馮樹民，王憲凱，孫祥龍

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150090； 2. 東北林業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040)

0 引 言

多目標最短路問題(multi-objective shortest path problem, MOSPP)在最優(yōu)化、運輸路線設(shè)計、通信網(wǎng)絡(luò)設(shè)計等領(lǐng)域被廣泛研究[1-3]。解決多目標最短路問題的關(guān)鍵在于尋找滿足多個目標的有效路徑集合，而這些目標之間一般相互沖突。例如，通信網(wǎng)絡(luò)中最優(yōu)線路要兼顧延遲最小、交換量最大兩個矛盾目標；運輸路線規(guī)劃中要同時滿足成本、路徑長度、旅行時間3個目標最小化。不同于單目標優(yōu)化問題中求解一個目標函數(shù)的最優(yōu)解，多目標優(yōu)化的任務(wù)不是找到每個目標函數(shù)的最優(yōu)解，而是找到一個同時滿足所有目標的最優(yōu)解。往往在大多數(shù)情況下，這個全局的最優(yōu)解并不存在，一般只有一個有效解或非劣解的集合。

多目標最短路問題的處理方法一般可分為交互法、產(chǎn)生法和權(quán)重法[4]。交互法可以通過一個用戶界面得到完整的有效路徑集合，幫助決策者根據(jù)自身偏好找出最終解[5-6]。產(chǎn)生法是大量列舉有效解，然后根據(jù)實際情況和決策者偏好選擇滿意解[7-10]。權(quán)重法是根據(jù)不同目標函數(shù)的重要程度，賦予其一定的權(quán)值來求解多目標最短路問題，常用方法是線性加權(quán)法和幾何加權(quán)法[11-12]。相比而言，對不同的目標進行加權(quán)將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題求解，是一種較好的思路。但是，如何確定權(quán)重來體現(xiàn)目標的重要性是權(quán)重法的一個難點。

因此，筆者在常規(guī)線性加權(quán)法和幾何加權(quán)法的基礎(chǔ)上，提出路段賦值法來求解多目標最短路問題。路段賦值法綜合考慮每條路線的路段數(shù)和距離對路線選擇的影響，計算各目標下相應(yīng)路段的賦值，并依據(jù)不同權(quán)重進行加權(quán)疊加，最終形成賦值網(wǎng)絡(luò)，在該路段賦值網(wǎng)絡(luò)中求得的最短路徑即為該多目標最短路問題的優(yōu)選路徑。同時，以江西省萍鄉(xiāng)市運輸網(wǎng)絡(luò)為例，對常規(guī)線性加權(quán)法、幾何加權(quán)法與路段賦值法進行了對比分析。

1 問題描述

多目標最短路問題可以描述為：對于網(wǎng)絡(luò)G=(N，E)，E為節(jié)點間的有向邊的集合，N為節(jié)點集，fq(i,j)≥0(q=1,2,…,Q)為節(jié)點i到節(jié)點j的第q個目標值，求解起點O到終點D之間的最短路。

定義變量δij如下：

則多目標最短路模型可表述為式(1)：

(1)

?

該模型滿足式(2)所述約束條件：

(2)

δij∈{0,1},?(i,j)∈E

2 算法分析

2.1 多目標優(yōu)化相關(guān)定義

多目標優(yōu)化問題的最終目的是使多個矛盾的子目標盡可能同時極小化，而多目標最短路問題作為多目標優(yōu)化的具體案例，可描述為式(3)[13]：

X?En,m>2

(3)

與單目標優(yōu)化問題的解不同，多目標優(yōu)化一般不存在唯一的全局最優(yōu)解，而是存在多個最優(yōu)解的集合。因此，關(guān)于多目標最短路的解有如下定義。

2.2 路段賦值法

多目標最短路的線性加權(quán)是將多目標函數(shù)的各目標按相應(yīng)的準則加權(quán)后以某種方式進行求和，做出評價函數(shù)g(f(x))，再對評價函數(shù)進行單目標極小化，表達式Pg如式(4)：

(4)

權(quán)系數(shù)λ的確定，不僅要考慮目標的重要程度，也要考慮目標單位量綱的不同。為了消除單位不同產(chǎn)生的不可公度性，應(yīng)對不同目標進行標準化。記單一目標下最短路線上的所有路段賦值為1。對于非最短路線上的路段，可賦值為路線距離與最短路距離之比并加以路段個數(shù)的修正值，路線距離的比值體現(xiàn)路線距離的重要程度，比值越小越重要；同時為消除路線上路段個數(shù)的影響，用最短路線路段個數(shù)與比較路線路段個數(shù)的比值加以修正，以此保證路段賦值與原路線路段有良好的對應(yīng)關(guān)系。

設(shè)最短路線Lmin的路段數(shù)為Smin，距離為Dmin，則最短路線上的所有路段賦值都為1，對起訖點之間路線Li，路段數(shù)為Si，距離為Di，則該路線上所有路段賦值為ai，表達式見式(5)：

(5)

利用路段賦值后，Pg表達式轉(zhuǎn)換為式(6)中Pg1所述形式：

(6)

如果某路段多次賦值，則選取最小的賦值。在實際應(yīng)用中，如果網(wǎng)絡(luò)很大，對每個路段都進行賦值需要的工作量很大，考慮到最優(yōu)路徑一般都是在單目標下的K-最短路中取得[14]，因此先求不同目標下的K-最短路，然后對求得的所有路段進行賦值。

2.3 主要結(jié)果

作為農(nóng)業(yè)綠色發(fā)展基礎(chǔ)的土壤，目前面臨著嚴重的“變質(zhì)”問題，土壤侵蝕、土壤養(yǎng)分不平衡、土壤中碳和生物多樣性喪失、土壤酸化、土壤鹽漬化、土壤板結(jié)、土壤污染等多種威脅制約著土壤質(zhì)量的發(fā)揮和土壤安全的保障。除自然因素外，土壤污染是導(dǎo)致多重土壤問題的主要原因。汪洪表示，與大氣污染和水體污染不同，土壤污染不易被人體直接感受到，需要通過儀器設(shè)備的檢測才可以感知，具有隱蔽性、滯后性、累積性、成因復(fù)雜等特點，也因此易于被公眾所忽視。

(7)

(8)

3 算法步驟

在上述分析的基礎(chǔ)上，提出基于路段賦值的多目標最短路求解算法，算法的具體步驟如下。

步驟1：運用Dijkstra算法分別求解各目標的最短路徑Lmin和最短路距離Dmin；

步驟3：運用K-最短路算法分別求解各目標對應(yīng)的K-最短路徑Li和距離Di；

步驟5：按各目標權(quán)重對多目標進行加權(quán)疊加，求出最短路徑；

步驟6：令K=K+1，轉(zhuǎn)入步驟(3)，若兩次所求得的路徑相同，則該路徑即為多目標最短路問題的滿意解，算法結(jié)束；否則，繼續(xù)令K=K+1值，直到前后兩次所求得的路徑相同為止。

算法流程如圖1。

圖1 算法流程Fig. 1 Flowchart of algorithm

4 案例分析

江西省萍鄉(xiāng)市運輸網(wǎng)絡(luò)如圖2，運輸網(wǎng)絡(luò)中每個路段包含3個度量值，分別為運輸風(fēng)險、運輸成本和路段擁堵評分。其中，運輸風(fēng)險值越大，表明此路段的運輸風(fēng)險越高；運輸成本值越大，表明此路段的運輸成本越高；路段擁堵評分用于描述不同路段的擁堵程度，其值介于0～100之間，路段擁堵評分越大表示路段擁堵越嚴重，具體路段屬性詳見表1。運輸線路的選取屬于多目標最短路問題，其中目標1為運輸風(fēng)險最小，目標2為運輸成本最小，目標3為路段擁堵評分最小。求解起點20到終點13之間3個目標下的最短路徑。

圖2 運輸網(wǎng)絡(luò)Fig. 2 Transport network

路段號風(fēng)險成本擁堵評分路段號風(fēng)險成本擁堵評分1→278179407→111454371→13162133408→97125701→163454448→193124412→326488→20485792282→12259329→143103572→1519468269→20204862443→4430101210→2055128783→19916282111→1748238533→21112591111→19267134274→5782252311→211 32121464→148082503512→13262159354→15370951012→171 256226205→1462417212→2113227115→1821286913→1754752296→7188108714→19642209276→10787905115→1665162246→177252615→1855313747→822595916→18157316657→101 3164046

只考慮單個目標，求解不同目標下的最短路線和最短路距離，計算結(jié)果見表2及圖3，從表2及圖3中可以看出，在3個不同的目標下，所得結(jié)果各不相同，且相差較大。

表2 單目標結(jié)果Table 2 Single target result

圖3 單目標下各目標的最短路Fig. 3 The shortest path of each target under single objective

將3個目標按照不同的權(quán)重λq進行線性加權(quán)，求得不同權(quán)重下的最優(yōu)路徑見表3和圖4，可以看出對于不同的權(quán)重系數(shù)，最終的最優(yōu)路徑并不相同，但總體上傾向于目標1的最短路。

表3 線性加權(quán)法計算結(jié)果表Table 3 Calculation results of linear weighting method

圖4 線性加權(quán)法最短路Fig. 4 The shortest path of linear weighting method

將3個目標按照不同的權(quán)重λq進行幾何加權(quán)，求得不同權(quán)重下的最優(yōu)路徑見表4和圖5?？梢钥闯鰧τ诓煌臋?quán)重系數(shù)，最終的最優(yōu)路徑總體上傾向于目標3的最短路。

表4 幾何加權(quán)法計算結(jié)果Table 4 Calculation results of geometric weighting method

圖5 幾何加權(quán)法最短路Fig. 5 The shortest path of geometric weighting method

在相同的權(quán)重下以路段賦值法進行計算，求得不同權(quán)重下的最優(yōu)路徑見圖6和表5，可以看出由于目標3函數(shù)的度量值較小，因此在線性加權(quán)中作用被低估，而采用路段賦值法則將目標函數(shù)標準化，更能體現(xiàn)目標之間的關(guān)系，有多條最優(yōu)線路傾向于目標3的最優(yōu)路線。

圖6 賦值法最短路Fig. 6 Shortest path of assignment method

λq路徑目標1目標2目標31∶1∶120→10→6→17→131 8921 966246∶3∶120→9→14→5→18→16→1→135681 8373916∶1∶320→10→6→17→131 8921 966243∶6∶120→10→7→11→21→12→2→1→133 5761 3571803∶1∶620→10→6→17→131 8921 966241∶3∶620→10→7→6→17→132 6091 573361∶6∶320→10→7→6→17→132 6091 573364∶4∶220→10→6→17→131 8921 966244∶2∶420→10→6→17→131 8921 966242∶4∶420→10→7→6→17→132 6091 57336

5 結(jié) 論

1)提出了求解多目標最短路問題的路段賦值法，并證明了該方法的可行性。路段賦值法綜合考慮了路線的距離及路段數(shù)對路線選擇的影響，對最短路和非最短路的不同賦值符合出行選擇規(guī)律。路段賦值法能有效地消除各目標所對應(yīng)度量值的差異造成的影響。

2)為減少計算工作量，結(jié)合K-最短路算法和路段賦值的過程，給出了路段賦值法求解多目標最短路的計算步驟。

3)通過實例研究比較了各單目標、不同權(quán)重下常規(guī)線性加權(quán)與幾何加權(quán)算法、路段賦值法計算所得的不同結(jié)果。結(jié)果表明，常規(guī)線性加權(quán)法中對于度量值較小的目標在線性加權(quán)中作用被低估；而在幾何加權(quán)法中，度量值較小的目標所造成影響被過度放大；筆者所提出的路段賦值法則將目標函數(shù)標準化，更能體現(xiàn)多目標之間的關(guān)系，對現(xiàn)有研究方法進行了改進與優(yōu)化。