劉美玲

【摘要】探討一元函數(shù)微積分中洛必達(dá)法則的教學(xué)方式.針對(duì)洛必達(dá)法則適用題型多，但計(jì)算煩瑣、易出錯(cuò)的特點(diǎn)，舉例并歸類說(shuō)明不同類型題目如何正確使用法則.

【關(guān)鍵詞】微積分；洛必達(dá)法則；未定式極限

【基金項(xiàng)目】上海電機(jī)學(xué)院學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目資助（16JCXK02）.

一元函數(shù)微積分中求極限是很重要的一部分內(nèi)容.求極限的幾類方法中，洛必達(dá)法則是其中很有效、適用范圍較廣的一類方法.該法則內(nèi)容簡(jiǎn)單，但數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，在多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限中依然存在很多問(wèn)題.

一、洛必達(dá)法則介紹

定理（洛必達(dá)法則）設(shè)：（1）當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)f（x）及F（x）都趨于零；

（2）在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)a本身可以除外），f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；

（3） limx→af（x）F（x）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大）.

那么 limx→af（x）F（x）=limx→af′（x）F′（x）.

當(dāng)x→∞時(shí)，以及x→a時(shí)，該法則仍然成立.

洛必達(dá)法則本身表達(dá)簡(jiǎn)潔，使用方便，適用的題型較多.然而依據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題過(guò)程中依然有很多問(wèn)題，比如，不知道和其他方法結(jié)合使用，導(dǎo)致解題困難；不知道恰當(dāng)整理每次的結(jié)果，再次使用洛必達(dá)法則而導(dǎo)致解題失敗等原因.舉例如下：

例1求 limx→0arcsinxx1x2.

解limx→0arcsinxx1x2=limx→0elnarcsinx-lnxx2=elimx→0lnarcsinx-lnxx2

=elimx→011-x2arcsinx-1x2x=elimx→0x-arcsinx1-x2x2arcsinxlimx→0121-x2

=e12limx→0x-arcsinx1-x2x3=e12limx→0xarcsinx1-x23x2

=e16limx→0xarcsinxx2limx→011-x2=e16.

以上是這道題目使用洛必達(dá)法則的一般解法，步驟比較多，學(xué)生前三步基本沒(méi)問(wèn)題，但到了第四步，很多學(xué)生不知道分開(kāi)求極限，把 limx→0121-x2這個(gè)極限及時(shí)丟掉，以致后續(xù)步驟進(jìn)行困難.但這樣的解法步驟多，解題煩瑣，不妨結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小或者其他求極限方法，解法會(huì)簡(jiǎn)潔很多.下面給出另外一種解法.

解法2limx→0arcsinxx1x2=limx→0e1x2lnarcsinxx=elimx→0arcsinxx-1x2

=elimx→011-x2-13x2=elimx→01-1-x23x21-x2

=elimx→012x23x21-x2=e16.

解法2先用等價(jià)無(wú)窮小代換，再用洛必達(dá)法則，相比解法1，步驟明確簡(jiǎn)潔.因此，洛必達(dá)法則需合理結(jié)合其他求極限方法使用.

例2求limx→∞1-1xx-2.

解法1limx→∞1-1xx-2=limx→∞e（x-2）ln1-1x

=elimx→∞（x-2）ln1-1x=elimx→∞ln1-1x1x-2=elimx→∞-1x1x-2

=elimx→∞-x-2x=e-1.

解法2limx→∞1-1xx-2=limx→∞1+-1x-xx-2-x

=elimx→∞-x-2x=e-1.

以上用兩種基本方法求解了例2，解法1是洛必達(dá)法則結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小代換，解法略煩瑣；解法2是用兩個(gè)重要極限公式求解，非常簡(jiǎn)潔明了，步驟很少，易于看懂.因此，例2就不適合用洛必達(dá)法則求解，兩個(gè)重要極限才是合適的選擇.

例3求limx→∞x+cosxx.

解limx→∞x+cosxx=limx→∞1-sinx1=limx→∞1-sinx，用洛必達(dá)法則求解后，得出結(jié)果是極限不存在，但實(shí)際上

limx→∞x+cosxx=limx→∞1+cosxx=1.洛必達(dá)法則對(duì)本題失效.

通過(guò)上面的分析，學(xué)生要會(huì)熟練靈活地運(yùn)用洛必達(dá)法則求解函數(shù)的極限，必須對(duì)其條件、結(jié)論全面地了解、掌握，在學(xué)習(xí)過(guò)程中多加練習(xí).學(xué)會(huì)結(jié)合其他求極限方法，學(xué)會(huì)整理每一次求解結(jié)果，知道有些題目即使?jié)M足洛必達(dá)法則的條件，洛必達(dá)法則也不適用，甚至無(wú)法求解.

【參考文獻(xiàn)】

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