何東山

（咸陽師范學院 物理與電子工程學院，陜西 咸陽 712000）

天文觀測表明現(xiàn)在的宇宙正在不斷地膨脹[1]，根據(jù)廣義相對論得到的宇宙大爆炸理論，得到科學家們的廣泛認同，因此大爆炸模型也被稱為宇宙學的標準模型。大爆炸理論表明宇宙從一個溫度極高、能量密度極大的奇點演化而來，在奇點處物理量發(fā)散，物理定律在奇點處失效。而量子理論表明，早期宇宙的量子效應顯著，應運用量子引力理論來描述早期宇宙的演化。

引力的量子化仍然是理論物理研究領域的一個難題，目前人們提出的量子引力理論有弦理論、圈量子引力理論、惠勒-德維特方程等。雖然還沒有一個完整、確定的量子引力理論。但是，通過研究一些初步的量子引力理論取得了一些有意義的結果。20世紀80年代開始Hawking、Hartal、Vilenkin、Linde等人將惠勒-德維特方程應用于宇宙學[2-5]，來研究宇宙的創(chuàng)生以及暴漲等問題，本文作者及其合作者曾利用惠勒-德維特方程給出了無需標量場的暴漲模型[6-8]。量子力學中，量子系統(tǒng)的量子態(tài)由滿足薛定諤方程的波函數(shù)描述。哥本哈根學派將波函數(shù)ψ()r的平方解釋為粒子在空間r處的概率密度。與薛定諤方程在量子力學中的作用類似，惠勒-德維特方程是量子宇宙學的基本方程，宇宙的信息包含于滿足惠勒-德維特方程的宇宙波函數(shù)中，因此很容易想到用宇宙波函數(shù)ψ的平方表示宇宙在超空間的概率密度[9]，

然而對于宇宙來說這樣的解釋存在觀測上的困難，人類所處的宇宙只有一個，因此無法用概率詮釋來描述宇宙。根據(jù)哥本哈根詮釋，每觀測一次波函數(shù)就會坍縮，而對于人類所處的唯一的宇宙來說無法通過多次實驗觀測來確定宇宙處于某個狀態(tài)的概率。因而，在量子宇宙學中波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋存在觀測困難。

本文在小超空間模型下，研究了波函數(shù)的物理意義，給出宇宙波函數(shù)的動力學解釋；通過宇宙波函數(shù)收斂的要求給出算符次序因子 p的取值約束；最后，宇宙波函數(shù)的動力學解釋表明Hawking給出的無邊界波函數(shù)在宇宙很大時給出的是一個定態(tài)解，宇宙無法演化，而Vilenkin的隧穿波函數(shù)給出了正確的宇宙演化規(guī)律。

1 惠勒-德維特方程

1967年DeWitt提出了一種對廣義相對論正則量子化的方法[10]，得到惠勒-德維特方程(Wheeler-DeWitt equation)。對于幾乎是無窮多個自由度的宇宙來說，惠勒—德維特方程比較復雜，難以求解。常采用一些簡化模型，對于均勻且各向同性的宇宙，選用具有很高對稱性的小超空間模型（minisuperspace model），可得到描述量子宇宙的惠勒-德維特方程[11]

方程中ψ(a)是宇宙波函數(shù)，包含宇宙演化的所有信息，a為表征宇宙尺度大小的宇宙尺度因子，V(a)表示宇宙勢函數(shù)，p為算符次序因子，mp表示普朗克質量。為了簡便，在后文的計算中選擇普朗克單位制，令?=c=G=1。

2 宇宙波函數(shù)的動力學解釋

宇宙波函數(shù)是復函數(shù)，因此可以將波函數(shù)寫成

其中R（a）和S（a）都是實函數(shù)，可以得到宇宙波函數(shù)密度

量子力學中波函數(shù)密度表示粒子在空間的概率密度，即粒子在r附近處于體積為ΔV的空間內的概率p= | ψ(r)|2ΔV。對比量子力學，宇宙學波函數(shù)密度ρ(a)表示宇宙處于狀態(tài)a的概率密度，那么(a) da表示宇宙處于a1至a2之間的概率。不同于量子力學，我們將這個概率解釋為在整個宇宙的演化時間T內，宇宙從a1演化至a2所用的時間，用公式表示為

波函數(shù)的概率密度很??；表明宇宙處于a1至a2之間的時間很短，即宇宙膨脹（收縮）得很快。反之宇宙的概率密度大表明宇宙演化的慢，處于a1至a2之間的時間長。

從惠勒-德維特方程(1)出發(fā)容易得到系統(tǒng)的守恒流 ja以及守恒方程[12-13]

其中c0為積分常數(shù)，S'表示S（a）對尺度因子a的導數(shù)，由于宇宙尺度因子a以及R2都大于零，因此c0的符號與S'相反。

通過量子哈密頓-雅克比理論，可以得到尺度因子a的演化方程[14-15]

式（9）表明：當 S'＞0時，a˙＜0，即宇宙收縮；而當S'＜0時，a˙＞0，宇宙膨脹。

通過式（8）和式（9）可以得到

3 宇宙波函數(shù)動力學解釋的應用

3.1 算符次序因子的確定

算符次序因子 p是惠勒-德維特方程中由于算符次序不確定引入?yún)?shù)，不同的取值對應不同的量子效應，因此它對早期宇宙的演化有重要影響，p如何取值仍未有定論。本文要求宇宙波函數(shù)處處收斂，即宇宙概率密度ρ()a在任何時候都是一個有限值，可以給出算符次序因子的約束。

現(xiàn)代宇宙論表明宇宙在極早時期(a→0)經(jīng)歷指數(shù)暴漲時期[16]，這個階段哈勃參數(shù)HIn是有限值且變化緩慢，根據(jù)式（10）

要求ρ(a →0)有限可以得到 p+2≤0。

另一方面，尺度因子a很大時，宇宙處于暗能量主導時期，此時宇宙指數(shù)膨脹，哈勃參數(shù)HDE為常數(shù)，同理根據(jù)式（10）可得

要求 ρ(a →∞ )有限，可以得到另一個邊界條件p+2≥0。

因此，根據(jù)上述兩個邊界條件我們得到了算符次序因子的一個約束：p=-2。這個約束消除了惠勒-德威特方程中算符次序引起的不確定性。將p=-2代入式（10）得到

可以看出宇宙波函數(shù)密度僅與哈勃參數(shù)有關，即宇宙波函數(shù)密度只與宇宙膨脹或收縮的速度成反比。

圖1 Hawking-Hartle給出的無邊界波函數(shù)示意圖

圖2 無邊界波函數(shù)給出的哈勃參數(shù)演化規(guī)律

3.2 宇宙波函數(shù)的選擇

惠勒-德維特方程(10)為二階微分方程，完全確定波函數(shù)需要合適的邊界條件。目前有兩種類型的宇宙波函數(shù)方案，一種是Hawking、Hartle根據(jù)歐氏空間的路徑積分給出的無邊界方案(no-boundary propose)[2]，另一種是Vilenkin根據(jù)量子隧穿的思想得到的隧穿方案[3]，這兩種方案哪種正確仍存在爭論[17-18]。我們將波函數(shù)的動力學解釋應用于這兩種方案，研究兩種方案下宇宙的演化情況。

對于包含宇宙學常數(shù)Λ的封閉宇宙，宇宙的勢函數(shù)可以寫為

將式（12）代入惠勒-德維特方程（1），根據(jù)霍金和哈托給出了無邊界波函數(shù)方法，可以得到宇宙波函數(shù)為

圖1為無邊界波函數(shù)示意圖，圖中實線為宇宙勢能曲線，虛線為宇宙波函數(shù)。宇宙很小時(a2Λ≤1)，宇宙處于量子時期。從圖中可看出，在a=0時波函數(shù)ψNB為有限值，即量子宇宙中在a=0處無奇點。當宇宙很大時(a2Λ＞1)，宇宙波函數(shù)不斷震蕩，震蕩的頻率隨著尺度因子a的增加而增加。此時波函數(shù)為純實數(shù)，可以看做是時空膨脹態(tài)和收縮態(tài)波函數(shù)的疊加。根據(jù)波函數(shù)動力學解式（11）可以得到哈勃參數(shù)的演化規(guī)律，圖2為根據(jù)無邊界波函數(shù)得到的宇宙演化規(guī)律，圖2中點線表示哈勃參數(shù)的演化情況，在宇宙很大時，哈勃參數(shù)在快速震蕩，很顯然這并不滿足現(xiàn)在的觀測結論。

在此模型下，宇宙勢函數(shù)相當于一個勢壘，量子力學中粒子穿過勢壘后只有出射波。根據(jù)量子隧穿模型Vilenkin提出了隧穿邊界條件，得到宇宙波函數(shù)為

圖3和圖4分別畫出了隧穿模型下宇宙波函數(shù)和哈勃參數(shù)的演化規(guī)律。隧穿模型中，波函數(shù)只包含一支出射波（膨脹態(tài)波函數(shù)）。從圖4可看出隧穿模型下，哈勃參數(shù)為常數(shù)，宇宙處于指數(shù)加速膨脹狀態(tài)，這與現(xiàn)在的天文觀測結果相一致。

圖3 Vilenkin給出的隧穿波函數(shù)示意圖

圖4 隧穿波函數(shù)給出的哈勃參數(shù)的演化規(guī)律

4 結論

本文提出了宇宙波函數(shù)的動力學解釋。在此解釋中，宇宙波函數(shù)的概率密度ρ(a) Δa 表示在整個宇宙演化的時間T內，宇宙處于Δa的概率，其正比于宇宙處于此狀態(tài)的時間Δt。通過計算得到了宇宙波函數(shù)密度與哈勃參數(shù)之間的關系（式（10）），這樣將宇宙波函數(shù)密度與可觀測量哈勃參數(shù)聯(lián)系起來。其次要求波函數(shù)密度收斂，得到了算符次序因子的約束條件。最后，將概率解釋用于無邊界波函數(shù)和隧穿模型波函數(shù)，計算表明隧穿模型波函數(shù)更能反映宇宙的演化規(guī)律。