高懷龍

【摘要】概率題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).本文總結(jié)幾種概率題的典型錯(cuò)誤，并進(jìn)行剖析.

【關(guān)鍵詞】概率；典型；錯(cuò)誤

概率解題中容易混淆的概念與易出錯(cuò)的問題很多，有的概率計(jì)算相當(dāng)困難而又富有技巧，為幫助高二同學(xué)的概率學(xué)習(xí)與高三同學(xué)復(fù)習(xí)好概率知識，本文對概率解題中最常見錯(cuò)誤而又容易混淆的五個(gè)問題進(jìn)行剖析，希望能對同學(xué)們有所幫助.

類型一“非等可能”與“等可能”混同

例1同時(shí)拋擲兩枚骰子與連續(xù)拋擲兩枚骰子，求所得點(diǎn)數(shù)之和為6的概率.

錯(cuò)解擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為2，3，4，…，12，共11種基本事件，所以概率為P=111.

剖析以上11種基本事件不是等可能的，如點(diǎn)數(shù)和為2的只有（1，1），而點(diǎn)數(shù)之和為6的前者有（1，5）（2，4）（3，3）共三種；后者為（1，5）（2，4）（3，3）（5，1）（4，2）共5種，而擲兩枚骰子前者共21種，后者共36種，是等可能的，所以“所得點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率：前者P=321，后者P=536.

類型二“有放回”與“無放回”抽樣混同

例2箱子中有a個(gè)正品，b個(gè)次品，從箱子中隨機(jī)連續(xù)抽取3次.（1）每次抽樣后不放回，求取出的三個(gè)全是正品的概率.（2）每次抽樣后放回，求取出的三個(gè)全是正品的概率.

剖析關(guān)于有放回抽樣可以看作有順序，也可以看作無順序，其結(jié)果一樣.

（1）不放回抽樣3次看作無順序，則從（a+b）個(gè)產(chǎn)品不放回抽樣3次，共C3a+b種方法，從a個(gè)產(chǎn)品中不放回抽樣3次，共C3a種方法，故取出3個(gè)正品的概率為P1=C3aC3a+b.

（2）從（a+b）個(gè)產(chǎn)品中有放回抽取3次，每次都有（a+b）種方法，所以共有（a+b）3種不同的方法，而3個(gè)全是正品的抽法共有a3種，所以3個(gè)全是正品的概率為P2=a3（a+b）3.

類型三“平均分組”與“非平均分組”混同

例3有6本不同的書：

（1）分給甲、乙、丙3人，每人2本，有多少種不同的分法？若平均分成3堆每堆2本，有多少種不同的分法？

（2）分給甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少種不同的分法？若分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分法？

錯(cuò)解（1）6本書分給甲、乙、丙，每人2本，共分C26·C24·C22·A33種，若平均分成3堆，則有C26·C24·C22種.（2）兩種情況都為C16·C25·C33·A33種.

剖析解與分配有關(guān)的概率問題，通常利用分組再分配的方法，分組有需要考慮是平均分配還是非平均分配；是局部還是總體平均分配，是有序分組還是無序分組.所以，上面例題（1）中前者是非平均分組，總共有C46·C24·C22種分法，后者是平均分組，共有C26·C24·C22A33種分法.（2）中前者總共有C16·C25·C33·A33種；后者共有C16·C25·C33種.

類型四“互斥”與“對立”混同

例4把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是（）.

A.對立事件

B.不可能事件

C.互斥但不對立事件

D.以上均不對

錯(cuò)誤答案A.

剖析本題錯(cuò)誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同，要準(zhǔn)確解答這類問題，必須搞清對立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別，這兩者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

（1）兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；

（2）互斥事件的概率適用多個(gè)事件，但對立事件的概念只適用于兩個(gè)事件；

（3）兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即：至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且只有一個(gè)發(fā)生.

例4中事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件可能恰有一個(gè)發(fā)生，一個(gè)不發(fā)生，可能兩個(gè)都不發(fā)生，所以選C.

類型五n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A“發(fā)生k次”與事件A“第k次才發(fā)生”及事件A“第k次發(fā)生”相混同

例5在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)中，某事件A發(fā)生的概率是0.8，求：

（1）事件A恰好有3次發(fā)生的概率；

（2）事件A在第三次才發(fā)生的概率；

（3）事件A在第三次發(fā)生的概率.

錯(cuò)解（1）P1=C3nP3（1-P）n-3；（2）P2=C1nP（1-P）n-1；（3）P3=C3nP3（1-P）n-3.

分析在上述例題中，最容易混同的是“k次發(fā)生”與“第k次發(fā)生”等同，且“恰好在第三次事件發(fā)生”與“第三次事件發(fā)生”相等同.

（1）中說明在n次中有3次發(fā)生，不管是哪3次發(fā)生，總之有3次，所以事件有3次發(fā)生的概率為P1=C3nP3（1-P）n-3.

（2）中“恰好在第3次發(fā)生”說明只發(fā)生了一次，且只在第三次發(fā)生，其他的幾次試驗(yàn)都沒有發(fā)生，故P2=P（1-P）n-1.

（3）中“第3次事件A發(fā)生”說明總共進(jìn)行了n次，其中A發(fā)生了3次，且在第n次發(fā)生了，所以P3=C2n-1P2（1-P）n-3·P.

總之，在概率問題的教學(xué)中，同學(xué)們一定要分清楚以上五種不同類型，抓住問題的實(shí)質(zhì)，從根本入手，才能解決具體問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]蔡旺.高中概率解題思想的應(yīng)用[J].科技風(fēng)，2016（23）：55.