[Xf]中的非零元素數(shù)即聯(lián)合稀疏度滿足關(guān)系表達(dá)式（4）：

[iAi/fpIXfiAi/fp+1] （4）

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的通道個數(shù)雖然跟稀疏信號的稀疏度有關(guān)，但不需要精確地知道稀疏信號的稀疏度，只要使其通道個數(shù)不小于目標(biāo)信號的稀疏度的2倍即可。

4 重構(gòu)算法的研究及優(yōu)化

正交匹配追蹤算法（OMP）的整體框架如圖2所示。正交匹配追蹤算法可以分成2大步驟：感知和重建。感知過程就是尋找最佳匹配原子的過程，由最佳匹配原子確定出支撐集；重建過程就是利用已確定支撐集不斷去逼近原信號。2個過程不斷迭代，直到滿足相應(yīng)的迭代終止條件，最后重構(gòu)出原始信號。

由于OMP算法需要已知稀疏度，因此，對現(xiàn)實環(huán)境中很多稀疏度未知的多頻帶稀疏信號無法很好地進行信號重構(gòu)。本文在稀疏度未知的情況下，對該算法進行優(yōu)化，將迭代終止準(zhǔn)則設(shè)置為殘差值小于預(yù)置的門限，進而提出稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法。

5 稀疏自適應(yīng)匹配算法

在稀疏自適應(yīng)匹配追蹤（Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP）算法中，稀疏度是未知的。SAMP算法充分利用了“自底向上”和“自頂向下”重構(gòu)思想的優(yōu)點，可以在未知稀疏度的前提下實現(xiàn)精確重構(gòu)。探索了當(dāng)信號的稀疏度未知時，如何繼續(xù)利用算法重構(gòu)信號的問題。SAMP算法引入了參數(shù)步長[s]，并假設(shè)稀疏度[K=s]，然后進行算法迭代。如果滿足迭代停止條件，則重構(gòu)完成；否則，改變稀疏度，使[K=j×s]，進入下一次算法迭代。SAMP算法流程如下。

輸入：[M×N]測量矩陣[?]，[M×1]數(shù)據(jù)向量y，步長s。

輸出：支撐集[T=Tk]，估計信號[x∈RN]，[x1，…，N-T=0]，且[xT=?Ty]。

初始化：[x0=0，r=y，k=0]，估計支撐集[T0=?]，估計稀疏度[K=S]，k是迭代次數(shù)，階層[j=0]，索引集[Λ0]為空集。

①初始選擇[Sk={向量?*rk-1中前K]個量級最大元素的索引}；

②[k←k+1]；

③找出殘余分量[r]與采樣矩陣中最匹配原子的索引[λk]，即[λk←argmaxrk，?j]；

④更新索引集[Λk=Λk-1?λk]，并相應(yīng)更新采樣矩陣中的列集合[Λk=Λk-1?λk]；

⑤重建目標(biāo)信號，[x←?Ty]，其中[?T]表示矩陣的逆；

⑥更新殘余分量[r←y-?kx]；

⑦如果[rk2rk-12]，則[j=j+1，K=j×s]；否則[k=k+1]進行循環(huán)迭代直到[rk2ε]，停止迭代。

從SAMP算法流程可知，當(dāng)步長s較小時，計算復(fù)雜度較高，重構(gòu)性能也較高；當(dāng)步長s較大時，計算復(fù)雜度較低，重構(gòu)性能會有所降低。對于任意稀疏度為K的信號X，如果測量矩陣[?]滿足帶有參數(shù)[δ3k<0.06]的3Ks階RIP條件，則在有限次迭代后，稀疏自適應(yīng)匹配追蹤算法能夠從[y=?x]中正確地重構(gòu)出目標(biāo)信號的頻譜，其中[Ks=sK/s]，s表示步長。

6 仿真結(jié)果及分析

在調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)化器采樣過程中，仿真采用數(shù)字的方法替代模擬信號處理，在采樣過程中，首先要用混頻器擴展信號的頻帶，模擬混頻器用數(shù)字乘法器進行代替，低通濾波器用一個高階的數(shù)字濾波器進行代替，低速ADC可以用數(shù)字抽取的方式進行代替，本文采取的仿真過程如圖3所示。

為了進行采樣之后重構(gòu)算法的驗證，設(shè)計了下述5個步驟，然后與OMP算法的性能進行比較。

①目標(biāo)稀疏信號的產(chǎn)生由表達(dá)式（5）形成。

[xt=i=12/NEiBisincBit-τicos2πfit-τi] （5）

②將信號的能量系數(shù)Ei設(shè)置為1，帶寬Bi設(shè)置為100MHz，信號的采樣率設(shè)置為10GHz；按照調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣理論設(shè)置MWC采樣參數(shù)：通道m(xù)設(shè)為40，每個通道的采樣率[fs=fp=fNYQ/195=51.28MHz]。

③將設(shè)置好的信號通過乘法器進行擴頻，然后再通過數(shù)字濾波器進行濾波，對濾波之后的信號進行數(shù)字抽取，抽取值（采樣頻率）為M。

④在重構(gòu)過程中通過改變原始稀疏信號的稀疏度K和測量值M，設(shè)置每個采樣過程重復(fù)1 000次，計算重構(gòu)出原始信號的成功率。

⑤對OMP算法和SAMP算法進行仿真性能比較，在SAMP算法中設(shè)置不同的步長s，比較OMP算法和SAMP算法的性能。比較結(jié)果見圖4至圖7。

從圖4至圖7可以看出，當(dāng)目標(biāo)信號的稀疏度一定時，無論是OMP重構(gòu)算法還是SAMP算法，測量值越多，信號重構(gòu)的成功率就越高。OMP重構(gòu)算法受目標(biāo)信號稀疏度的影響較大，而SAMP重構(gòu)算法受到的影響相對來說較小。對于SAMP算法，步長s越大，對目標(biāo)信號的迭代就越小，重構(gòu)性能也變差。從上述研究結(jié)果可以看出，SAMP算法可以在不需要知道稀疏度的情況下精確地實現(xiàn)原始信號的重構(gòu)，且重構(gòu)率良好，與OMP算法的重構(gòu)率表現(xiàn)得很相近。

7 基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的頻譜感知應(yīng)用實例

受條件限制，沒有設(shè)計出硬件系統(tǒng)進行實際采樣和信號重構(gòu)，欠采樣的前端設(shè)計和信號重構(gòu)都是用仿真實現(xiàn)的。

本文采用4通道示波器對原始信號進行欠采樣，然后對采樣之后得到的數(shù)據(jù)用SAMP算法進行重構(gòu)。在實際環(huán)境中對目標(biāo)信號進行欠采樣，然后利用SAMP算法對采樣之后的信號進行重構(gòu)，該應(yīng)用實例的原理見圖8。

首先，設(shè)置一個原始稀疏信號[xt]，該信號由2個頻帶組成，第一個子頻帶的中心頻率為0.1GHz，帶寬為0.04GHz；另一個子頻帶的頻率中心為4.8GHz，帶寬為0.1GHz，其波形如圖9所示，將原始信號在MATLAB中進行混頻處理及數(shù)字濾波器進行濾波。其次，將產(chǎn)生的信號載入信號發(fā)生器，并使其進入示波器通道，設(shè)置每個通道的采樣率為200MHz，進行采樣。最后，將采樣之后的數(shù)據(jù)保存導(dǎo)入MATLAB中進行信號重構(gòu)，得到重構(gòu)信號的頻譜如圖10所示。原始稀疏信號較好地被恢復(fù)出來?？梢姡琒AMP重構(gòu)算法具有良好的重構(gòu)性能，其在現(xiàn)實環(huán)境中也是有效的。

8 結(jié)語

本文首先介紹了OMP算法，然后提出一種全盲的基

于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的SAMP算法，利用此算法進行仿真分析，然后與OMP算法進行比較，分析這兩種算法的性能，得出SAMP算法在未知目標(biāo)信號的稀疏度的情況下能和OMP算法一樣實現(xiàn)目標(biāo)信號的頻譜重構(gòu)。此外，對基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的SAMP算法重構(gòu)利用示波器進行采樣，證明SAMP重構(gòu)算法的有效性。

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