■安徽省滁州中學(xué) 王 云 牛 麗 周有順

遵從胡克定律的彈簧、彈性繩、橡皮筋是力學(xué)中常見的提供彈力的模型,求解涉及此類模型問(wèn)題的過(guò)程體現(xiàn)了化靜態(tài)思維為動(dòng)態(tài)思維、化單向思維為多向思維的思維進(jìn)階過(guò)程。下面以一道涉及橡皮筋的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題為切入點(diǎn)進(jìn)行分層學(xué)習(xí),逐步提升同學(xué)們的思維體系。

圖1

例題如圖1所示,一根遵從胡克定律的橡皮筋的一端系于O點(diǎn),另一端系一物塊,橡皮繩的原長(zhǎng)為OA,橡皮繩垂直時(shí)物塊對(duì)地面有壓力,物塊在水平拉力作用下緩慢地向右做直線運(yùn)動(dòng),則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中( )。

A.地面對(duì)物塊的支持力保持不變

B.地面對(duì)物塊的支持力減小

C.地面對(duì)物塊的摩擦力增大

D.地面對(duì)物塊的摩擦力減小

圖2

解析:物塊在水平拉力作用下緩慢地向右做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài),所受合外力等于零。如圖2所示,以O(shè)點(diǎn)為圓心,以橡皮繩原長(zhǎng)OA為半徑作圓弧與OD相交于C點(diǎn),則CD段的長(zhǎng)度為橡皮繩的伸長(zhǎng)量。如圖3所示,對(duì)物塊進(jìn)行受力分析,構(gòu)建共點(diǎn)力平衡方程得F-f-Tsinθ=0,N+Tcosθ-G=0。橡皮繩的拉力T=kxCD,物塊與地面間的彈力N=G-kxCDcosθ=G-kxCE,物塊與地面間的滑動(dòng)摩擦力f=μN(yùn)=μ(G-kxCE),水平外力F=μ(G-kxCE)+kxDE=因此,物塊在向右滑動(dòng)的過(guò)程中,物塊與地面間的彈力逐漸減小,摩擦力逐漸減小,水平外力逐漸增大。

圖3

答案:BD

反思:動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的核心思想是“以不變應(yīng)萬(wàn)變”,分析過(guò)程中務(wù)必明確哪些物理量不變,哪些物理量變化且動(dòng)態(tài)源怎樣變化。本題的難點(diǎn)是橡皮筋繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),通過(guò)幾何方法確定伸長(zhǎng)量為CD段的長(zhǎng)度,并通過(guò)共點(diǎn)力平衡條件進(jìn)行定量推導(dǎo)。同時(shí)由于隨物塊向右滑動(dòng),物塊與地面間的彈力逐漸減小,物塊可能離開地面,因此為了嚴(yán)謹(jǐn),本題需要補(bǔ)充條件“物塊緩慢地向右運(yùn)動(dòng)一小段距離”。

圖4

變式1:如圖4所示,若在靠近A點(diǎn)右側(cè)固定一枚光滑釘子,則在水平拉力作用下物塊緩慢地向右做直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中( )。

A.地面對(duì)物塊的支持力保持不變

B.地面對(duì)物塊的支持力減小

C.地面對(duì)物塊的摩擦力增大

D.水平拉力保持不變

解析:物塊的受力情況與圖3類似,利用共點(diǎn)力平衡可以進(jìn)行推導(dǎo)。物塊與地面間的彈力N=G-kxACcosθ=G-kxAB,物塊與地面間的滑動(dòng)摩擦力f=μN(yùn)=μ(G-kxAB),水平外力F=μ(G-kxAB)+kxBC。因此,物塊在向右滑動(dòng)的過(guò)程中,物塊與地面間的彈力不變,摩擦力不變,水平外力逐漸增大。

答案:A

反思:本題的特點(diǎn)是“靠近A點(diǎn)右側(cè)固?定一枚光滑釘子”,AC段的長(zhǎng)度為橡皮筋的伸長(zhǎng)量,所以彈力在豎直方向上的分力保持不變,彈力不變,滑動(dòng)摩擦力保持不變。橡皮筋伸長(zhǎng)量在水平方向上的分量逐漸增大,彈力在水平方向上的分力逐漸增大,水平外力逐漸增大。

圖5

變式2:如圖5所示,若在A點(diǎn)上方靠近M點(diǎn)右側(cè)固定一枚光滑釘子,則在水平拉力作用下物塊緩慢地向右做直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中( )。

A.地面對(duì)物塊的支持力保持不變

B.地面對(duì)物塊的支持力減小

C.地面對(duì)物塊的摩擦力增大

D.水平拉力保持不變

解析:物塊的受力情況與圖3類似,利用共點(diǎn)力平衡可以進(jìn)行推導(dǎo)。物塊與地面間的彈力N=G-k(xMC-xMA)cosθ=G-kxMB+kxMAcosθ,物塊與地面間的滑動(dòng)摩擦力f=μN(yùn)=μ(G-kxMB+kxMAcosθ),水平外力因此,物塊在向右滑動(dòng)的過(guò)程中,物塊與地面間的彈力逐漸減小,摩擦力逐漸減小,水平外力逐漸增大。

答案:B

反思:本題的特點(diǎn)是“在A點(diǎn)上方靠近M點(diǎn)右側(cè)固定一枚光滑釘子”,xMC并非為橡皮筋的伸長(zhǎng)量,所以在計(jì)算過(guò)程中需要利用(xMC-xMA)代表伸長(zhǎng)量。其他分析過(guò)程可以類比例題。

圖6

變式3:如圖6所示,一根彈性細(xì)繩的勁度系數(shù)為k,將其一端固定在P點(diǎn),另一端穿過(guò)一光滑小孔A系住一質(zhì)量為m的滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),滑塊位于水平地面上的O處。當(dāng)細(xì)繩豎直時(shí),小孔A到懸點(diǎn)P的距離恰為彈性細(xì)繩的原長(zhǎng)。小孔A到水平地面的距離為與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。若滑塊與地面間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,則滑塊處在什么區(qū)域內(nèi)均可保持靜止?

圖7

解析:假設(shè)滑塊在C點(diǎn)受到的摩擦力恰好為最大靜摩擦力,如圖7所示,根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件得N+Tcosθ=G,Tsinθ=fmax,又有T=kx,G=mg,fmax=解得因此滑塊處在以O(shè)點(diǎn)為圓心,以r為半徑的圓內(nèi)都可以保持靜止。

反思:本題的物理情境從二維平面進(jìn)化到三維立體,滑塊的運(yùn)動(dòng)區(qū)域從直線進(jìn)化到二維平面,利用降維思想即可順利求解。

1.如圖8所示,用橡皮筋將一小球懸掛在小車的架子上,系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)使小車從靜止開始向左加速,加速度從零開始逐漸增大到某一值,然后保持此值,小球穩(wěn)定地偏離豎直方向某一角度(橡皮筋在彈性限度內(nèi))。與穩(wěn)定在豎直位置時(shí)相比,小球的高度( )。

A.一定升高

B.一定降低

C.保持不變

D.升高或降低由橡皮筋的勁度系數(shù)決定

圖8

圖9

2.如圖9所示,AB為一固定在小車上的豎直桿,BC為一光滑彎曲管道,橡皮筋一端固定在支架上的B點(diǎn),穿過(guò)管道另一端懸掛一個(gè)小球。系統(tǒng)平衡時(shí),BC管道的弧長(zhǎng)恰好為橡皮筋的原長(zhǎng)。現(xiàn)使小車向左做勻加速運(yùn)動(dòng),小球穩(wěn)定地偏離豎直方向某一角度(橡皮筋在彈性限度內(nèi))。與穩(wěn)定在豎直位置時(shí)相比,小球的高度( )。

A.一定升高

B.一定降低

C.保持不變

D.升高或降低由橡皮筋的勁度系數(shù)決定

圖10

參考答案:1.A 提示:如圖10所示,以懸點(diǎn)O點(diǎn)為圓心,以橡皮筋原長(zhǎng)OA為半徑作圓弧與傾斜后的橡皮筋相交于C點(diǎn),小球在豎直方向上保持平衡,所以橡皮筋的伸長(zhǎng)量在豎直方向上的投影和AB段的長(zhǎng)度相等,顯然穩(wěn)定后小球的高度會(huì)升高。

2.C 提示:本題的特點(diǎn)是“BC為一光滑彎曲管道,且BC管道的弧長(zhǎng)恰好為橡皮筋的原長(zhǎng)”,所以C點(diǎn)以下部分恰好為橡皮筋的伸長(zhǎng)量,小車向左做勻加速運(yùn)動(dòng),小球在豎直方向上保持平衡,橡皮筋的伸長(zhǎng)量在豎直方向上的投影保持不變,所以小球的高度保持不變。