■湖南省汨羅市第一中學(xué) 鄭宏建

一、構(gòu)建動(dòng)量知識(shí)體系

1.三個(gè)重要概念:

(1)動(dòng)量:質(zhì)量與速度的乘積(p=mv),動(dòng)量的方向與速度的方向相同。

(2)動(dòng)量的變化量:末動(dòng)量與初動(dòng)量之差(Δp=p'-p)。

(3)沖量:力與力的作用時(shí)間的乘積(I=Ft),沖量的方向與力的方向相同。

2.兩大核心規(guī)律:

(1)動(dòng)量定理:物體在一個(gè)過程始末的動(dòng)量變化量等于它在這個(gè)過程中所受力的沖量,即Δp=I。

(2)動(dòng)量守恒定律:如果一個(gè)系統(tǒng)不受外力,或者所受外力的矢量和為0,這個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變。①表達(dá)式:系統(tǒng)相互作用前的總動(dòng)量p等于系統(tǒng)相互作用后的總動(dòng)量p',即p'=p。也可表達(dá)為Δp1=-Δp2,即若相互作用的系統(tǒng)為兩個(gè)物體,則兩物體動(dòng)量的增量大小相等、方向相反。②動(dòng)量守恒定律的適用條件:系統(tǒng)不受外力或所受外力的合力為零,則系統(tǒng)的動(dòng)量嚴(yán)格守恒;系統(tǒng)所受合力不為零,但在某一方向上系統(tǒng)所受外力的合力為零,則在該方向上系統(tǒng)動(dòng)量守恒;系統(tǒng)雖受外力,但內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力且作用時(shí)間極短,如碰撞、爆炸過程,動(dòng)量近似守恒。

3.三大典型應(yīng)用:碰撞、爆炸、反沖。

碰撞、爆炸、反沖過程均遵從動(dòng)量守恒定律。如果碰撞過程中機(jī)械能守恒,那么這樣的碰撞叫彈性碰撞;如果碰撞過程中機(jī)械能不守恒,那么這樣的碰撞叫非彈性碰撞。

二、動(dòng)量及動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用

1.利用動(dòng)量定理求解瞬間作用問題。

例1某游樂園入口旁有一噴泉,噴出的水柱將一卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中。為計(jì)算方便起見,假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上沖擊玩具的底部,玩具底部為平板(面積略大于S);水柱沖擊到玩具底板后,在豎直方向上水的速度變?yōu)榱?在水平方向上朝四周均勻散開。忽略空氣阻力,已知水的密度為ρ,重力加速度大小為g。試求該卡通玩具的質(zhì)量。

解析:采用微元法進(jìn)行分析,取一段很短的Δt時(shí)間內(nèi)沖擊玩具底部的一小段水柱為研究對(duì)象,設(shè)其體積為ΔV,質(zhì)量為Δm,則Δm=ρΔV,ΔV=v0S·Δt,解得Δt時(shí)間內(nèi)從噴口噴出的水的質(zhì)量Δm=ρv0S·Δt。玩具在空中懸停,則由力的平衡條件得F=Mg。根據(jù)牛頓第三定律可知,玩具對(duì)其底部水柱的作用力F'=F,由題意可知,在豎直方向上,對(duì)該部分水柱應(yīng)用動(dòng)量定理得(F'-Δmg)·Δt=Δm·v0。因?yàn)棣很小,Δmg也很小,可以忽略,所以有F'·Δt=Δm·v0。聯(lián)立以上各式解得

點(diǎn)評(píng):求解本題有兩個(gè)難點(diǎn),一是研究對(duì)象的選擇,即取一段很短的Δt時(shí)間內(nèi)沖擊玩具底部的一小段水柱為研究對(duì)象,建立“微元柱體模型”;二是應(yīng)用“微元”方法建立動(dòng)量定理的方程,并結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)完成求解。

2.兩物體的多過程碰撞問題。

圖1

例2如圖1所示,固定在水平面上傾角θ的軌道底端有與之垂直的擋板,材質(zhì)和粗糙程度都相同的小物塊A、B的質(zhì)量分別為m和2m,它們之間夾有少量炸藥并一起以速度v0=2m/s沿軌道勻速下滑,當(dāng)兩物體與擋板間的距離L=0.4m時(shí)炸藥爆炸,炸藥爆炸后物塊A的速度恰好變?yōu)榱?隨后物塊B與擋板發(fā)生彈性碰撞,碰后物塊B沿軌道上滑與物塊A發(fā)生彈性碰撞。取g=10m/s2,求:

(1)物塊B與擋板第一次碰撞后瞬間,兩物塊的速度大小。

(2)物塊B上滑與A碰撞后瞬間,兩物塊的速度大小。

解析:(1)設(shè)沿軌道向下為正方向,在炸藥爆炸過程中,對(duì)物塊A、B應(yīng)用動(dòng)量守恒定律得(m+2m)v0=2mv1,解得v1=3m/s。由題意可知,物塊B在下滑過程中做勻速運(yùn)動(dòng),與擋板碰撞時(shí)無能量損失,故與擋板碰后瞬間物塊B的速度大小vB=3m/s,物塊A在炸藥爆炸后至與物塊B碰前一直處于靜止?fàn)顟B(tài),故vA=0。

(2)設(shè)物塊B上滑與A碰撞前的速度為v2,則對(duì)物塊B與擋板碰撞后至與物塊A碰撞前應(yīng)用動(dòng)能定理得,解得v2=1m/s。設(shè)物塊B上滑與A碰撞前后瞬間兩物塊的速度分別為對(duì)兩物塊的碰撞過程應(yīng)用動(dòng)量守恒定律得2mv2=2mvB'+mvA',由機(jī)械能守恒定律得解得

點(diǎn)評(píng):求解本題需要按時(shí)間順序分析物體的運(yùn)動(dòng)過程,重點(diǎn)分析碰前、碰中與碰后三個(gè)過程及每個(gè)過程遵循的物理規(guī)律,知道彈性碰撞過程遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒,并利用動(dòng)能定理分析物塊B上滑與A相撞前B的速度。

3.多物體的多次碰撞問題。

圖2

例3如圖2所示,粗糙的水平面上靜止放置著三個(gè)質(zhì)量均為m的小木箱,相鄰兩小木箱間的距離均為l。工人用沿水平方向的力F推最左邊的小木箱使之向右滑動(dòng),逐一與其他小木箱碰撞,每次碰撞后小木箱都粘在一起運(yùn)動(dòng)。整個(gè)過程中工人的推力F不變,最后恰好能推著三個(gè)小木箱勻速運(yùn)動(dòng)。已知小木箱與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ,重力加速度為g,碰撞時(shí)間極短,小木箱可視為質(zhì)點(diǎn)。求第一次碰撞和第二次碰撞中木箱損失的機(jī)械能之比。

解析:最后三個(gè)小木箱勻速運(yùn)動(dòng),則F=3μmg。工人只推最左邊的小木箱時(shí),由動(dòng)能定理得小木箱發(fā)生第一次碰撞時(shí),由動(dòng)量守恒定律得mv1=2mv2,碰撞中損失的機(jī)械能一次碰撞后,工人推著兩個(gè)小木箱向右運(yùn)動(dòng),由動(dòng)能定理得小木箱發(fā)生第二次碰撞時(shí),由動(dòng)量守恒定律得2mv3=3mv4。碰撞中損失的機(jī)械能聯(lián)立以上各式解得

點(diǎn)評(píng):多物體的多次碰撞問題一般可以轉(zhuǎn)化為兩物體的碰撞問題,分析清楚兩物體在碰前與碰后這兩個(gè)過程遵循的物理規(guī)律,即可利用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律將碰撞前后的物理量聯(lián)系起來。

圖3

1.如圖3所示,一質(zhì)量M=3kg的玩具小車在光滑水平軌道上以速度v0=2m/s向右運(yùn)動(dòng),一股水流以水平速度u=2.4m/s自右向左射向小車的豎直左壁,并沿左壁流入車箱內(nèi),水的流量b=0.4kg/s。

(1)要改變小車的運(yùn)動(dòng)方向,射到小車?yán)锏乃馁|(zhì)量至少是多少?

(2)當(dāng)射到小車?yán)锏乃馁|(zhì)量m0=1kg時(shí),小車的速度和加速度各是多大?

圖4

2.如圖4所示,質(zhì)量為2m、高度為h的光滑弧形槽末端水平,放置在光滑水平地面上,質(zhì)量為m的小球A從弧形槽頂端由靜止釋放,之后與靜止在水平面上質(zhì)量為m的小球B發(fā)生對(duì)心碰撞并粘在一起,求:

(1)小球A滑下弧形槽后的速度大小。

(2)小球A、B碰撞中損失的機(jī)械能。

參考答案:

1.(1)2.5kg,(2)0.9m/s,0.33m/s2。