宋泓慶,宋子琪,李森

(常州工學院數(shù)理與化工學院，江蘇 常州 213032)

0 引言

合理飲酒對健康生活起著重要的作用。自2016年國家頒布了新的駕駛員血液酒精含量的檢驗標準以來，人體酒精殘留模型被廣泛研究。朱春浩[1]認為可以利用房室模型和微分方程計算酒精在人體內的體液濃度，用以指導日常飲酒。陳之恒等[2]445-458研究了消化系統(tǒng)中的酒精消除率、酒精從消化系統(tǒng)進入血液循環(huán)系統(tǒng)的吸收轉換率，并計算出不同種類的酒在體液循環(huán)系統(tǒng)中酒精濃度達到峰值的時間。王毅等[3]確定了酒精在人體中從消化系統(tǒng)進入體液，以及從體液中滲出到體外的速度系數(shù)，并根據每天的喝酒量算出可安全駕車的限定時間。宋秀英、李世全、蔡建平等、孫保炬、趙梅春等[4-8]證明了微分方程模型和房室模型在人體酒精分解研究中的正確性及準確性。

上述研究都是基于酒精在較長時間內勻速進入人體中的情況，然而，飲酒時酒精往往是瞬時進入人體的。脈沖時滯微分方程可以更好地描述某些運動狀態(tài)在固定或者不固定時刻的變化規(guī)律或者跳躍。因此，本文采用具有脈沖擴散效應的時滯微分方程模型對人體內酒精含量進行研究。

1 脈沖擴散效應的數(shù)學模型

1.1 模型的建立

根據陳之恒等[2]447的研究，體重為70 kg的男性飲用40 960 mg的酒精，體液中酒精含量在16 h內的變化如表1所示。

表1 體液中酒精含量變化時刻表

下面對模型做出如下假設：

1)人體內酒精轉移速率與酒精的濃度成正比例，這種轉移交換過程遵循質量守恒定律；

2)酒精從胃部向體液的轉移速率及排出體外的速率分別與胃部和體液中的酒精濃度成正比；

3)肝臟對酒精分解速率保持不變；

4)每一時刻，酒精在體內分布均勻；

5)測量的血液的酒精含量即為中心室的酒精含量；

6)體液總體積不變；

7)酒精只會通過體液排出體外；

8)忽略人對酒精的敏感度以及對酒精分解能力的個體化差異。

關于房室模型，究竟取幾個房室比較好沒有準確的定論。通常的做法是先取1個，如果達不到滿意的結果就增加1個，甚至可以采用非線性結構，直到滿意為止。本文選取2個房室：中心室(消化系統(tǒng))和周邊室(血液)。建立二房室的微分方程模型并進行求解。

為了便于模型分析，我們把飲酒方式分為連續(xù)性飲酒和間歇性飲酒。間歇性飲酒即每隔一段時間攝入酒精；連續(xù)性飲酒即一次性持續(xù)攝入酒精。下面針對連續(xù)性飲酒展開研究。

x1(t)表示t時刻消化系統(tǒng)中的酒精含量(單位：mg)，x2(t)代表t時刻血液循環(huán)系統(tǒng)中的酒精含量(單位：mg)，k1為消化系統(tǒng)中的酒精吸收率，k2為血液系統(tǒng)中的酒精消除率。由于是一次性攝入酒精，因此消化系統(tǒng)中的酒精含量初始值為攝入酒精的量，建立微分方程組如下：

根據一階微分方程組解法可以求出該微分方程組的解為

Peter Lodrup，“Challenges to an Established Paternity － Radical Changes in Norwegian Law”，International Survey of Family Law，353，2003，p．357．

根據搜集的數(shù)據(見表1)使用前15組數(shù)據利用MATLAB進行非線性最小二乘擬合，擬合結果如下：k1=2.007 6,k2=0.188 5。

擬合優(yōu)度為97.73%，結果說明擬合效果非常好，k1、k2適應度很高。擬合圖如圖1所示。

圖1 體液中酒精含量擬合圖

經代入第16組數(shù)據進行檢驗，得出的結果為296.29 mg，與搜集的數(shù)據相差109.61 mg。

人們在飲酒的過程中，酒精通常并不是勻速進入胃中，而是瞬時進入，如一飲而盡會導致胃中酒精的突然增多。此時，可以將該過程視為脈沖過程，建立如下微分方程組：

其中：P表示在tk時候的飲酒量；x0表示人體體液中初始時刻酒精量。因此可以得出，每隔λ小時喝一杯酒，則酒精含量就可以表示為

考慮到酒精在人體內的轉移過程，即：酒精從消化系統(tǒng)擴散至體液，由體液擴散至體外，可以建立酒精在人體中具有擴散效應的脈沖數(shù)學模型如下：

該系統(tǒng)假設某人在飲酒的時候，每次都一飲而盡，所以酒精每次都是瞬時進入胃中，該微分方程組中n為飲酒杯數(shù)，τ為從胃中擴散到體液中所產生的時間延遲。當t(tn,tn+1]時，得到的解為

1.2 數(shù)值模擬

根據白酒酒杯的大小，可以假設每杯酒的酒精量為10 mL，一共飲用10杯酒，且喝酒時長為1 h，則t0=0，P=10，n=10，k1=2.007 6，k2=0.188 5，λ=0.05。使用MATLAB進行相關編程并進行數(shù)值模擬，得出胃中酒精含量如圖2所示。

圖2 胃中酒精含量數(shù)值模擬

根據圖2可以看出，每隔3 min喝一杯酒，胃中的酒精含量毫無疑問在最后一杯的時候達到最大值，根據體液中酒精含量的解

e-k2(t-t0)]

可知，大約0.5 h后，伴隨著酒精的脈沖擴散，血液中酒精濃度達到峰值，此時體液中酒精濃度也相應地達到最高。

2 酒后時間控制

根據上述思路進行編程，得出飲用了15 260 mg的酒精后，體液中酒精變化的趨勢如圖3所示。

圖3 體液中酒精含量示意圖

根據國家最新頒布的政策，酒后駕駛分兩種：

1)100 mL體液中酒精含量達到20 mg但不足80 mg，屬于飲酒駕駛;

2)100 mL體液中酒精含量達到或超過80 mg的，屬于醉酒駕駛。

由擬合結果可以看出，飲酒后，在時間段[0.081 5 h,13.125 4 h]內，駕車都是屬于酒后駕車，而在時間段[0.543 5 h,3.824 5 h]屬于醉駕行為。因此，可以得出:飲酒后的13 h內不能駕車;超過13 h后，才符合國家標準。

3 結論

本文在對人體內酒精含量研究基礎上建立了具有脈沖擴散效應的時滯微分方程模型。由于喝酒時，酒精并非均勻進入人體，而且酒精的擴散具有一定的時滯。本文利用醫(yī)藥學動力理論建立的二房室模型，模擬藥物擴散過程，計算過程清晰。通過理論分析和利用MATLAB數(shù)值模擬，對所建立的模型進行了準確的求解，使得結果更加貼近于實際，具有廣泛的應用性，為有關部門給出相關建議時，提供依據。