，,*，，

1.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004 2.燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島 066004

空間指向機(jī)構(gòu)在哈勃望遠(yuǎn)鏡、空間光學(xué)相機(jī)、星載數(shù)傳天線等航空航天設(shè)備中具有廣泛的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的實(shí)時(shí)跟蹤、掃描、定位等功能。指向機(jī)構(gòu)的性能對接收信息的穩(wěn)定性和成像質(zhì)量有很大影響。運(yùn)動(dòng)副間隙、摩擦磨損等因素對機(jī)構(gòu)工作影響較大，它會(huì)降低機(jī)構(gòu)運(yùn)行精度，使其運(yùn)行軌跡發(fā)生非線性波動(dòng)，機(jī)構(gòu)發(fā)生顫動(dòng)等現(xiàn)象，因此研究計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙、摩擦磨損等因素對空間指向機(jī)構(gòu)的影響，在航空航天技術(shù)的發(fā)展領(lǐng)域具有重大意義。文獻(xiàn)[1]對空間雙軸指向機(jī)構(gòu)的指向速度、加速度、精度等參數(shù)指標(biāo)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，分析了其運(yùn)動(dòng)性能。文獻(xiàn)[2-3]建立了一種含軸向尺寸的線接觸碰撞鉸模型，在此基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)的非線性法向碰撞力模型和修正的切向庫倫摩擦力模型，對機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[4]在可展結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副中引入間隙，采用修正的庫倫摩擦力模型，分別計(jì)算了含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副元素之間的法向與切向接觸力，將關(guān)節(jié)間隙效應(yīng)引入到可展結(jié)構(gòu)中。

文獻(xiàn)[5-6]以含間隙雙軸機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果為基礎(chǔ)，計(jì)算得到了間隙運(yùn)動(dòng)副副元素的動(dòng)態(tài)磨損量，最后分析了含間隙雙軸機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。文獻(xiàn)[7]提出了非累積性因素和累積性因素耦合作用下平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠性仿真試驗(yàn)方法。文獻(xiàn)[8]建立了含多間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析，應(yīng)用Archard磨損模型對間隙運(yùn)動(dòng)副的磨損進(jìn)行了預(yù)測。文獻(xiàn)[9]基于無質(zhì)量桿-彈簧阻尼模型建立了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型，提出了一種新的含間隙鉸接副磨損分析方法。文獻(xiàn)[10]通過集成柔性多體動(dòng)力學(xué)與磨損計(jì)算程序，提出了一種用于對柔性多體系統(tǒng)中間隙鉸接副部位的磨損進(jìn)行了預(yù)測的方法。文獻(xiàn)[11]考慮接觸過程中銷軸和孔的接觸面曲率半徑變化趨勢，建立了磨損仿真模型。文獻(xiàn)[12]以某衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)為研究對象，分析旋轉(zhuǎn)鉸在系統(tǒng)運(yùn)行中的磨損規(guī)律。文獻(xiàn)[13]對考慮間隙機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)副進(jìn)行了磨損計(jì)算，并分析了間隙增大對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響關(guān)系。文獻(xiàn)[14]對空間高精度指向機(jī)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，觀察了二硫化鉬固體潤滑涂層磨損情況，分析了力矩波動(dòng)與輸出精度。

現(xiàn)有的相關(guān)研究大多是采用試驗(yàn)方法對選定機(jī)構(gòu)靜態(tài)時(shí)的磨損進(jìn)行分析，因忽略動(dòng)態(tài)因素的影響，研究結(jié)果與實(shí)際情況有一定差異。因此，有必要對動(dòng)態(tài)時(shí)接觸碰撞力、相對滑移速度和動(dòng)態(tài)磨損特性進(jìn)行研究。

本文研究了含間隙空間二維指向機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副發(fā)生磨損以后的動(dòng)態(tài)特性，并進(jìn)一步預(yù)測了機(jī)構(gòu)的使用壽命。研究工作為提高指向機(jī)構(gòu)的使用性能與應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

1 機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)及動(dòng)力學(xué)模型

1.1 指向機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)

如圖1所示，二維指向機(jī)構(gòu)由擺鏡、U形架、電機(jī)、諧波減速器、同步感應(yīng)器軸系(體1、體2)與關(guān)節(jié)組成，其中軸系包括俯仰軸系和方位軸系。

一般來說，要求機(jī)構(gòu)的整體質(zhì)量小，且懸臂盡可能短，以減少整個(gè)衛(wèi)星質(zhì)量，減少支點(diǎn)的懸臂力矩。因此，各主要組成部分盡可能輕量化。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

假設(shè)將二維指向機(jī)構(gòu)視為剛體，不考慮驅(qū)動(dòng)電機(jī)的間隙非線性影響。

建立坐標(biāo)系如圖2所示。其中，O0-x0y0z0為二維指向機(jī)構(gòu)的基坐標(biāo)系，即為{0}坐標(biāo)系；坐標(biāo)系O1-x1y1z1和O2-x2y2z2分別固定在關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)軸上，即為{1}坐標(biāo)系和{2}坐標(biāo)系。其中，各關(guān)節(jié)分別繞z1軸和z2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移為θ1和θ2；B點(diǎn)為末端上的點(diǎn)；irci為各體質(zhì)心關(guān)于{i}中的位置矢量；Bp表示點(diǎn)B在基準(zhǔn)坐標(biāo)系中的位置向量。體i(i=1,2)的長為Li，體i的質(zhì)心Si(i=1,2)到第i個(gè)軸質(zhì)心的距離為LSi，體i的質(zhì)量為mi，體i繞第i個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ji，設(shè)作用在體i上的驅(qū)動(dòng)力矩為Ti。

(1)運(yùn)動(dòng)副的數(shù)學(xué)模型

如圖3所示，含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)軸中心點(diǎn)移動(dòng)距離為：

(1)

式中：eix為ei在x方向投影；eiy為ei在y方向投影。

軸心在含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副中方位角φi為：

(2)

內(nèi)部接觸碰撞產(chǎn)生的穿刺量為：

δi=ei-ci

(3)

式中：ci初始間隙值。

由于機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副均具有間隙，在關(guān)節(jié)2處建立過渡坐標(biāo)系{A}，如圖4所示。原點(diǎn)位于關(guān)節(jié)2軸套中心位置。

建立多體系統(tǒng)齊次變換矩陣為：

(4)

(2)接觸碰撞力

采用非線性彈簧阻尼模型來描述運(yùn)動(dòng)副內(nèi)接觸碰撞力[15]，其廣義形式為：

(5)

(3)切向摩擦力

采用修正的庫倫摩擦力模型來求解運(yùn)動(dòng)副間切向摩擦力[16]，其表達(dá)式為：

Ft=-μtcdFn(νt/vt)

(6)

式中：μt為滑動(dòng)摩擦系數(shù)；cd為動(dòng)態(tài)修正系數(shù)。

(4)廣義力

采用牛頓歐拉方程，正向求解各體質(zhì)心處的慣性力和慣性力矩，然后在從末端逐次向基座反向求解各轉(zhuǎn)軸所受的力和力矩，寫成矩陣形式。

(7)

其中，矩陣M*中各變量皆為與θ1、θ2相關(guān)的參數(shù)，在此不再贅述。

各關(guān)節(jié)的力矩T的表達(dá)式為：

2 機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)磨損特性分析

接觸表面磨損時(shí)，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)副間隙進(jìn)一步增大，且磨損后運(yùn)動(dòng)副工作面形貌呈非規(guī)則變化。下面研究考慮磨損后的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性。

2.1 動(dòng)態(tài)磨損計(jì)算模型

Archards模型為：

(8)

式中：Ka為磨損系數(shù)；N為法向接觸載荷；H為材料的硬度；V為磨損量；S為滑移距離。

將上式轉(zhuǎn)換成微分形式，其為：

(9)

2.2 磨損量計(jì)算

利用磨損計(jì)算模型式(9)，計(jì)算磨損量，計(jì)算流程如圖5所示。

通過分析可知，在任何工況下，空間二維指向機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)1都比關(guān)節(jié)2更容易失效，所以以下研究主要針對關(guān)節(jié)1來進(jìn)行分析。體1桿長L1為0.5 m，質(zhì)心LS1為0.257 7 m，質(zhì)量m1為3.672 5 kg，慣量JO1為0.440 8 kg·m2，關(guān)節(jié)1軸套半徑R1為0.050 2 m，軸半徑R3為0.05 m；采用參數(shù)攝取法，提取關(guān)節(jié)1處的接觸碰撞力，代入式(9)求解，式中Ka、H為與材料特性有關(guān)的參量，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得[17]Ka=9.956×10-8，H=1.71×109時(shí)，其磨損量仿真結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)副之間沒有相對運(yùn)動(dòng)時(shí)(即t=0時(shí))，磨損量為零；當(dāng)產(chǎn)生相對運(yùn)動(dòng)時(shí)，磨損量發(fā)生變化。

2.3 一次磨損深度計(jì)算

假設(shè)運(yùn)動(dòng)副工作面上的磨損量已知，那么相同接觸材料的磨損深度只與接觸區(qū)域的面積有關(guān)?？紤]h/s代表任意時(shí)刻的磨損率，磨損模型可寫為：

(10)

式中：h為磨損深度；P為接觸碰撞壓強(qiáng)。

接觸長度是一個(gè)和穿刺深度有關(guān)的變量，由于它的值很小，本文采用穿刺深度的2倍來表示接觸長度，軸承寬度為d=27mm，運(yùn)動(dòng)副的磨損深度變化曲線如圖7所示。

由圖7可知，磨損深度曲線隨時(shí)間波動(dòng)較大。原因?yàn)椋阂皇怯捎诮佑|時(shí)間一般比較短；二是由于對關(guān)節(jié)施加的驅(qū)動(dòng)力矩是變化的，且運(yùn)動(dòng)副副元素間接觸力呈非線性。

2.4 輪廓重構(gòu)

將轉(zhuǎn)動(dòng)副在極坐標(biāo)內(nèi)分成若干個(gè)區(qū)間，不同時(shí)刻的接觸點(diǎn)落在ds區(qū)域內(nèi)。把每次落在ds區(qū)域內(nèi)的磨損深度進(jìn)行疊加，即可得到運(yùn)行一段時(shí)間后ds區(qū)域的磨損深度。若運(yùn)動(dòng)部分接觸n次，將轉(zhuǎn)動(dòng)副上各區(qū)域內(nèi)不同時(shí)刻發(fā)生接觸時(shí)的磨損深度疊加，如圖8所示。則該區(qū)域磨損深度為：

(11)

轉(zhuǎn)動(dòng)副工作面不同位置與疊加后的磨損深度關(guān)系如圖9所示?？紤]磨損后，工作面輪廓重構(gòu)步驟為：

1)將磨損前運(yùn)動(dòng)副半徑疊加上各點(diǎn)的磨損深度，得到新的曲線圓半徑；

2)確定磨損后的表面形貌；

3)重構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副工作面輪廓。

圖10為重構(gòu)后的工作面輪廓。從圖10可知，轉(zhuǎn)動(dòng)副的磨損深度不同，呈非線性變化，這是由機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)速度和碰撞力的非線性變化造成的。

2.5 磨損后機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性分析

圖12、圖13分別為關(guān)節(jié)1在考慮磨損后和理想情況下的接觸碰撞力、切向接觸力變化曲線。在考慮磨損情況下，隨著輸入驅(qū)動(dòng)變化，碰撞力所產(chǎn)生的波動(dòng)更加明顯，峰值更大，且波動(dòng)發(fā)生時(shí)刻要滯后于理想情況；切向摩擦力峰值變大，波動(dòng)也更加明顯。上述情況主要是因?yàn)槟p使運(yùn)動(dòng)副工作面呈現(xiàn)出非規(guī)則形貌，存在很多突起或凹陷，極大的增加摩擦力，降低了機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性。

3 機(jī)構(gòu)磨損壽命預(yù)測方法

為了加快磨損壽命預(yù)測模型運(yùn)算效率，將機(jī)構(gòu)整個(gè)運(yùn)行過程分為若干階段，每一段運(yùn)行時(shí)間中的接觸力和相對滑移速度采用擬合函數(shù)代替。將相應(yīng)函數(shù)帶入式(9)中，建立動(dòng)態(tài)的磨損數(shù)學(xué)模型。

3.1 建立擬合函數(shù)

(1)接觸碰撞力隨間隙變化公式擬合

基于第1.2節(jié)含間隙空間二維指向機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，給定驅(qū)動(dòng)力矩T1=0.5sin(πt) N·m；T2=0.2sin(πt) N·m，分析間隙值為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5時(shí)的接觸碰撞力變化情況，并進(jìn)行對比。

圖14為間隙大小不同時(shí)關(guān)節(jié)1碰撞力的變化情況。關(guān)節(jié)碰撞力在某些時(shí)段發(fā)生交替突變，而且隨著間隙值的增大，突變時(shí)間會(huì)有所延遲，突變峰值也隨著變大。

提取不同間隙時(shí)內(nèi)部接觸碰撞力數(shù)組的中位數(shù)，擬合其碰撞力的變化曲線。如圖15所示，擬合工具采用1階線性擬合。

隨著磨損間隙值越變越大，碰撞力也越來越大，間隙值與碰撞力近似成正比例關(guān)系。接觸力Fn與間隙c的函數(shù)關(guān)系更接近于線性關(guān)系，其表達(dá)式為:

F1=K1c+B1

(12)

式中：K1為碰撞系數(shù)；B1為初始碰撞力。

(2)相對滑移速度隨時(shí)間變化公式擬合

同上可知，兩關(guān)節(jié)在給定角速度時(shí)，可以得到不同間隙下運(yùn)動(dòng)副碰撞力的變化情況；當(dāng)兩關(guān)節(jié)角速度都為ω=2πrad/s時(shí)，不同間隙碰撞力變化的擬合曲線如圖16所示。

接觸力Fn與間隙c的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為:

F2=K2c+B2

(13)

式中：K2為碰撞系數(shù)；B2為初始碰撞力。

建立速度隨時(shí)間變化的計(jì)算公式為：

(14)

在給定運(yùn)轉(zhuǎn)角速度為ω=2πrad/s時(shí)，關(guān)節(jié)1相對滑移速度公式如下：

(15)

3.2 磨損失效壽命預(yù)測

以機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)為目標(biāo)，研究其磨損失效壽命，其分析流程如圖17所示。根據(jù)二維指向機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型和動(dòng)態(tài)磨損模型分別計(jì)算碰撞接觸力和磨損量，運(yùn)行結(jié)束后，將產(chǎn)生的磨損深度疊加到間隙值上，在基于疊加后含間隙機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)接觸力計(jì)算下一時(shí)間段的磨損深度，如此循環(huán)將每一時(shí)間段所產(chǎn)生的不同磨損深度疊加即可得到最終的間隙值。

利用含間隙運(yùn)動(dòng)副內(nèi)部間隙值與接觸力之間的對應(yīng)關(guān)系，運(yùn)行時(shí)間與相對滑移速度之間的對應(yīng)關(guān)系，擬合上述關(guān)系，得到擬合函數(shù)，設(shè)定當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)失效時(shí)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)副間隙值作為磨損失效閾值，求解運(yùn)算流程如圖18所示。

建立二維指向機(jī)構(gòu)的壽命預(yù)測數(shù)學(xué)模型:

δN+1=δN+HN+1

(16)

式中：δN+1為第N+1次磨損后的間隙值；δN為第N磨損前的間隙值；HN+1為第N+1磨損深度。

(17)

式中：p為壓強(qiáng)；S為轉(zhuǎn)動(dòng)副工作面面積。

基于動(dòng)態(tài)磨損計(jì)算模型，通過Matlab計(jì)算出間隙值大于失效閾值時(shí)的迭代次數(shù)，將迭代次數(shù)轉(zhuǎn)換為運(yùn)行時(shí)間即可得到磨損壽命。最終成功預(yù)測了衛(wèi)星天線二維指向機(jī)構(gòu)的使用壽命。

4 計(jì)算實(shí)例

以空間二維指向機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)1為研究對象，由于指向機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)模式主要分為跟蹤和調(diào)姿兩種模式，所以需要計(jì)算指向機(jī)構(gòu)在兩種模式下的磨損壽命。星載天線等高精密空間指向機(jī)構(gòu)中轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙值大于0.5 mm時(shí)機(jī)構(gòu)將會(huì)發(fā)生故障，將其設(shè)為失效閾值[18]。

1)跟蹤模式時(shí)，初態(tài)下，在各關(guān)節(jié)處分別施

加驅(qū)動(dòng)力矩T1=0.5sin(πt) N·m；T2=0.2sin(πt) N·m。

根據(jù)式(13)、式(14)可以求得：

①滑移速度擬合公式，

vt= 1.69×10-2-1.773×10-2cos(πt)-

5.417×10-4sin(πt)

(18)

②碰撞力的擬合公式，

Fn=84 176.582 278 772 9c+0.607 671 378 757 530

(19)

在跟蹤模式下，機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)1間隙值與運(yùn)行時(shí)間的變化曲線如圖19所示。根據(jù)磨損計(jì)算流程，上述運(yùn)行速度為一個(gè)非線性變化量，運(yùn)行開始到結(jié)束轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)為2 833 183次，運(yùn)行時(shí)間為12 591.92 h。

2)調(diào)姿狀態(tài)時(shí)，當(dāng)給定角速度為ω=2πrad/s時(shí)，相對滑移速度擬合公式為：

0.004 629 sin(98.58t)

(20)

調(diào)姿模式下，關(guān)節(jié)1內(nèi)間隙大小與運(yùn)行時(shí)間的變化曲線如圖20所示。根據(jù)磨損計(jì)算的流程，運(yùn)行一周所需時(shí)間約為1 s，所以取迭代一次的計(jì)算微元為1。運(yùn)行2 751 974次后，間隙達(dá)到了閾值規(guī)定的數(shù)值。運(yùn)行時(shí)間為764.44 h。

5 結(jié)束語

本文綜合考慮間隙、磨損等因素，通過牛頓-歐拉法和Archards模型建立了含動(dòng)態(tài)磨損間隙的動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行磨損特性分析，針對空間指向機(jī)構(gòu)進(jìn)行磨損壽命預(yù)測，得出如下結(jié)論：

1)磨損間隙對角位移影響比較小，而對角速度和角加速度影響比較大，尤其是角加速度；

2)磨損后的接觸碰撞力和切向摩擦力比磨損前的波動(dòng)明顯，峰值比例在3倍左右，磨損不利于機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性；

3)接觸力和相對滑移速度采用擬合出的線性函數(shù)代替，基于動(dòng)態(tài)磨損計(jì)算模型，得到了機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)在兩種姿態(tài)下的磨損壽命。