魏慶琦，肖 偉

(1.重慶交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，重慶400074；2.電子科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，成都610054)

0 引言

不確定背景下的出行擇路和網(wǎng)絡(luò)均衡是城市交通路網(wǎng)規(guī)劃、政策設(shè)計(jì)和可靠性分析的基礎(chǔ).但是，出行個體的有限理性限制了基于傳統(tǒng)期望效用理論的網(wǎng)絡(luò)均衡模型的現(xiàn)實(shí)有效性，基于前景理論和累積前景理論的出行行為建模由此應(yīng)運(yùn)而生[1]，成為近年來國內(nèi)外交通行為建模仿真領(lǐng)域的熱點(diǎn).這些研究都將出行者視為有限理性的個體，并將最短路徑期望到達(dá)時(shí)間視為參考點(diǎn)，當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)間點(diǎn)位于參考點(diǎn)與工作開始時(shí)間之間時(shí)，出行者獲得正效用.當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)間點(diǎn)早于參考點(diǎn)或晚于工作開始時(shí)間時(shí)，出行者獲得負(fù)效用[1-3].然而，出行行為研究者不斷發(fā)現(xiàn)，用戶并不將最短路徑到達(dá)時(shí)間期望參考點(diǎn)作為正負(fù)效用的分界點(diǎn)[4].大部分研究認(rèn)同，兩個參考點(diǎn)就可以精確描述出行決策行為：一個是最優(yōu)到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)，另一個是最早正效用到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)[4-5].當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)間早于最早參考點(diǎn)或晚于工作開始時(shí)間時(shí)，效用為負(fù)；當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)間位于最早參考點(diǎn)和工作開始時(shí)間之間時(shí)，效用為正；當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)間越接近最優(yōu)參考點(diǎn)時(shí)，用戶獲得的正效用越大[5].

這些文獻(xiàn)主要是在累積前景理論和雙參考點(diǎn)出行行為建模的基礎(chǔ)上，對城市隨機(jī)交通網(wǎng)絡(luò)均衡、規(guī)劃和管理進(jìn)行了研究，但仍存在以下問題：①構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)均衡模型時(shí)將交通網(wǎng)絡(luò)的不確定性簡單假設(shè)為出行時(shí)間正態(tài)分布，沒有深入討論路網(wǎng)能力退化造成的不確定性[6]；②少量關(guān)于路網(wǎng)能力退化的網(wǎng)絡(luò)均衡研究僅基于期望效用理論[7-8]或單參考點(diǎn)前景理論[3,9]；③若干關(guān)于雙參考點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)均衡的研究中，沒有分析連續(xù)的隨機(jī)路徑時(shí)間，僅選擇某幾個值展開對比分析[6].針對這些問題，本文采用連續(xù)隨機(jī)路網(wǎng)通行能力和連續(xù)路網(wǎng)能力退化下限，構(gòu)造基于累積前景理論的雙參考點(diǎn)用戶均衡模型，證明模型解的存在性并設(shè)計(jì)了相應(yīng)算法.在標(biāo)定重要參數(shù)時(shí)，對連續(xù)路網(wǎng)退化能力下限和路段設(shè)計(jì)能力上限取值范圍進(jìn)行測試，以獲取合理的參數(shù)值.模型將城市路網(wǎng)均衡的不確定性深入分析到客觀天氣、事故等導(dǎo)致的路網(wǎng)能力退化，以及主觀的用戶風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，可以更加精確地對不確定環(huán)境下城市交通網(wǎng)絡(luò)均衡進(jìn)行描述.

1 隨機(jī)路網(wǎng)能力退化與連續(xù)雙參考點(diǎn)

1.1 隨機(jī)路網(wǎng)能力退化模型

路段時(shí)間基于BPR(Bureau of Public Roads)的路段時(shí)間模型為

1.2 基于連續(xù)隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)偏好的參考點(diǎn)取值

路段隨機(jī)退化導(dǎo)致路徑時(shí)間也存在隨機(jī)性，用戶為保證達(dá)到時(shí)間的可靠性，在工作開始時(shí)間點(diǎn)之前設(shè)置1個最佳到達(dá)時(shí)間點(diǎn)T*，則風(fēng)險(xiǎn)控制預(yù)留時(shí)間.實(shí)際到達(dá)時(shí)間點(diǎn)ˉ時(shí)，產(chǎn)生遲到損失.T*＜t≤Tˉ時(shí)，產(chǎn)生晚到收益.t≤T*時(shí)用戶早到，存在1個可接受的最早時(shí)間點(diǎn)時(shí)，產(chǎn)生早到收益；時(shí)，實(shí)際到達(dá)時(shí)間距離Tˉ過早，產(chǎn)生早到損失.由此可將用戶到達(dá)時(shí)間域劃分為I、II、III和IV共4個區(qū)域：和，其中Td為出發(fā)時(shí)間點(diǎn).

令

因此，有

式中：Trd為OD對r的出發(fā)時(shí)間，因此有

式(11)表示路徑時(shí)間長度在正態(tài)分布下累積概率密度函數(shù)的反函數(shù).

1.3 連續(xù)雙參考點(diǎn)累積到達(dá)時(shí)間感知價(jià)值

根據(jù)CPV交通行為理論，單一時(shí)間準(zhǔn)則下，累積到達(dá)時(shí)間感知價(jià)值Vr,kATP最大化為擇路規(guī)則[2-3].基于前文所述4個到達(dá)時(shí)區(qū)的劃分，將用戶累積感知時(shí)間價(jià)值Vr,kATP描述為

式中：i為到達(dá)時(shí)間區(qū)域類別，分別對應(yīng)I、II、III、IV類；πi為時(shí)區(qū)i的決策權(quán)重；gi(t)為時(shí)區(qū)i的價(jià)值函數(shù)；-i和iˉ分別為4個時(shí)間區(qū)域的上界和下界.

當(dāng)出行時(shí)間落在I和IV區(qū)時(shí)，用戶價(jià)值函數(shù)取負(fù)，表示用戶因?yàn)檫^早到達(dá)和遲到而不滿；當(dāng)出行時(shí)間落在II和III區(qū)時(shí)，用戶價(jià)值函數(shù)取正，表示用戶對出行時(shí)間滿意，獲得了正效用.對4個時(shí)區(qū)的價(jià)值函數(shù)進(jìn)行定義，即

式中：Td為出發(fā)時(shí)間點(diǎn)；αi刻畫時(shí)區(qū)價(jià)值函數(shù)的扁平程度，αi∈(0,1)，可保證價(jià)值函數(shù)為正時(shí)為凹函數(shù)，價(jià)值函數(shù)為負(fù)時(shí)為凸函數(shù)；τi表示不同用戶對獲得或損失的偏好，τ4＜τ1＜0＜τ2＜τ3，表示在I、IV兩區(qū)時(shí)間價(jià)值函數(shù)表現(xiàn)為損失，且等長度時(shí)間段的遲到損失大于早到損失.在II、III兩區(qū)時(shí)間價(jià)值函數(shù)表現(xiàn)為收益，且針對最佳到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)而言，等長度時(shí)間段的晚到收益大于早到收益.同時(shí)，由于針對同一參考點(diǎn)，用戶對損失的敏感程度大于收益，因此有-τ1＞τ2,-τ4＞τ3.

根據(jù)累積前景理論，當(dāng)事件發(fā)生的客觀實(shí)際概率為φ時(shí)，4個時(shí)區(qū)的主觀感知概率分別為[6]

該函數(shù)保障了用戶高估小概率的傾向.由此可獲得到達(dá)時(shí)間tj落在區(qū)間i時(shí)的決策權(quán)重.

在到達(dá)時(shí)間連續(xù)隨機(jī)分布時(shí)，令f(t)和F(t)分別為到達(dá)時(shí)間的概率密度函數(shù)和累積概率密度函數(shù)，得到

2 考慮隨機(jī)路網(wǎng)能力退化的雙參考點(diǎn)CPV用戶均衡模型

2.1 均衡條件

類似于SUE模型，出行個體擇路決策準(zhǔn)則為路徑累積感知時(shí)間價(jià)值VAr,TkP最大，路網(wǎng)流量均衡時(shí)，所有路徑存在相等的，同時(shí)路徑流量fkr＞0；否則

2.2 均衡解存在性分析

可行路徑集Γ為緊凸集，則存在任意f∈Γ，總存在唯一最近可行點(diǎn)p(f)∈Γ使f投影于Γ.定義1個映射，則當(dāng)且僅當(dāng)θ(f)=f時(shí)，有f是模型的1個均衡解[3,6].由于路徑時(shí)間、路段退化系數(shù)及到達(dá)時(shí)間價(jià)值函數(shù)和感知概率權(quán)重函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)，因此累積感知時(shí)間價(jià)值函數(shù)VATP(·)為連續(xù)函數(shù)，則θ(·)也連續(xù)，滿足Brouwer不動點(diǎn)定理[3,6]，VI均衡解存在.

3 求解算法

基于相繼平均法(Method of Successive Averages,MSA)求解以上模型.

具體的算法步驟如下：

Step 1初始化.定義所有OD對可行路徑集，基于初始路段條件，在所有路網(wǎng)零流狀態(tài)下計(jì)算各路徑累積到達(dá)時(shí)間價(jià)值.執(zhí)行全無全有加載，獲得初始路段流量x0a，置n=1.

Step 2計(jì)算路徑累積時(shí)間價(jià)值.更新路徑流量，獲得新的路徑累積時(shí)間價(jià)值Vr,kATP.

Step 3方向搜索.在現(xiàn)有累積時(shí)間價(jià)值向量基礎(chǔ)上，執(zhí)行1次運(yùn)量全無全有加載，得到新的路段流量{yna}.

Step 4“相繼平移”移動.?a

Step 5檢查收斂性.計(jì)算取后3次的路段平均流量構(gòu)造收斂判斷函數(shù)，即時(shí)算法終止，ε為收斂指標(biāo).否則轉(zhuǎn)Step6.

Step 6迭代次數(shù)判斷.迭代次數(shù)n＞Nmax時(shí)算法終止，Nmax為最大迭代次數(shù)；否則，轉(zhuǎn)Step2，置n=n+1.

4 數(shù)值算例

本文提出的考慮路網(wǎng)通行能力退化和用戶風(fēng)險(xiǎn)偏好的雙參考點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)均衡模型可以用于分析以下關(guān)鍵參數(shù)之間的關(guān)系：①路網(wǎng)能力退化程度，②用戶風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，③網(wǎng)絡(luò)均衡流量分布，④不同路徑出行最佳到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)，⑤最早正效用時(shí)間參考點(diǎn)，⑥均衡時(shí)累積達(dá)到時(shí)間價(jià)值，⑦均衡時(shí)路網(wǎng)時(shí)間期望和標(biāo)準(zhǔn)差等.由于以上關(guān)鍵參數(shù)在同一個模型中相互影響，為明確參數(shù)間的關(guān)系，必須將其他影響因素簡化.因此，本文采用交通網(wǎng)絡(luò)均衡分析中常用的兩路段基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)(圖1)作為分析對象.模型中具體參數(shù)設(shè)置如下：BPR路段時(shí)間模型中Q=500、t0a=[100,150]、λ=0.15、β=4、γ=1.5、Tˉ=222、σ=0.8、?=[0.69,0.69,0.74,0.74]、τ=[-2.25,1,2.538 9,-5.712 5]、α=[0.52,0.52,0.52,0.52].模型內(nèi)生重要參數(shù)有路網(wǎng)時(shí)間期望和標(biāo)準(zhǔn)差、最佳到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)、最早正效用時(shí)間參考點(diǎn)、累積到達(dá)時(shí)間價(jià)值，以及均衡時(shí)的路段流量分布.

圖1 測試路網(wǎng)圖Fig.1 Road network

4.1 路網(wǎng)均衡性檢驗(yàn)

下面對路網(wǎng)均衡穩(wěn)定性進(jìn)行討論.圖2節(jié)選了路網(wǎng)能力保有系數(shù)θ∈[0.47,0.49]時(shí)，路網(wǎng)流量均衡過程.顯然，在不同退化系數(shù)下，路網(wǎng)流量均可達(dá)到穩(wěn)定均衡狀態(tài).

圖2 路網(wǎng)均衡穩(wěn)定性測試圖Fig.2 User equilibrium convergence procedure

4.2 路網(wǎng)通行能力保有系數(shù)與路段設(shè)計(jì)能力參數(shù)取值范圍

經(jīng)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，路網(wǎng)能力保有系數(shù)θ和路網(wǎng)設(shè)計(jì)能力對路網(wǎng)時(shí)間期望和標(biāo)準(zhǔn)差、最佳到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)、最早正效用時(shí)間參考點(diǎn)、累積到達(dá)時(shí)間價(jià)值，以及均衡時(shí)的路段流量分布等重要參數(shù)產(chǎn)生顯著影響.這是因?yàn)闆Q定了穩(wěn)定時(shí)期路網(wǎng)通行時(shí)間上限，均勻分布的θ決定了路段通行能力的下限，當(dāng)θ取值較小時(shí)，說明該路段可能發(fā)生無法通行的極端情況，使得該路段時(shí)間期望和標(biāo)準(zhǔn)差取值非常大.在此情況下，巨大期望說明該路段已經(jīng)無法通行，巨大標(biāo)準(zhǔn)差說明該路段通行能力無法預(yù)測，因而失去了研究的必要性.同時(shí)，θ較大時(shí)，說明該路段通行能力幾乎不受影響，此時(shí)路段時(shí)間期望等于零流時(shí)間，標(biāo)準(zhǔn)差接近于零.雖然理論上路網(wǎng)保有能力系數(shù)取值范圍為[0,1]，但根據(jù)本文測試數(shù)據(jù)，時(shí)，時(shí)間期望、時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)差因此，為提高研究的現(xiàn)實(shí)意義，對的取值范圍進(jìn)行討論.

根據(jù)實(shí)際路網(wǎng)測試數(shù)據(jù)，當(dāng)用戶考慮出行路徑時(shí)，會以工作開始時(shí)間和路段零流時(shí)間作為重要參考數(shù)據(jù)，因此有效路段時(shí)間和期望不能與以上2個參數(shù)相差太遠(yuǎn).在參考相關(guān)研究[3,5-6,8]后，本文以出行作為討論區(qū)間，選擇因此，為提高研相應(yīng)適當(dāng)?shù)谋Ｓ邢禂?shù)和路段設(shè)計(jì)能力上限.經(jīng)計(jì)算可行區(qū)域如圖3所示.

4.3 路網(wǎng)能力保有系數(shù)對其他重要參數(shù)的影響

圖3 路網(wǎng)能力保有系數(shù)與路段設(shè)計(jì)能力上限取值范圍Fig.3 Value range of two important parameters

(1)當(dāng)θ∈[0.30,0.33]時(shí)，隨著θ增加：

①各路徑時(shí)間期望緩慢下降，且路徑1穩(wěn)定性小于路徑2；

②各路徑時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)差迅速下降，且路徑1的標(biāo)準(zhǔn)差顯著大于路徑2，例如θ∈[0.30,0.33]時(shí)，

③2條路徑最佳到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)和最早到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)取值均穩(wěn)定下降；

④2條路徑到達(dá)時(shí)間感知價(jià)值迅速上升，且曲線基本重合；

⑤2條路徑均衡流量非常穩(wěn)定，分別為265和235左右.

以上參數(shù)曲線變化說明，雖然路徑1時(shí)間期望顯著小于路徑2，但其標(biāo)準(zhǔn)差顯著大于路徑2，此時(shí)用戶擇路并不僅希望期望時(shí)間較短，也考慮了出行時(shí)間不確定性.因此均衡時(shí)2條路徑流量基本相當(dāng).由于2條路徑不確定性均較大，因此2條路徑到達(dá)時(shí)間感知價(jià)值Vr,kATP顯著小于0，但隨著路網(wǎng)能力下限改善，不確定性下降，2條路徑Vr,kATP迅速上升，并穩(wěn)定在10左右.

圖4θ∈[0.3,0.9]、a=[500,550]時(shí)的路網(wǎng)均衡狀態(tài)Fig.4 Important parameters in user equilibrium with deferentθ

(2)θ∈[0.33,0.90]時(shí)，隨著θ增加：

①2條路徑時(shí)間期望基本保持穩(wěn)定，而路徑1時(shí)間期望顯著小于路徑2；

③2條路徑最佳到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)和最早到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)取值穩(wěn)定，曲線形狀與路徑時(shí)間期望相似；

④路徑1均衡流量穩(wěn)定上升至454，路徑2穩(wěn)定下降至46.

以上參數(shù)曲線變化說明，隨著路網(wǎng)能力退化下限繼續(xù)改善，2條路徑出行時(shí)間不確定性持續(xù)下降.此時(shí)，路徑1出行時(shí)間期望顯著快于路徑2，但存在一定不確定性，而路徑2不確定性非常小.因此，雖然路徑1期望略快，但為了保證準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的可靠性，仍有部分出行者選擇不確定性很小的路徑1出行.不過隨著路徑1與路徑2不確定性逐漸接近，更多出行者由路徑2轉(zhuǎn)向路徑1.在這一階段，由于路網(wǎng)不確定性可控，用戶到達(dá)累積時(shí)間價(jià)值維持在10左右，且VA1TP≈VATP2，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)保持均衡狀態(tài).這不僅滿足交通網(wǎng)絡(luò)均衡條件，也印證了本文以累積到達(dá)時(shí)間感知價(jià)值最大作為擇路規(guī)則的基本假設(shè).

5 結(jié)論

本文基于連續(xù)分布的路網(wǎng)能力退化下限，構(gòu)造隨機(jī)路段時(shí)間分布期望和方差、設(shè)置累積到達(dá)時(shí)間價(jià)值函數(shù)的連續(xù)雙參考點(diǎn)，并以累積到達(dá)時(shí)間價(jià)值最大作為擇路準(zhǔn)則，構(gòu)建了用戶均衡模型，對解的存在性進(jìn)行了證明.最后用算例分析了路網(wǎng)能力退化下限和路段設(shè)計(jì)能力上限等模型重要外生參數(shù)的取值范圍，討論了用戶均衡時(shí)路網(wǎng)能力退化下限對路徑時(shí)間期望、標(biāo)準(zhǔn)差、最佳到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)、最早到達(dá)時(shí)間參考點(diǎn)、累積到達(dá)時(shí)間價(jià)值和路網(wǎng)均衡流量分布的影響.本文首次將客觀路網(wǎng)能力退化下限與主觀累積到達(dá)時(shí)間雙參考點(diǎn)標(biāo)定聯(lián)系起來，對于探索有限理性下出行行為對交通網(wǎng)絡(luò)的影響具有一定意義.