白 磊，賈傳峻，李 擎，劉仍奎，孫全欣

(1.北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京100044；2.北京易華錄信息技術(shù)股份有限公司，北京100043)

0 引言

鐵路鋼軌是鐵路軌道設(shè)備最重要的組成部分.鐵路鋼軌維修是指為保持、恢復(fù)和改善鐵路鋼軌質(zhì)量狀態(tài)，延長(zhǎng)其使用壽命，確保其實(shí)現(xiàn)所期望的功能，鐵路管理者采取的所有技術(shù)和管理活動(dòng)的集合.優(yōu)化編制鐵路鋼軌維修規(guī)劃，對(duì)避免安排“過維修”“欠維修”這些不恰當(dāng)?shù)木S修活動(dòng)，合理分配維修資源，降低維修成本，確保列車持續(xù)安全、平穩(wěn)運(yùn)行等具有重要意義.

目前，我國(guó)鐵路現(xiàn)場(chǎng)軌道設(shè)備維修以故障修、周期修為主，正逐步向基于狀態(tài)的預(yù)防修轉(zhuǎn)變.鐵路軌道設(shè)備維修規(guī)劃的相關(guān)規(guī)章較少，鐵路現(xiàn)場(chǎng)缺乏統(tǒng)籌編制較長(zhǎng)時(shí)間跨度的維修規(guī)劃，管理者一般按照年度制定不同管轄單位的維修任務(wù)量、大修任務(wù)量，多以百分比的形式體現(xiàn).國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者大多采用組合優(yōu)化方法[1-5]，研究鐵路軌道設(shè)備維修規(guī)劃、維修計(jì)劃的編制問題.如Caetano等[1]提出了一個(gè)以成本最小、軌道可靠性最大為優(yōu)化目標(biāo)的鐵路軌道維修規(guī)劃優(yōu)化編制模型.郭然等[4]采用整數(shù)規(guī)劃方法，提出了一個(gè)面向區(qū)域路網(wǎng)的鐵路軌道維修計(jì)劃優(yōu)化編制模型.周宇等[5]提出了一個(gè)0-l整數(shù)型軌道狀態(tài)最優(yōu)綜合維修計(jì)劃編制模型.

上述研究均假設(shè)提出的模型能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)軌道設(shè)備未來(lái)的狀態(tài)，這忽略了軌道設(shè)備未來(lái)劣化狀態(tài)的不確定性.Markov決策過程方法(Markov Decision Process，MDP)以狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的形式來(lái)描述設(shè)施設(shè)備狀態(tài)預(yù)測(cè)的不確定性.目前，采用Markov決策過程方法解決鐵路鋼軌維修計(jì)劃編制問題的直接研究較少，該方法的研究多集中在道路路面的維修規(guī)劃編制問題[6-7].

本文將基于鐵路基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)格化管理思想，將線性、連續(xù)的鐵路鋼軌設(shè)備，按照某一長(zhǎng)度，劃分為若干連續(xù)等長(zhǎng)的小區(qū)段，以小區(qū)段作為基本研究對(duì)象，采用Markov隨機(jī)過程理論方法，研究提出一種鐵路鋼軌網(wǎng)格化維修規(guī)劃優(yōu)化編制模型(Optimal Maintenance Planning Model for Railway Rail Grids，OMPM-RGG).本文的創(chuàng)新點(diǎn)體現(xiàn)在以下幾方面：將Markov決策過程方法，首次應(yīng)用到鐵路鋼軌維修規(guī)劃編制問題中，考慮到了鐵路鋼軌未來(lái)劣化狀態(tài)的不確定性；在編制維修規(guī)劃時(shí)，考慮到了鐵路鋼軌狀態(tài)劣化的異質(zhì)性，個(gè)性化地描述每個(gè)鋼軌網(wǎng)格的狀態(tài)劣化規(guī)律，編制出的維修規(guī)劃更具針對(duì)性.

1 鐵路鋼軌網(wǎng)格的基本概念

依據(jù)鐵路基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)格化管理思想[8]，鐵路網(wǎng)格是指將線性、連續(xù)、帶狀布局的鐵路線路按一定規(guī)則，劃分成的若干相鄰等長(zhǎng)的“小區(qū)段”，如圖1所示.鐵路網(wǎng)格是由其相應(yīng)里程范圍內(nèi)的不同專業(yè)鐵路基礎(chǔ)設(shè)施構(gòu)成的，是這些鐵路基礎(chǔ)設(shè)施的綜合體.每個(gè)鐵路網(wǎng)格單元用Gi表示，i=1,2,…,I，其中I表示鐵路網(wǎng)格單元的總數(shù).鋼軌是軌道結(jié)構(gòu)最重要的組成部分，具有承載輪重、橫向上引導(dǎo)車輪、提供光滑的運(yùn)行表面等功能.鋼軌網(wǎng)格是指鐵路網(wǎng)格中的鋼軌部分.在本文中，鋼軌網(wǎng)格的長(zhǎng)度設(shè)置為1 km.

圖1 鐵路網(wǎng)格示意圖Fig.1 Diagrammatic sketch of railway grid

《鋼軌傷損分類》(TB/T 1778-2010)規(guī)定，根據(jù)鋼軌磨耗量和疲勞傷損程度等，單根鋼軌的傷損狀態(tài)等級(jí)分為輕傷、重傷和折斷等.本文鋼軌網(wǎng)格的整體狀態(tài)采用每公里鋼軌重傷數(shù)進(jìn)行評(píng)定，該指標(biāo)能直觀反映鐵路線路鋼軌的傷損情況，也是判斷鐵路線路是否需要整體換軌大修的重要依據(jù).通過設(shè)置不同的管理閾值，鋼軌網(wǎng)格整體狀態(tài)可劃分為若干劣化等級(jí)，不同的狀態(tài)等級(jí)可對(duì)應(yīng)不同的維修策略.

2 鐵路鋼軌網(wǎng)格化維修規(guī)劃優(yōu)化編制模型

本文提出的鐵路鋼軌網(wǎng)格化維修規(guī)劃優(yōu)化編制模型OMPM-RGG由以下兩個(gè)子模型構(gòu)成：

(1)鐵路鋼軌網(wǎng)格化狀態(tài)劣化規(guī)律子模型，采用多階段Markov模型MEMM，綜合考慮各類異質(zhì)性因素影響，個(gè)性化地描述鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)劣化規(guī)律；

(2)鐵路鋼軌網(wǎng)格化維修決策子模型，采用Markov決策過程MDP，以一個(gè)較長(zhǎng)規(guī)劃周期內(nèi)的期望總成本最小為目標(biāo)函數(shù)，建立基于狀態(tài)的維修策略模型.

2.1 鐵路鋼軌網(wǎng)格化狀態(tài)劣化規(guī)律子模型

鐵路鋼軌隨著上道服役時(shí)間的增長(zhǎng)，鋼軌傷損狀態(tài)會(huì)不斷劣化.鋼軌在上道初期，劣化速度較慢，隨著累計(jì)通過總重的增加，劣化速度逐漸加快[9].同時(shí)，鋼軌狀態(tài)劣化是一個(gè)隨機(jī)過程，具有不確定性[10].這是由于鋼軌狀態(tài)劣化受多種異質(zhì)性因素影響，現(xiàn)有的檢測(cè)手段在實(shí)際的運(yùn)營(yíng)線路上不能獲得這些異質(zhì)性因素的全部信息.因此，在不同的生命周期階段，鋼軌狀態(tài)劣化的速度不同，且劣化具有不確定性.

基于上述鐵路鋼軌的狀態(tài)劣化特點(diǎn)，本文將鋼軌網(wǎng)格的狀態(tài)劣化過程細(xì)分為若干階段、整體狀態(tài)劃分為若干狀態(tài)等級(jí)，利用Markov隨機(jī)過程理論，描述在相鄰兩次檢查間的鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)等級(jí)變化的不確定性，鋼軌網(wǎng)格在不同狀態(tài)劣化階段中的壽命分布規(guī)律采用不同的指數(shù)壽命分布函數(shù)進(jìn)行描述.

假設(shè)tA、tB表示該鋼軌網(wǎng)格相鄰兩次檢查日期，鋼軌網(wǎng)格檢查周期Z=tB-tA.X(tA)表示在tA時(shí)刻鋼軌網(wǎng)格的狀態(tài)等級(jí)，表示狀態(tài)等級(jí)的總數(shù)；X(tB)表示在tB時(shí)刻鋼軌網(wǎng)格的狀態(tài)等級(jí)，，如圖 2所示.圖中的圓形點(diǎn)表示鋼軌網(wǎng)格當(dāng)前的狀態(tài)等級(jí)，豎實(shí)線箭頭表示鋼軌網(wǎng)格由狀態(tài)等級(jí)i-1突變到i，橫虛線箭頭表示鋼軌網(wǎng)格持續(xù)地處于狀態(tài)等級(jí)i，豎實(shí)線箭頭、橫虛線箭頭共同描述了鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)的劣化過程.鋼軌網(wǎng)格在tA時(shí)刻狀態(tài)等級(jí)為條件下，在tB時(shí)刻狀態(tài)等級(jí)的Markov轉(zhuǎn)移概率為

圖2 鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)劣化過程示意圖Fig.2 Schematic map of deterioration process of a rail grid condition

采用Tsuda與Kobayashi等提出的多階段指數(shù)Markov模型MEMM[11-12]，確定鋼軌網(wǎng)格的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，如式(5)所示.其中，鋼軌網(wǎng)格由狀態(tài)等級(jí)i劣化到i+1的失效率用θi表示，i∈{1 ,2,…,S-1}.鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)等級(jí)由i變化到S的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率如式(7)所示.

同時(shí)有

在不采取維修活動(dòng)的前提下，隨著上道服役時(shí)間的推移，鋼軌設(shè)備狀態(tài)只會(huì)逐步劣化，πij=0(i＞j).由于狀態(tài)等級(jí)S為Markov吸收態(tài)，當(dāng)鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)等級(jí)為S時(shí)，根據(jù)Markov模型性質(zhì)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率πSS=1.

假設(shè)1條鋼軌線路按照固定長(zhǎng)度劃分為K個(gè)鋼軌網(wǎng)格，Gk表示第k個(gè)鋼軌網(wǎng)格，k∈[1 , 2,…,K].θki表示鋼軌網(wǎng)格Gk的失效率，i=1,2;k=1,…,K，將其定義為

式中：χk是鋼軌網(wǎng)格Gk的異質(zhì)性因素；M是異質(zhì)性因素的總數(shù)；βi表示χk對(duì)Gk由狀態(tài)等級(jí)i劣化到狀態(tài)等級(jí)i+1的貢獻(xiàn)程度，i∈[1 , 2,…,S-1]；β為待估參數(shù)變量.

2.2 鐵路鋼軌網(wǎng)格化維修決策子模型

基于狀態(tài)的鐵路鋼軌維修策略模型，采用Markov決策過程MDP進(jìn)行構(gòu)建.該模型的目標(biāo)函數(shù)是整個(gè)規(guī)劃周期的期望總成本最小，決策變量是規(guī)劃周期內(nèi)的維修策略，規(guī)劃周期內(nèi)的鋼軌狀態(tài)約束折算為成本，作為目標(biāo)函數(shù)的一部分.該模型的關(guān)鍵要素為

(1)?=[1,2,…,S]表示鋼軌網(wǎng)格有限的狀態(tài)等級(jí)集合.

S表示狀態(tài)等級(jí)的總數(shù)；Xt表示在t時(shí)刻的鋼軌網(wǎng)格的狀態(tài)等級(jí)，Xt∈?.Xt=1表示鋼軌網(wǎng)格剛上道服役或經(jīng)過大修維修，處于最好的狀態(tài).

(2)?表示鋼軌網(wǎng)格有限維修類型的維修活動(dòng)集合.

At表示在t時(shí)刻采取的維修活動(dòng)，At∈?.At=a表示在t時(shí)刻采取了維修類型為a的維修活動(dòng)；At=0表示在t時(shí)刻不采取任何維修活動(dòng).

(3)πij(a)表示不同類型維修活動(dòng)作用下鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率.

πij(a)表示當(dāng)鋼軌網(wǎng)格在t時(shí)刻的真實(shí)狀態(tài)為i，采取維修活動(dòng)At=a時(shí)，在t+1時(shí)刻鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)為j的概率為

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率πij(At)隨維修活動(dòng)At的不同而變化.若不采取維修活動(dòng)，At=0，鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率πij(0)，可由第2.1節(jié)提出的狀態(tài)劣化規(guī)律子模型得到.

(4)Rt表示檢查、維修活動(dòng)的成本函數(shù).

Rt表示鋼軌網(wǎng)格在t-1時(shí)刻采取維修活動(dòng)At-1的成本ξ1(Xt-1,At-1)，即

式中：g(Xt,At)表示鋼軌網(wǎng)格在t時(shí)刻的維修成本，由t時(shí)刻的鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)、采取的維修活動(dòng)類型的決定.若在t時(shí)刻不采取維修活動(dòng)，At=0，ξ1(Xt),0表示在t時(shí)刻鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)繼續(xù)惡化帶來(lái)的損失.

(5)δ表示成本隨時(shí)間推移折扣率.

δ用于衡量未來(lái)成本相對(duì)于當(dāng)前成本的重要程度，其含義是t時(shí)刻的維修成本僅價(jià)值t-1時(shí)刻的δ，δ＜1表明當(dāng)前成本比未來(lái)成本更具有價(jià)值.

規(guī)劃周期內(nèi)的總成本由以下兩部分構(gòu)成：①維修活動(dòng)的成本g(Xt,At)，是鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)Xt、維修活動(dòng)At的函數(shù)；②規(guī)劃周期結(jié)束時(shí)的鋼軌網(wǎng)格剩余價(jià)值SVT+1=u(XT+1)，是規(guī)劃周期結(jié)束時(shí)鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)XT+1的函數(shù).It表示鋼軌網(wǎng)格從初始時(shí)刻到t-1時(shí)刻時(shí)間跨度內(nèi)的鋼軌網(wǎng)格初始狀態(tài)、維修活動(dòng)策略構(gòu)成的向量，即

模型OMPM-RGG的目標(biāo)是確定出1組維修策略At(1≤t≤T)，使得整個(gè)規(guī)劃周期內(nèi)的期望總成本最小.vt(It)表示從t時(shí)刻開始至規(guī)劃周期結(jié)束時(shí)的最小期望總成本.vt(It)可通過式(16)和式(17)遞歸得到.

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 背景介紹

本實(shí)例收集整理了2010年1月～2016年1月期間的隴海線上下行K1397+000～K1720+000范圍內(nèi)的47 304條鋼軌傷損數(shù)據(jù)，以該里程范圍內(nèi)的648個(gè)鋼軌網(wǎng)格為基本對(duì)象，研究這些鋼軌網(wǎng)格個(gè)性化的狀態(tài)劣化規(guī)律，在此基礎(chǔ)上求解鋼軌網(wǎng)格10年規(guī)劃周期內(nèi)的最優(yōu)維修策略.規(guī)劃周期的基本粒度是年，整個(gè)規(guī)劃周期的時(shí)間長(zhǎng)度T=10.作者采用R編程語(yǔ)言[13-14]實(shí)現(xiàn)模型OMPM-RGG的構(gòu)建與求解.

根據(jù)在蘭州鐵路局現(xiàn)場(chǎng)的調(diào)研情況，本實(shí)例將隴海線鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)劃分為3個(gè)劣化等級(jí)，，每一個(gè)狀態(tài)等級(jí)的劃分標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)的維修策略如表1所示.如當(dāng)某一鋼軌網(wǎng)格的每公里鋼軌重傷數(shù)≥5，其狀態(tài)等級(jí)為3時(shí)，需立即對(duì)該鋼軌網(wǎng)格內(nèi)的鋼軌安排整體換軌的大修作業(yè).

表1 隴海線鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Standards of condition rank of rail grids in the Longhai railway

在本實(shí)例中，隴海線鋼軌網(wǎng)格維修活動(dòng)的類型包括3類：

根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)研，可得到隴海線鋼軌不同類型維修活動(dòng)的費(fèi)用.本實(shí)例中成本隨時(shí)間推移的折扣率δ取0.9.

3.2 模型結(jié)果分析

在本實(shí)例中，鋼軌網(wǎng)格的檢查周期T為30天.采用以下3類異質(zhì)性因素：小半徑曲線(半徑r≤600m)地段長(zhǎng)度占鋼軌網(wǎng)格長(zhǎng)度的比例χ1k、大坡道地段(坡度|i|≥12‰)長(zhǎng)度占鋼軌網(wǎng)格長(zhǎng)度比例χ2k、歸一化通過總重χ3k，確定鋼軌網(wǎng)格Gk的失效率θki.

表2是求解出的模型OMPM-RGG中的待估參數(shù)β=(β1,1,β1,2,β1,3,β2,1,β2,2,β2,3)值.在此基礎(chǔ)上，結(jié)合式(8)和式(5)，可得到不同線路里程位置處的鋼軌網(wǎng)格Gk在不采取維修活動(dòng)條件下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率.不同線路里程位置處的鋼軌網(wǎng)格，由于受到的異質(zhì)性因素(χ1,χ2,χ3)作用的影響不同，其狀態(tài)劣化規(guī)律是不同的，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率也是不同的.

表2 影響隴海線鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)劣化的異質(zhì)性因素標(biāo)定系數(shù)Table 2 Estimated parameters of heterogeneous factors of rail grids in the Longhai railway

以隴海線上行起點(diǎn)里程為K1595+000的鋼軌網(wǎng)格(簡(jiǎn)寫為“鋼軌網(wǎng)格RG-A”)為例，編制鐵路鋼軌維修規(guī)劃.鋼軌網(wǎng)格RG-A的異質(zhì)性因素χ1k為0，異質(zhì)性因素χ2k為0，異質(zhì)性因素χ3k為1，經(jīng)上述計(jì)算，在不采取任何維修活動(dòng)條件下的鋼軌網(wǎng)格RGA相鄰兩年的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率πij(A=0)，如表3所示.

表3 在不采取任何維修活動(dòng)條件下的鋼軌網(wǎng)格RG-A相鄰兩年的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率Table 3 Condition transition probability matrix of rail grid RG-A without maintenance activities

假設(shè)在規(guī)劃周期的初始時(shí)刻(t=1)前，該鋼軌網(wǎng)格剛采取了整體更換鋼軌大修作業(yè)，在t=1時(shí)刻該鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)等級(jí)已知為1.經(jīng)計(jì)算，10年規(guī)劃周期內(nèi)的期望總成本最小值v1(I1)為435.954萬(wàn)元，求解出的最優(yōu)維修策略為

圖3 不同編制方法確定出的鋼軌網(wǎng)格RG-A的10年維修規(guī)劃Fig.3 10-year maintenance plan of rail grid RG-A using different models

依據(jù)《鐵路線路修理規(guī)則》(鐵運(yùn)[2006]146號(hào))，中國(guó)鐵路既有的管理方法一般是按照固定的累計(jì)通過總重閾值，周期性地組織安排鐵路鋼軌維修活動(dòng).隴海線上行鋼軌網(wǎng)格RG-A的年平均通過總重為96.588 Mt.鋼軌網(wǎng)格RG-A的整體更換鋼軌大修作業(yè)累計(jì)通過閾值為700 Mt，鋼軌打磨作業(yè)的累計(jì)通過總重閾值為100 Mt.因此，基于中國(guó)鐵路既有的管理方法的維修策略為

通過對(duì)比式(18)和式(19)，圖3(a)與圖3(b)可知：

(1)兩種維修規(guī)劃編制模型確定出的整體更換鋼軌大修作業(yè)的次數(shù)是相同的；相較于中國(guó)鐵路既有的管理方法，模型ORPM-RTG確定出的采取大修活動(dòng)的時(shí)刻推遲了1年.

(2)相較于中國(guó)鐵路既有的管理方法，模型ORPM-RTG確定出的鋼軌打磨次數(shù)減少了5次.

(3)對(duì)于與鋼軌網(wǎng)格RG-A有相同年平均總重的其他隴海線鋼軌網(wǎng)格，中國(guó)鐵路既有的管理方法編制出的維修規(guī)劃是相同的，但模型ORPMRTG考慮了更多的異質(zhì)性因素，因此編制出的維修規(guī)劃是有差異的、更具針對(duì)性.

綜上分析，相較于中國(guó)鐵路既有的管理方法，模型OMPM-RGG在準(zhǔn)確把握鋼軌網(wǎng)格個(gè)性化的狀態(tài)劣化規(guī)律的基礎(chǔ)上，在保證行車安全的前提下，以整個(gè)規(guī)劃周期內(nèi)期望總成本最小為目標(biāo)，能編制出更優(yōu)化的鋼軌網(wǎng)格維修規(guī)劃，有助于維修資源的合理分配.

4 結(jié)論

本文提出了一種新的鐵路鋼軌維修規(guī)劃優(yōu)化編制模型OMPM-RGG.該模型將Markov決策過程方法，首次應(yīng)用到鐵路鋼軌維修規(guī)劃編制問題中，考慮到了鐵路鋼軌未來(lái)劣化狀態(tài)的不確定性；在編制維修規(guī)劃時(shí)，考慮到了鐵路鋼軌狀態(tài)劣化的異質(zhì)性，個(gè)性化地描述了每個(gè)鋼軌網(wǎng)格的狀態(tài)劣化規(guī)律，編制出的維修規(guī)劃更具針對(duì)性.隴海線的實(shí)際案例表明，提出的模型OMPM-RGG優(yōu)于基于累計(jì)通過總重閾值的中國(guó)鐵路既有的管理方法.中國(guó)鐵路既有的管理方法缺少考慮多種異質(zhì)性因素對(duì)鋼軌狀態(tài)劣化的影響，缺少考慮整個(gè)維修規(guī)劃周期總成本.

未來(lái)作者將在模型OMPM-RGG研究成果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究鐵路鋼軌維修進(jìn)度計(jì)劃的優(yōu)化編制(細(xì)化到維修工序?qū)用?、鐵路鋼軌維修質(zhì)量的科學(xué)評(píng)估及鐵路鋼軌風(fēng)險(xiǎn)管理等.