楊俊山

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，所以研究數(shù)學(xué)的重要思想之一就是數(shù)形結(jié)合思想.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，這正是對數(shù)形結(jié)合思想的完美概括.數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的靈魂，缺少了它，數(shù)學(xué)將失去其神采，因此，我們在教學(xué)中要做好數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的奇妙作用.

第一，通過數(shù)形結(jié)合，可以使形象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀，易理解，易接受；將直觀的圖形數(shù)量化，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運(yùn)算，可以降低難度，使理解更加深刻.數(shù)軸第一次實(shí)現(xiàn)了數(shù)形的完美結(jié)合，從而降低了相反數(shù)、絕對值的學(xué)習(xí)難度，數(shù)的大小的比較，也有了完美的幾何工具.平面直角坐標(biāo)系、復(fù)平面又更進(jìn)一步完善了數(shù)形結(jié)合思想.例如，用數(shù)軸表示不等式和不等式組的解集，從而把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系用幾何圖形表示出來，易理解、易接受.

第二，數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，不僅可以提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力，還可以提高學(xué)生的遷移思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，從而開發(fā)學(xué)生的智力.

例1如圖1所示，正方形ABCD的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，求所圍成的圖形（花瓣形）的面積.

此題是初中平面幾何的面積計算問題，求解方法較多，若采用數(shù)形結(jié)合，可使解法更新穎、簡捷，同時還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.由圖形的對稱性知，每片葉形面積相等，每塊兩個葉形之間的面積也相等，由此可設(shè)每片葉形面積為x，每塊兩個葉形之間的面積為y，依圖形則有4x+4y=a2，2x+y=12πa22， 解此方程組便可求出花瓣形部分的面積，而且還求出了每一小部分的面積，從而拓展學(xué)生的思維，開闊學(xué)生的視野.

再如，如圖2所示，以邊長為a的正方形的各頂點(diǎn)為圓心，a為半徑在正方形內(nèi)畫圓心角為90°的扇形，求所圍成的圖形（花瓣形）的面積.此題若采用幾何方法，很難組合圖形求出面積，如果采用數(shù)形結(jié)合，利用方程組則能順利求得花瓣形部分的面積.

第三，通過數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，學(xué)生對概念、定理等的理解會更深更透，并能靈活運(yùn)用，從而鍛煉學(xué)生的思維，使聯(lián)想更豐富.例如，直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)的大小比較聯(lián)系起來，用代數(shù)方法來研究直線與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生對概念的理解更深入透徹，易于接受.再如，余弦定理是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的定理之一，他不僅可以使幾何問題代數(shù)化，也可使代數(shù)問題幾何化.

例2已知：⊙O1和⊙O2相交于AB兩點(diǎn)，過A作⊙O2的切線交⊙O1于C，直線CB交⊙O2于D，直線DA交⊙O1于E，連接CE.

求證：（1）CA=CE；（2）DA·DE=CD2-CE2.

本題第（2）小題，如果用余弦定理再結(jié)合一元二次方程，則有如下奇妙證法：在△CED和△CAD中，由余弦定理得CE2=CD2+DE2-2CD·DEcosD，CA2=CD2+DA2-2CD·DAcosD.由于CA=CE，將上兩式改寫為：DE2-2CD·DEcosD+CD2-CE2=0，DA2-2CD·DAcosD+CD2-CE2=0.

由此可知，DE，DA是一元二次方程x2-2x·CDcosD+CD2-CE2=0的兩個根，由韋達(dá)定理得DA·DE=CD2-CE2.

此證法省去了幾何中繁難嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砑皵?shù)式運(yùn)算，而比較自然流暢，易于理解接受，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生樂觀奮進(jìn)的求學(xué)精神.

例3求sin220°+sin240°+sin20°sin40°的值.

解構(gòu)造△ABC，使∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°，設(shè)這個三角形的外接圓半徑為R，則a=2Rsin20°，b=2Rsin40°，c=2Rsin120°，由余弦定理有（2Rsin20°）2+（2Rsin40°）2-2（2Rsin20°）（2Rsin40°）cos120°=（2Rsin120°）2，化簡得sin220°+sin240°+sin20°sin40°=34.

此解法脫離了煩冗的代數(shù)運(yùn)算，利用直觀的三角形，而聯(lián)想到用正弦定理、余弦定理，從而迅速求出結(jié)果.這既可以鍛煉學(xué)生的聯(lián)想能力，又可以培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力，從而活躍了學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

第四，通過數(shù)形結(jié)合的教學(xué)，能使學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)知識的神奇風(fēng)采，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生自覺主動地學(xué)習(xí)，培養(yǎng)提高學(xué)生的能力、素質(zhì)，推動素質(zhì)教育的發(fā)展.

例4比較2 020-2 019和2 019-2 018的大小.

此題通常采用分子有理化的方法進(jìn)行比較.但若構(gòu)造如圖3所示的三角形，會使解法更奇妙、新穎，使數(shù)形結(jié)合的思想發(fā)揮其應(yīng)有的作用.

解構(gòu)造△ABC，使∠C=90°，AB=2 020，BC=2 019，在BC上取一點(diǎn)D，使CD=2 018，連接AD.由勾股定理可得AC=1，AD=2 019，且BD=BC-CD=2 019-2 018，

在△ABD中，有AB-AD

用此法解完后，學(xué)生就會驚呼“數(shù)學(xué)真奇妙！”，從而活躍課堂氣氛，讓學(xué)生深深地愛上數(shù)學(xué)，消除數(shù)學(xué)的枯燥乏味性，展示數(shù)學(xué)游戲的樂園，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

第五，數(shù)形結(jié)合思想和方法的教學(xué)，能培養(yǎng)提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和善于發(fā)現(xiàn)的思想意識.較為抽象的數(shù)量關(guān)系，通過幾何圖形的性質(zhì)反映出來，使抽象的概念關(guān)系得以直觀化，有利于分析、發(fā)現(xiàn)和理解.例如，初等函數(shù)的性質(zhì)緊密地與它們的圖像結(jié)合在一起，進(jìn)而獲得方程、方程組、不等式和不等式組的幾何解法.又如，應(yīng)用方程和方程組解應(yīng)用題，利用直觀的示意圖幫助分析理解，可以順利地列出方程和方程組.

例5甲、乙兩個物體分別從相距70 m的兩處同時相向運(yùn)動，甲第一分鐘走2 m，以后每分鐘比前一分鐘多走1 m，乙每分鐘走5 m.

（1）甲、乙開始運(yùn)動后幾分鐘相遇？

（2）如果甲、乙到對方起點(diǎn)后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前一分鐘多走1 m，乙繼續(xù)每分鐘走5 m，那么，開始運(yùn)動后幾分鐘第二次相遇？

此題是簡單的數(shù)列應(yīng)用問題，直接想是很難列出方程的，如果用圖線示意圖，問題就迎刃而解了.

第六，數(shù)形結(jié)合有利于拓展學(xué)生的思維，誘發(fā)學(xué)生的靈感，使學(xué)生的思維更靈活、更開闊.在教學(xué)中，教師應(yīng)及時捕捉和誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感，對于學(xué)生別出心裁的想法，違反常規(guī)的解答，標(biāo)新立異的構(gòu)思，哪怕只有一點(diǎn)點(diǎn)的新意，都應(yīng)及時給予肯定.同時，還應(yīng)當(dāng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、變換角度、類比形式等方法去誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和靈感，促使學(xué)生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口.例如，在不等式證明的復(fù)習(xí)課中，筆者記得這樣一個例題：已知：1ba-1.問題的敘述如此簡潔，要證明這個不等式成立，似乎無從下手.但教師讓學(xué)生觀察不等式的結(jié)構(gòu)形式——指數(shù)式，指數(shù)式怎么辦？這時有學(xué)生說：化成對數(shù)式.這時教師及時捕捉了學(xué)生的這一想法：

由求證的結(jié)論知ab-1>ba-1lgab-1>lgba-1（b-1）lga>（a-1）lgblgaa-1>lgbb-1，而且也能逆推回去.lgaa-1>lgbb-1這個不等式妙啊！如果再作變化的話，你就豁然開朗了.上式變形成：lga-lg1a-1>lgb-lg1b-1，表達(dá)式lga-lg1a-1你想起了什么？直線的斜率公式嗎？于是設(shè)f（x）=lgx，由1

圖4

如圖4所示，易知kAC>kBC，這不就證明了ab-1>ba-1嗎？在分析中尋找解題的靈感，在轉(zhuǎn)化中獲取解題的信息，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，于是活靈活現(xiàn)的解法也就脫穎而出.

第七，數(shù)形結(jié)合可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的觀察聯(lián)想的思維能力.雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)，是我們思考問題的開端.所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

例6已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，求證a2+b2+c2+d2≥（a-c）2+（b-d）2.

此題從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式.根據(jù)其特點(diǎn)，可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)，是創(chuàng)新的基礎(chǔ).

證明在平面直角坐標(biāo)系中，不妨設(shè)A（a，b），B（c，d），則有|AB|=（a-c）2+（b-d）2，|OA|=a2+b2，|OB|=c2+d2，在△OAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知|OA|+|OB|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)O在AB上時，等號成立，因此，原式成立.

很多學(xué)生都有思維定式，看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很煩瑣.學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對這個公式不熟，進(jìn)一步講是對基礎(chǔ)知識的掌握不牢固，因此，平時的教學(xué)中應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的學(xué)習(xí)運(yùn)用.

在數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.數(shù)形結(jié)合思想，就是在研究問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考查，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的解題方案.數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，不僅可以培養(yǎng)提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，還可以開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，而且，中學(xué)數(shù)學(xué)的每一部分知識都貫穿數(shù)形結(jié)合的思想，因此，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要經(jīng)常進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的教學(xué)，使貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的數(shù)形結(jié)合的思想真正在課堂教學(xué)中發(fā)揮其應(yīng)有的作用，以優(yōu)異的成績完成我們的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù).