葛新同

摘要：目前，參加國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的大學(xué)生已經(jīng)是很大的群體，利用數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，能夠開拓?cái)?shù)學(xué)建模課程教學(xué)的思路和方法。本文通過對(duì)利用大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽推動(dòng)數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)工作的改革和現(xiàn)狀闡述，探索有效開展數(shù)學(xué)建模的路徑，以此推動(dòng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)工作取得滿意的效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型 Matlab CT技術(shù) 量綱分析O141.4-4；

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-5349（2018）12-0016-02

一、背景介紹

人類漫長(zhǎng)的進(jìn)化過程中，不斷地認(rèn)識(shí)世界和改造世界。從數(shù)學(xué)的角度來說，認(rèn)識(shí)世界就是數(shù)學(xué)建模，改造世界就是優(yōu)化即求極值。數(shù)學(xué)建模課程進(jìn)入我國(guó)大學(xué)較晚，1987年，我國(guó)才有第一本數(shù)學(xué)建模教材，開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程的高校自1993年開始至今從僅有幾所增加到幾十所，并向非數(shù)學(xué)專業(yè)推廣。1992年教育部高等教育司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)主辦了第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（簡(jiǎn)稱國(guó)賽），得到了大學(xué)生的響應(yīng)以及高校教師的支持。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)在全國(guó)每年有30個(gè)省市1000多所高校，2萬(wàn)多隊(duì)參加國(guó)賽。在國(guó)賽的感召下，各省、市及許多高校紛紛組織競(jìng)賽，很多高校學(xué)生自發(fā)成立數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)，開展各種形式的活動(dòng)。甚至，現(xiàn)在很多中學(xué)生也成立了數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)，參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)建模的形式有：一年一度的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（簡(jiǎn)稱美賽）以及各地區(qū)及高校組織的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。正式出版的數(shù)學(xué)建模教材及參考書已達(dá)200多本。[1，2，3，4，5]數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高校20多年，已從星星之火發(fā)展為現(xiàn)在的燎原之勢(shì)。

由于大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽越來越普及，參加的學(xué)生越來越多，范圍越來越大，參賽學(xué)生的專業(yè)、知識(shí)水平也有較大變化，數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法也發(fā)生了較大變革。

二、數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容及方法的改革

數(shù)學(xué)建模課程通常分兩部分：理論課及實(shí)驗(yàn)課。理論課采用數(shù)學(xué)模型教材，實(shí)驗(yàn)課采用數(shù)學(xué)軟件教程（Matlab版本）。

數(shù)學(xué)模型，我們以高等教育出版社姜啟源、謝金星及葉俊版主編的《數(shù)學(xué)模型》為例，從第三版到第四版，保持了原教材的基本結(jié)構(gòu)和風(fēng)格，作了幾項(xiàng)較大的改動(dòng)。[1]（1）刪去了一些明顯過時(shí)、不和時(shí)宜的案例，如錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途、動(dòng)物的身長(zhǎng)與體重的關(guān)系、汽車的剎車距離以及廣告中的學(xué)問等8個(gè)案例。增加了一些實(shí)用性較強(qiáng)、具有時(shí)代特色、生活氣息濃烈的案例，例如：如何施救藥物中毒、光盤的數(shù)據(jù)容量、CT（計(jì)算機(jī)斷層成像，Computed Tomography的縮寫）技術(shù)的圖像重建、學(xué)生作弊現(xiàn)象的調(diào)查和估計(jì)以及進(jìn)攻與撤退的抉擇、“一口價(jià)”的戰(zhàn)略等博弈模型。（2）改寫、合并、調(diào)整了很多案例及章節(jié)。其中有公平的席位分配、消費(fèi)者的選擇、生產(chǎn)者的決策、人口的預(yù)測(cè)和控制、原子彈爆炸的能量估計(jì)等。例如，公平的席位分配，由第三版的初等模型第一節(jié)，調(diào)整到第四版的離散模型第四節(jié)。消費(fèi)者的選擇，重寫了開頭，增加了兩個(gè)易于引起人們興趣的例題：例1征銷售稅還是征收入稅，例2價(jià)格補(bǔ)貼給生產(chǎn)者還是消費(fèi)者以及兩段評(píng)注。這樣做使此模型可以推廣，進(jìn)而用到實(shí)變函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)工具，理論性更強(qiáng)，兩個(gè)例題又貼近人們的生活，讓人感覺到數(shù)學(xué)建模需要高深的理論，又能解決實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。第三版的初等模型中的量綱分析（Dimensional Analysis）與無(wú)量綱化，調(diào)整到第四版的代數(shù)方程與差分方程模型中的原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析。第三版中的量綱分析與無(wú)量綱化，理論推導(dǎo)過多，而舉例單擺運(yùn)動(dòng)、航船的阻力及拋射問題，缺乏時(shí)代感，令年輕的大學(xué)生感到乏味，所以大多數(shù)高校都將此節(jié)作為閱讀內(nèi)容。很多學(xué)生都感受到了知識(shí)的力量，知道掌握了知識(shí)，可以“管中窺豹”，以至于量綱分析模型不再是枯燥無(wú)味的，變得生動(dòng)形象起來。由此可見選對(duì)案例的重要性，有些學(xué)生對(duì)模型不感興趣，不是模型的問題，而是案例太古老，脫離實(shí)際。第三版中的簡(jiǎn)單優(yōu)化模型中的最優(yōu)價(jià)格調(diào)整為生產(chǎn)者的決策，從原來僅僅用微分法求出最優(yōu)價(jià)格，改為介紹了四個(gè)模型：最大利潤(rùn)模型、最優(yōu)定價(jià)模型、投資費(fèi)用一定下的產(chǎn)值最大模型、產(chǎn)值最大與費(fèi)用最小的對(duì)偶關(guān)系。提高了理論深度、廣度，用到了運(yùn)籌學(xué)的一些知識(shí)。第四版微分方程模型中的人口預(yù)測(cè)和控制與第三版相比，將第三版的如何預(yù)報(bào)人口增長(zhǎng)合并到人口預(yù)測(cè)和控制模型，既有數(shù)據(jù)如1949—2010中國(guó)人口數(shù)據(jù)、1790—2000美國(guó)人口數(shù)據(jù)及1625—1999世界人口數(shù)據(jù)，又有模型詳細(xì)分類，如指數(shù)增長(zhǎng)模型、阻滯增長(zhǎng)模型—logistic模型、模型的參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和預(yù)報(bào)及考慮年齡結(jié)構(gòu)和生育模式的人口模型以及理論推導(dǎo)，這樣模型更完美。

數(shù)學(xué)軟件教程，我們以高等教育出版社趙靜、但琦等主編的教材《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》為例，從第三版到第四版，作了較多改進(jìn)[2]：（1）刪去了整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、組合數(shù)學(xué)、匹配及覆蓋、最小費(fèi)用流等內(nèi)容；（2）增加了現(xiàn)在大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用的統(tǒng)計(jì)分析、模糊綜合評(píng)判、四種人工智能算法（遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法）。（3）對(duì)有些保留的內(nèi)容作了適當(dāng)修改，更新了原來陳舊的建模案例，充實(shí)了案例，使教材內(nèi)容更加豐富。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師靠粉筆和黑板傳授知識(shí)，學(xué)生靠紙和筆學(xué)習(xí)知識(shí)。而數(shù)學(xué)建模教學(xué)，不能以老師傳授知識(shí)為主，而應(yīng)當(dāng)以學(xué)生動(dòng)手為主，考查實(shí)際問題，借助計(jì)算機(jī)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件（主要是MATLAB）求解。

由于MATLAB軟件更新較快，過去很多利用MATLAB無(wú)法求解的問題，例如利用CNN（卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）解決人臉識(shí)別問題，現(xiàn)在已經(jīng)可以解決，甚至可以編程在GPU上運(yùn)行，加快了運(yùn)行速度。有鑒于此，過去對(duì)數(shù)學(xué)軟件僅要求會(huì)編簡(jiǎn)單的程序，現(xiàn)在對(duì)編程能力的要求大大提高了，不僅作圖、計(jì)算、數(shù)據(jù)分析這些基本要求要達(dá)到，還要求人工智能編程及尚未進(jìn)入數(shù)學(xué)軟件教材的CNN及最優(yōu)控制編程也要會(huì)。

三、我校數(shù)學(xué)建模教學(xué)的現(xiàn)狀

有人說只要寫入教科書就過時(shí)了，這句話雖然偏激，但是也有很多合理的成分。由于教材更新較慢，而現(xiàn)實(shí)世界變化太快，教師只有及時(shí)更換案例才能引起學(xué)生的興趣。雖然第四版有較大變化，但有些模型為了吸引學(xué)生的注意力，我們?cè)黾恿税咐Ｈ绱鷶?shù)方程與差分方程模型中的減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)，我們?cè)黾恿嗣餍菧p肥的例子；概率模型中我們?cè)黾恿斯賳T貪污現(xiàn)象的調(diào)查和估計(jì)例子。第四版剛剛增加的模型，如光盤的數(shù)據(jù)容量，已經(jīng)過時(shí)，我們將它刪去了。針對(duì)校園常見的現(xiàn)象——大學(xué)生戀愛現(xiàn)象，布置學(xué)生網(wǎng)上問卷調(diào)查，我們?cè)黾恿舜髮W(xué)生戀愛模型。針對(duì)近年來剛剛出現(xiàn)的白楊絮問題，讓學(xué)生查資料、實(shí)地考察阜陽(yáng)市白楊樹的分布情況，提出了白楊絮治理模型。

以上這些改變，使大學(xué)生們感到數(shù)學(xué)建模課程離現(xiàn)實(shí)很近，既有趣又有用，不再乏味、枯燥，很少再有學(xué)生翹課，教師課前再也不需要點(diǎn)名。常常有其他學(xué)院的學(xué)生前來蹭課、提前占位的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)建模課變成明星課，甚至數(shù)學(xué)建模教室變得與各個(gè)高校都有的圖書館、考研通宵教室及學(xué)生戀愛的小樹林一樣知名。

近5年來，我校學(xué)生參加國(guó)賽、美賽，取得了優(yōu)異的成績(jī)。通過數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，既鍛煉了學(xué)生，也提高了教師的數(shù)學(xué)建模教學(xué)能力，形成了一支精干的教練隊(duì)伍，他們成為數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)的主力軍。

綜上所述，數(shù)學(xué)建模，作為一門理論與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系最密切的數(shù)學(xué)課程，本應(yīng)生動(dòng)、活潑，具有鮮明的時(shí)代特征，帶有五彩斑斕的現(xiàn)實(shí)氣息。它的背景知識(shí)已經(jīng)遠(yuǎn)超一門課的范圍，正像生活的萬(wàn)花筒，無(wú)所不包，我們要不斷地探索、改革，才能適應(yīng)時(shí)代的要求。

數(shù)學(xué)建模具有魔力，只要接觸，一生再也不可能把它忘掉，它將成為我們對(duì)待人生的一種態(tài)度：人生就像數(shù)學(xué)建模，我們追求它的最終目的，更在意沿途的風(fēng)景。（求解過程，即編程實(shí)現(xiàn)。）

參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第四版）[M].高等教育出版社，2018.

[2]趙靜，但琦，嚴(yán)尚安，楊秀文.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]譚永基，俞文魮.數(shù)學(xué)模型[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003：9.

[4]邊馥萍，侯文華，梁馮珍.數(shù)學(xué)模型方法與算法（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]朱道元.研究生數(shù)學(xué)建模精品案例[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

責(zé)任編輯：楊國(guó)棟