李 兵，王明鋒，劉 剛

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

早在1959年，Aharonov Y和Bohm D[1]預(yù)言電子在無電磁場而有電磁勢的區(qū)域中運動時，電子雖然沒有受到力的作用，但電子波的衍射圖樣同樣會發(fā)生移動，從而證明電磁勢在量子物理中是可以被觀察的物理量．A-B效應(yīng)體現(xiàn)了從整體描述物理過程的重要性，體現(xiàn)了物理過程的幾何效應(yīng)．同時，在非電磁領(lǐng)域，人們也發(fā)現(xiàn)和驗證了一些類似A-B效應(yīng)的物理現(xiàn)象[2-5]．1984年，Berry M[6]發(fā)表文章，論證了量子絕熱過程中存在著不可積的相位因子，打開了人們研究相位因子的大門．Aharonov Y和Anandan J[7]推廣了Berry相位，去掉了絕熱過程的限制，在巡回過程中，發(fā)現(xiàn)也存在不可積的相位因子，稱為A-A相位．關(guān)于相位因子的研究方興未艾，著名物理學(xué)家楊振寧[8]指出，20世紀物理學(xué)主旋律是規(guī)范、相位因子和楊-米爾斯場．另外，利用幾何相位的特性，開拓出了構(gòu)建量子計算機的新途徑——幾何量子計算[9-11]．

本文在A-B效應(yīng)的基礎(chǔ)上，利用相位差的規(guī)范不變性，提出一種定義A-B效應(yīng)中開路相位的思路，在此基礎(chǔ)上，可以很方便地計算量子效應(yīng)中的不可積相因子．

1 A-B效應(yīng)

1959年，Aharonov Y等[1]預(yù)言電磁矢勢有直接的觀測效應(yīng)，于1960年被Chambers R G[12]的實驗證實，所以這種現(xiàn)象被命名為A-B效應(yīng)．

實驗裝置如圖1所示，在普通的電子雙縫干涉實驗裝置的雙縫隙和屏之間放置一個載有電流的半徑為R的長直螺線管．

圖1 A-B效應(yīng)實驗裝置示意圖Fig 1 The Schematic Diagram of Experimental Set-up for A-B Effect

在柱坐標（r,φ , z）表示下螺線管內(nèi)產(chǎn)生強度為B沿著z軸（垂直紙面向上）的磁場．磁場強度只有沿著z軸的分量不為0：

矢勢A亦只有沿著φ方向的分量：

因此，螺線管外部，磁場強度為零，但是磁勢并不為零．

在量子力學(xué)中，電荷量為q的粒子在電磁場中運動的定態(tài)薛定諤方程為：

假設(shè)A和V和時間無關(guān)，則其形式解可寫為：

所以，到達右邊顯示屏?xí)r的電子波函數(shù)應(yīng)該寫成經(jīng)過不同路徑的波函數(shù)的線性疊加：

右邊屏上某一點，其干涉條紋的明暗程度取決于在該點處兩個波函數(shù)相互疊加時的相位差δ，在忽略因路程差所引起的相位差后，上式中的Φ為路徑1和路徑2所包圍的平面上的總磁通量．由式（6）可以看出電子到達顯示屏?xí)r的相位差δ只與閉合路徑所圍的磁通量有關(guān)，可以通過調(diào)節(jié)通過通電螺線管的電流大小來控制顯示屏的明暗條紋的移動．

2 A-B效應(yīng)的本質(zhì)

A-B效應(yīng)具有深遠的物理意義．從經(jīng)典物理的觀點看，在A-B效應(yīng)中，電子沒有受到力的作用，但是顯示了力的效果，這個現(xiàn)象加深了人們對于量子力學(xué)和電磁場的認知．

電磁場是一種規(guī)范場，在經(jīng)典物理學(xué)中，電磁場可以用電場強度E和磁場強度B描述，也可以用電磁勢來描述．而電磁勢具有規(guī)范不變性，用A和φ來描述電磁場，可以對矢勢A施加一個任意函數(shù)的梯度，結(jié)果不影響磁場B，也不影響電場E，也就是說電磁勢具有一種非物理的自由度．做變換：

又

在電動力學(xué)中，不同的規(guī)范對應(yīng)著相同的電磁場，所以，當對勢做規(guī)范變換時，由于規(guī)范對稱性的要求，所有的物理量和物理規(guī)律都應(yīng)保存不變．

無自旋荷電粒子在電磁場中運動的薛定諤方程為：

假設(shè)有一個只涉及A的空間坐標的規(guī)范變換為：

要求薛定諤方程在該變換下保持不變性，則波函數(shù)需要做如下變換：

薛定諤方程形式不變：

所以，對矢勢的規(guī)范變換被吸收到了波函數(shù)的相角中了，而且根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，這一規(guī)范變換也不影響可觀察量：模的平方

因為矢勢規(guī)范的任意性，所以，波函數(shù)的相位是一個不可直接觀測量，一般默認利用規(guī)范變化把波函數(shù)的相位換為零．

于A-B效應(yīng)中，經(jīng)過路徑1和路徑2的波函數(shù)為：

因為規(guī)范變換的任意性，無法單獨計算任何一路的波函數(shù)的相位，也是無意義的．有趣的是，二者的相位差δ是確定的，而且有宏觀觀測效應(yīng)：

這個相位差和路徑所包圍的磁通量正相關(guān)，而且，顯然，這個相位差是規(guī)范不變的．

A-B效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)使得人們認識到，利用電磁強度E和磁場強度A描述電磁場，會丟失物理信息；而用電磁勢描述電磁場，又會引入一種非物理的不確定度．吳大峻和楊振寧[13]指出，相位因子）才是描述電磁場最恰當?shù)奈锢砹?，稱之為規(guī)范場的不可積相位因子．

3 開路相位的厘定

我們知道波函數(shù)的相位因子有電磁規(guī)范貢獻，具有不確定性，無法也沒有必要確定其大小．但是在A-B效應(yīng)中，因為相位差是規(guī)范不變的，可以根據(jù)這一點來從數(shù)學(xué)上厘定開路相位的大?。僭O(shè)只有一束電子經(jīng)路徑2到達顯示屏（見圖1），其相位為：

當然，這個相位是不確定的，我們可以虛擬一束電子經(jīng)路徑1到達顯示屏，其相位為：

這兩束電子的相位都有物理上不確定的規(guī)范自由度，但是它們的差是規(guī)范不變的．可以取某一規(guī)范使得經(jīng)過路徑1的虛擬路的相位為零，即：

所以，

有了這樣一個標準，可以用閉合回路的相位差來標定開路相位的大?。?/p>

進一步研究任意開路的波函數(shù)的相位，如圖2所示，假設(shè)在通電螺線管前面有一接收屏X，有一束電子經(jīng)路徑X到達顯示屏，其相位為：

為了確定其相位，假設(shè)有一束電子經(jīng)過上面的縫經(jīng)圖1所示的路徑1到達顯示屏，設(shè)其相位為Yδ，則：

因為，在這種情況下，路徑所包圍的閉合平面的磁通量Φ為零，所以，此時電子的相位無法確定．所以，電子的路徑?jīng)]有經(jīng)過通電螺線管的位置，則其相位有任意的規(guī)范自由度，無法確定；反之，當電子的路徑越過通電螺線管時，其相位可以經(jīng)由和其組成閉合回路的電子波函數(shù)的相位之差確定．

圖2 任意開路的波函數(shù)的相位Fig 2 The Phase Position of Random Open-circuit Wave Function

4 結(jié) 語

A-B效應(yīng)中磁矢引入的相位差決定于閉合回路所圍面積的磁通量，是規(guī)范不變的物理量．本文在這一基礎(chǔ)上，定義了A-B效應(yīng)中任意開路的相位因子，消除了由于規(guī)范變換引入的非物理的自由度，揭示了A-B效應(yīng)的本質(zhì)，可以用來從另一個角度計算量子現(xiàn)象中的不可積相因子.