，，

1.航天工程大學(xué) 研究生管理大隊(duì)，北京 101416 2.航天工程大學(xué) 航天裝備系，北京 101416

當(dāng)星座的空間部署完成后,其空間構(gòu)型并非一成不變。當(dāng)系統(tǒng)故障或是空間碎片撞擊而導(dǎo)致星座中的衛(wèi)星失效時(shí)，星座的服務(wù)性能必將大打折扣，此時(shí)修復(fù)星座性能的方式一般通過(guò)補(bǔ)發(fā)新的衛(wèi)星來(lái)替換失效衛(wèi)星，但由于受到新衛(wèi)星研制周期、生產(chǎn)成本以及發(fā)射窗口的限制，該方法不可能在短時(shí)間內(nèi)快速恢復(fù)受損星座的服務(wù)性能。此時(shí)若能對(duì)星座中未失效衛(wèi)星進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)來(lái)調(diào)整星座構(gòu)型，最大程度地修復(fù)和改善星座對(duì)目標(biāo)區(qū)域或重點(diǎn)區(qū)域的服務(wù)性能，將顯得尤其重要[1]。

針對(duì)星座中出現(xiàn)失效衛(wèi)星且不存在備份衛(wèi)星的情況，文獻(xiàn)[2]針對(duì)連續(xù)多顆衛(wèi)星失效的情況，以最大不可視時(shí)間為評(píng)價(jià)指標(biāo)，提出了調(diào)整相鄰衛(wèi)星、均勻相位和均勻星座3種星座重構(gòu)策略綜合考慮燃料消耗和重構(gòu)時(shí)間，提出了以總重構(gòu)時(shí)間最小為優(yōu)化目標(biāo)的衛(wèi)星星座快速重構(gòu)構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[3]針對(duì)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)在部分衛(wèi)星失效的情況下，通過(guò)調(diào)整剩余衛(wèi)星的軌道進(jìn)行星座重構(gòu)，達(dá)到降低失效影響、優(yōu)化地面導(dǎo)航性能的目的。文獻(xiàn)[4]研究了將GPS從6軌道面變換到3軌道面時(shí)，對(duì)星座性能影響最小的構(gòu)型變換重構(gòu)控制策略。文獻(xiàn)[5]研究了混合導(dǎo)航星座的中高軌道子星座重構(gòu)策略和同軌道面內(nèi)重構(gòu)的方法，分析了重構(gòu)優(yōu)化目標(biāo)與方法。文獻(xiàn)[6]研究了導(dǎo)航星座中部分衛(wèi)星失效后對(duì)星座性能的影響，提出了利用高、中、低軌衛(wèi)星及臨近空間飛行器進(jìn)行任務(wù)重構(gòu)的方法。

綜合前人的研究成果，本文以建成后的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為研究對(duì)象，針對(duì)星座中有衛(wèi)星失效的情況，通過(guò)對(duì)在軌衛(wèi)星進(jìn)行相位機(jī)動(dòng)的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)星座構(gòu)型的重構(gòu)。重點(diǎn)從重構(gòu)構(gòu)型優(yōu)化模型的建立、求解以及仿真等3個(gè)方面，對(duì)導(dǎo)航星座中有衛(wèi)星失效的重構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行分析。建立了共面軌道相位機(jī)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，并總結(jié)出了不同情況下相位機(jī)動(dòng)中存在的規(guī)律，建立了除重構(gòu)時(shí)間、重構(gòu)能量外新的重構(gòu)指標(biāo)，并以此為目標(biāo)函數(shù)對(duì)重構(gòu)構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化。

1 軌道機(jī)動(dòng)模型與重構(gòu)指標(biāo)

1.1 軌道機(jī)動(dòng)模型

為了使重構(gòu)后的星座能夠在長(zhǎng)期運(yùn)行過(guò)程中保持相對(duì)穩(wěn)定的空間構(gòu)型，本文在對(duì)星座中衛(wèi)星的軌道參數(shù)進(jìn)行調(diào)整時(shí)，僅改變衛(wèi)星的相位角，即衛(wèi)星在軌道上的位置，其他參數(shù)保持不變。根據(jù)調(diào)相過(guò)程中是否涉及軌道面間的機(jī)動(dòng)，將衛(wèi)星相位調(diào)整方式分為共面軌道相位機(jī)動(dòng)和非共面軌道相位機(jī)動(dòng)。考慮到非共面變軌和共面變軌在能量消耗上的顯著差異，本文選擇共面軌道相位機(jī)動(dòng)的方式來(lái)改變星座中衛(wèi)星的相位角。共面軌道相位機(jī)動(dòng)又分為共面低軌變相和共面高軌變相。

(1)共面低軌變相

初始位置與目標(biāo)位置之間的位置關(guān)系可以分為相位超前與相位滯后兩種。從初始位置沿著衛(wèi)星在軌道上的運(yùn)行方向到目標(biāo)位置所轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ,

(1)

如圖1所示，針對(duì)相位超前的情況利用低軌變相的方法來(lái)調(diào)整衛(wèi)星在軌道上的相位角。

圖中原始軌道為圓軌道其軌道半長(zhǎng)軸為a0，轉(zhuǎn)移軌道的軌道半長(zhǎng)軸為a，初始位置和目標(biāo)位置的真近點(diǎn)角為f0、f。位于初始位置的衛(wèi)星施加一次沖量后進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道，當(dāng)衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)行數(shù)圈后，位于目標(biāo)位置上的衛(wèi)星正好運(yùn)行到初始位置，此時(shí)再施加一次沖量使衛(wèi)星從轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)入原始軌道，衛(wèi)星在原軌道上的真近點(diǎn)角由f0變成f。

第一次變軌時(shí)，衛(wèi)星在原軌道上的速度為v1，衛(wèi)星進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道后的速度為v2,

(2)

式中：μ為地球引力常數(shù)。

第一次變軌和第二次變軌的速度增量分別為Δv1和Δv2，完成相位調(diào)整所需要的總能量用ΔV表示，

(3)

這一過(guò)程中，位于初始位置的衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上等待的圈數(shù)為Ntra，位于目標(biāo)位置的衛(wèi)星在原始軌道上運(yùn)行的整圈數(shù)為Norg，完成相位調(diào)整所需要的總時(shí)間為ΔT，有：

(4)

式中:θ的取值由初始位置和目標(biāo)位置的真近點(diǎn)角而定;因?yàn)槭堑蛙壸兿啵赞D(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸a必須滿足：

(5)

式中：Re為地球半徑。

假設(shè)在星座重構(gòu)過(guò)程中具備同時(shí)調(diào)整兩顆及以上衛(wèi)星的能力，對(duì)于整個(gè)星座而言，完成重構(gòu)所需要的總能量和總時(shí)間用Vrec和Trec表示：

(6)

式中：i∈Satadj，Satadj為被調(diào)整衛(wèi)星的編號(hào)集合；ΔVi和ΔTi分別為所調(diào)整衛(wèi)星中編號(hào)為i的衛(wèi)星完成重構(gòu)所需要的總能量和總時(shí)間。

(2)共面高軌變相

對(duì)于共面高軌變相而言，其完成相位調(diào)整所需總時(shí)間ΔT和總能量ΔV的表達(dá)式皆與低軌變相相同，在此不再贅述。與低軌變相的區(qū)別在于轉(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸所滿足的約束條件不同，對(duì)于高軌變相而言有：

a0

(7)

(3)調(diào)相方式的選擇

理論上共面低軌變相和共面高軌變相兩種共面軌道相位調(diào)整方式都可以解決相位超前和相位滯后的情況，但在實(shí)際問(wèn)題中，綜合考慮機(jī)動(dòng)時(shí)間和機(jī)動(dòng)能量，一般對(duì)于相位超前采用共面高軌變相，相位滯后則采用共面低軌變相[7]。除此之外不同相位調(diào)整方式中還存在其他的規(guī)律。

假設(shè)現(xiàn)將北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中某MEO衛(wèi)星的真近點(diǎn)角從60°調(diào)整至30°(相位超前)和90°(相位滯后)，設(shè)定完成相位機(jī)動(dòng)所需的時(shí)間ΔT≤4d，利用上文建立的相位機(jī)動(dòng)模型，得到相位超前下共面高軌變相和相位滯后下共面低軌變相兩種情況下的所有調(diào)相策略，如圖2、圖3所示。

從圖2中可以看出：對(duì)于相位超前而言，在機(jī)動(dòng)時(shí)間不同的情況下,即Norg取不同的值時(shí)，對(duì)應(yīng)的共面高軌變相的所有機(jī)動(dòng)策略中，當(dāng)ΔV最小時(shí)均滿足Ntra=Norg。

從圖3中可以看出：對(duì)于相位滯后而言，在機(jī)動(dòng)時(shí)間不同的情況下即Norg取不同的值時(shí)，對(duì)應(yīng)的共面低軌變相的所有機(jī)動(dòng)策略中，當(dāng)ΔV最小時(shí)均滿足Ntra=Norg+1。

1.2 重構(gòu)指標(biāo)

重構(gòu)指標(biāo)是用來(lái)描述重構(gòu)構(gòu)型的量化數(shù)據(jù)，目前針對(duì)于星座重構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)問(wèn)題考慮最多的就是重構(gòu)的時(shí)間和能量，這兩個(gè)指標(biāo)固然重要，但也不能全面的評(píng)價(jià)重構(gòu)構(gòu)型和重構(gòu)過(guò)程的優(yōu)劣和好壞，除此之外還應(yīng)該考慮的指標(biāo)有重構(gòu)后星座的性能指標(biāo)、重構(gòu)能量的均衡度、以及重構(gòu)構(gòu)型的健壯性等。

(1)導(dǎo)航星座精度因子

對(duì)于導(dǎo)航星座而言，最關(guān)心的就是其定位精度。而定位精度除了受到各偽距測(cè)量值的影響還取決于星座的空間構(gòu)型[8]。該構(gòu)型可以用一個(gè)標(biāo)量來(lái)表示，在導(dǎo)航領(lǐng)域中一般稱為精度因子[9](Dilution of Precision，DOP)。DOP值的大小與定位誤差成正比，理論上DOP值越小，定位誤差越小，定位精度越高。

DOP值又可以分為GDOP(幾何精度因子)、PDOP(位置精度因子)、HDOP(水平精度因子)、VDOP(垂直精度因子)和TDOP(時(shí)間精度因子)。本文選用GDOP值作為衡量導(dǎo)航星座定位精度的指標(biāo)，分析某一時(shí)段內(nèi)導(dǎo)航星座對(duì)目標(biāo)區(qū)域的定位精度時(shí)，選用目前航天工程中運(yùn)用最廣泛的一種數(shù)值分析方法——網(wǎng)格點(diǎn)法?？紤]到GDOP值是一個(gè)隨時(shí)間和空間而變化的量，本文通過(guò)對(duì)目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的所有網(wǎng)格點(diǎn)每一時(shí)刻的GDOP值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到仿真時(shí)段內(nèi)目標(biāo)區(qū)域GDOP值的平均值，并用該統(tǒng)計(jì)量來(lái)表示導(dǎo)航星座對(duì)目標(biāo)區(qū)域的定位精度。

(2)重構(gòu)能量的均衡度

重構(gòu)能量的均衡度是描述不同衛(wèi)星完成重構(gòu)任務(wù)所消耗能量的一致性，該指標(biāo)越小說(shuō)明重構(gòu)過(guò)程中各衛(wèi)星消耗的能量越均衡。重構(gòu)過(guò)程中不同衛(wèi)星所消耗推進(jìn)劑的不同，往往會(huì)造成重構(gòu)后衛(wèi)星機(jī)動(dòng)能力的差別，這不僅會(huì)使得星座中衛(wèi)星的工作壽命參差不齊，還會(huì)影響重構(gòu)后星座的整體服役時(shí)間。重構(gòu)能量的均衡度用Prec表示，其大小為所有參與重構(gòu)的衛(wèi)星所消耗能量的方差：

(8)

(9)

(3)重構(gòu)構(gòu)型的健壯性

重構(gòu)構(gòu)型的健壯性是衡量重構(gòu)后星座的降階使用能力，該指標(biāo)越小說(shuō)明重構(gòu)后的星座抵抗衛(wèi)星失效情況的本領(lǐng)越強(qiáng)。建立該指標(biāo)是期望通過(guò)重構(gòu)不僅使得星座性能得到恢復(fù)和提升，也希望當(dāng)星座中再出現(xiàn)衛(wèi)星失效的情況時(shí)，星座性能不會(huì)出現(xiàn)大幅度的下降。對(duì)于一個(gè)在軌運(yùn)行的導(dǎo)航星座而言，如果不是非合作目標(biāo)的故意破壞，同時(shí)出現(xiàn)多顆衛(wèi)星失效的概率微乎其微，本文在衡量重構(gòu)構(gòu)型的健壯性時(shí)，以單顆衛(wèi)星失效下的星座性能為參考，重構(gòu)構(gòu)型的健壯性用Srec表示：

(10)

2 差分進(jìn)化算法在重構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

2.1 重構(gòu)構(gòu)型優(yōu)化模型

重構(gòu)構(gòu)型直接決定了重構(gòu)后的星座性能，與星座構(gòu)型設(shè)計(jì)一樣，重構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)也屬于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題[10]，但與星座構(gòu)型設(shè)計(jì)不同的是重構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)所需要考慮的因素一般有重構(gòu)后星座性能的提升程度，重構(gòu)過(guò)程中的時(shí)間和能量消耗等；而星座構(gòu)型設(shè)計(jì)考慮的則往往是星座的研制成本、發(fā)射代價(jià)、星座的服務(wù)性能、星座的運(yùn)營(yíng)和管理成本等。

(1)優(yōu)化變量

(2) 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)成直接決定了算法的收斂方向。確定目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)成就是確定目標(biāo)函數(shù)中包含哪些指標(biāo)[11]。對(duì)于星座構(gòu)型重構(gòu)問(wèn)題，本文選擇的目標(biāo)函數(shù)有：GDOPave目標(biāo)區(qū)域的平均GDOP值；Vrec重構(gòu)能量；Prec重構(gòu)能量的均衡度；Srec重構(gòu)構(gòu)型的健壯性。

(3)約束條件

設(shè)定在基于軌道機(jī)動(dòng)的導(dǎo)航星座重構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)中的約束條件為：相位超前時(shí)(θ∈(0,180°))選擇共面高軌變相，且有Ntra=Norg；相位滯后時(shí)(θ∈[180°，360°))選擇共面低軌變相，且有Ntra=Norg+1。除了機(jī)動(dòng)過(guò)程中的約束，本文還將重構(gòu)時(shí)間Trec也作為約束條件。

2.2 差分進(jìn)化算法

(1)差分進(jìn)化算法的一般流程

差分進(jìn)化算法(Differential Evolution，DE)自1995年由Kenneth Price和Rainer Storn發(fā)表以來(lái)，一直被譽(yù)為一種非常高效的全局優(yōu)化器，在處理連續(xù)或離散參數(shù)的全局優(yōu)化問(wèn)題上得到了廣泛的應(yīng)用[12]。DE算法的實(shí)現(xiàn)步驟主要包括初始化、變異、交叉和選擇，算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

Begin

初始化參數(shù): 種群規(guī)模Np,交叉概率Cr,

縮放因子F,最大迭代次數(shù)gmax

g(種群代數(shù))=0

產(chǎn)生初始種群：Pg=(X1,g,X2,g,…XNp,g)

評(píng)價(jià)初始種群：

f(Pg)=[f(X1,g),f(X2,g),…,f(XNp,g)]

While不滿足終止條件, Do

Fori=1:Np

End for

g=g+1

End While

輸出最優(yōu)結(jié)果

End

(2)基于Pareto占優(yōu)的選擇準(zhǔn)則

與單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題不同，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題通常不存在一個(gè)能滿足所有目標(biāo)同時(shí)取得最優(yōu)值的理想解，優(yōu)化某一目標(biāo)的同時(shí)通常會(huì)以劣化其他目標(biāo)為代價(jià)，其求解過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)不斷權(quán)衡和折中的過(guò)程，針對(duì)這一問(wèn)題本文引入了Pareto優(yōu)化方法。

假設(shè)可行解x1對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值中沒(méi)有一個(gè)值大于且至少有一個(gè)值小于可行解x2的目標(biāo)函數(shù)值，則稱可行解x1相比于x2占優(yōu)或x1支配x2：

(11)

可行解x不被可行域S內(nèi)的其他解所支配，則稱該可行解為Pareto最優(yōu)解，所有非支配解所組成的集合稱為Pareto最優(yōu)解集，Pareto最優(yōu)解集在目標(biāo)函數(shù)空間中的存在形式為Pareto前沿[13]。在差分進(jìn)化算法中利用Pareto占優(yōu)方法對(duì)試驗(yàn)向量和目標(biāo)向量進(jìn)行選擇，最終可以將種群驅(qū)使到Pareto前沿：

Xi,g+1=

(12)

(3)維數(shù)可變優(yōu)化問(wèn)題的編碼方式

基于軌道機(jī)動(dòng)的導(dǎo)航星座重構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)問(wèn)題是一個(gè)維數(shù)可變的優(yōu)化問(wèn)題，被調(diào)整的衛(wèi)星數(shù)直接決定了染色體的長(zhǎng)度，對(duì)于差分進(jìn)化算法而言，不同長(zhǎng)度的染色體之間無(wú)法直接進(jìn)行變異和交叉等操作[14]。為此本文采用分層編碼的方式，對(duì)變量進(jìn)行編碼，如圖4所示。

3 仿真算例

3.1 算例描述

以建成后的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為對(duì)象，星座中包含了35顆，其中：3顆IGSO衛(wèi)星分布在3個(gè)軌道傾角為55°的同步軌道上，交叉點(diǎn)地理經(jīng)度為東經(jīng)118°，且3顆衛(wèi)星的星下點(diǎn)軌跡相互重合，相位角相差120°；5顆GEO衛(wèi)星的定點(diǎn)經(jīng)度分別為東經(jīng)58.75°、80°、110.5°、140°、160°；27顆MEO衛(wèi)星均勻地分布在3個(gè)軌道傾角為55°的圓軌道面內(nèi)，軌道高度為21 500 km。假定北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中的MEO衛(wèi)星全部失效，現(xiàn)對(duì)其余3顆IGSO衛(wèi)星和5顆GEO衛(wèi)星進(jìn)行在軌重構(gòu)，仿真時(shí)間為[1 Jan 2020 00:00:00.000 UTCG]～[8 Jan 2020 00:00:00.000 UTCG]，根據(jù)北斗衛(wèi)星的構(gòu)形參數(shù)設(shè)定1 Jan 2020 00:00:00.000北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中GEO、MEO衛(wèi)星的空間位置如圖5所示，并對(duì)星座中剩余衛(wèi)星進(jìn)行編號(hào)。

目標(biāo)區(qū)域?yàn)閬喬珔^(qū)域(東經(jīng)55°～東經(jīng)180°，南緯55°～北緯55°)，重構(gòu)時(shí)間Trec≤5D，初始種群的規(guī)模為100，縮放因子為0.9，交叉概率為0.5，最大迭代次數(shù)為50。

3.2 仿真結(jié)果分析

(1)減少重構(gòu)能量

選擇GDOPave和Vrec為目標(biāo)函數(shù)，得到該優(yōu)化問(wèn)題的Pareto前沿如圖6所示。

(2)降低重構(gòu)能量均衡度

選擇GDOPave和Prec為目標(biāo)函數(shù)，得到該優(yōu)化問(wèn)題的Pareto前沿如圖7所示。

表1 減少重構(gòu)能量下的衛(wèi)星重構(gòu)策略

編號(hào)fi/(°)Niorg/圈Nitra/圈ΔVi/(km·s-1)2278.7230.1769350.5340.15554249.6330.09515233.3110.26836297.9110.1511745.3230.04498134.3450.0827

(3)增強(qiáng)重構(gòu)構(gòu)型健壯性

選擇GDOPave和Srec為目標(biāo)函數(shù)，得到該優(yōu)化問(wèn)題的Pareto前沿如圖8所示，

圖8中GDOPave的取值范圍為[2.749 0,3.492 9]，Srec的取值范圍為[1,4.900]。當(dāng)GDOPave=2.749 0時(shí)對(duì)應(yīng)的上層染色體(S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8)=(0,0,0,1,0,1,1,1),即有編號(hào)為4、6、7、8的衛(wèi)星參與重構(gòu)，且f4=68.0°，f6=49.4°，f7=251.9°，f8=49.4°，只有當(dāng)重構(gòu)后星座中編號(hào)為1的衛(wèi)星失效時(shí)，星座性能受到的影響最大，此時(shí)GDOPave達(dá)到13.470 1；當(dāng)GDOPave=3.492 9時(shí)，與重構(gòu)前相比，星座性能提升了18.1%，對(duì)應(yīng)的上層染色體(S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8)=(1,1,0,1,0,1,1,0)，即編號(hào)1、2、4、6、7的衛(wèi)星參與重構(gòu)，且f1=175.3°，f2=267.6°，f4=188.5°，f6=128.7°，f7=194.2°，只有當(dāng)重構(gòu)后星座中編號(hào)為1的衛(wèi)星失效時(shí)，星座性能受到的影響最大，此時(shí)GDOPave達(dá)到265.037 7。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了包括重構(gòu)能量、重構(gòu)時(shí)間、重構(gòu)能量均衡度、重構(gòu)構(gòu)型健壯性以及星座性能指標(biāo)在內(nèi)的重構(gòu)指標(biāo)模型，并以此為目標(biāo)函數(shù)對(duì)重構(gòu)構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化，但本文僅分析了對(duì)在軌衛(wèi)星進(jìn)行相位機(jī)動(dòng)的方式來(lái)提升和恢復(fù)受損導(dǎo)航星座性能的方法，除此之外，還有利用快速發(fā)射系統(tǒng)增發(fā)衛(wèi)星和借助其他導(dǎo)航星座形成組合導(dǎo)航系統(tǒng)來(lái)增強(qiáng)受損導(dǎo)航星座性能的方法[15]。而這正是作者接下來(lái)要研究的內(nèi)容。