肖秋芳

摘 要：在高中物理力學(xué)的解題過程中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題：一個(gè)物體同時(shí)受到滑動(dòng)摩擦力、支持力等多力（三個(gè)力以上）作用時(shí)，在第三個(gè)力作用下，改變支持力與滑動(dòng)摩擦力的大小，當(dāng)?shù)谌齻€(gè)力滿足一定大小和方向，這時(shí)第三個(gè)力出現(xiàn)了最小的極值問題。求解這個(gè)問題典型的做法是用三角函數(shù)求極值，而用三角函數(shù)知識(shí)解題比較繁雜，但如果巧妙應(yīng)用滑動(dòng)摩擦力與支持力的合力方向不變，就可以使問題簡(jiǎn)單化，提高了解題的速度，起到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：滑動(dòng)摩擦力;支持力;合力方向不變;極值

滑動(dòng)摩擦力Ff與接觸面的壓力FN之間的數(shù)量關(guān)系為Ff=μFN.得μ=Ff、/FN，如果把滑動(dòng)摩擦力與支持力（壓力的的反作用力）合成，由于滑動(dòng)摩擦力與支持力是垂直的所以他們合力必然在是以這兩個(gè)力為鄰邊的矩形的對(duì)角線上，而且合力方向不隨著滑動(dòng)摩擦力

與支持力的改變而改變（如圖1），合力與支持力夾角為θ，tanθ=Ff /FN=μ，由于摩擦系數(shù)μ只取決于相互接觸的兩物體表面的材料性質(zhì)及表面狀況，因而θ與摩擦力和接觸面的壓力無關(guān)。也就說當(dāng)滑動(dòng)摩擦力與支持力都變化了，滑動(dòng)摩擦力與支持力的合力方向卻不變。這個(gè)結(jié)論在高中物理解題應(yīng)用可以帶來很大的方便。

1 滑動(dòng)摩擦力與支持力的合力方向不變應(yīng)用在四個(gè)力的極值問題

在一個(gè)接觸面上物體同時(shí)受到了滑動(dòng)摩擦力和支持力等三個(gè)力以上時(shí)，滑動(dòng)摩擦力與支持力隨著第三個(gè)力的改變而改變，當(dāng)?shù)谌齻€(gè)力滿足一定條件時(shí)求極值問題的應(yīng)用[ 1 ]。

【例題1】如圖2所示，水平地面上靜止放有一質(zhì)量為m的物體，物體與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，用一恒力F作用在物體上使其在水平面上勻速運(yùn)動(dòng)的最小恒力F為多大，與水平方向夾角如何？

分析：用常規(guī)的解法，受力分析如圖2，設(shè)F與水平夾角為θ， 把F力分解為水平方向與豎直方向。

根據(jù)平衡條件有

Fsinθ+FN=mg ①

Fcosθ=Ff ②

Ff=μFN ③

聯(lián)立①、②、③式得

F=

由三角函數(shù)可得，當(dāng)tanθ=μ時(shí)，F(xiàn)=

以上用三角函數(shù)得出結(jié)論，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)要求高，而且計(jì)算過程比較繁。下面用滑動(dòng)摩擦力與支持力的合力方向不變求解。物體受力分析如圖3，重力，拉力F，摩擦力，支持力。先把物體受到支持力與摩擦力合成為F1。θ為支持力與合力F1的夾角，tanθ=Ff/FN，μ=Ff/FN 即μ=tanθ，摩擦力與支持力的合力F1方向是確定的，當(dāng)F作用下支持力與摩擦力也隨之改變，但合力F1方向不改變。這樣原來物體受到了四個(gè)力平衡的求最小值，轉(zhuǎn)化為三個(gè)力平衡：已知一個(gè)力——重力的大小方向不變，另一個(gè)力的方向即摩擦力與支持力的合力F1方向已知，求出F最小值和方向。三個(gè)力共點(diǎn)力的平衡，其中F與合力F1的合力必然與G的大小相等，方向相反。F的最小值就是如圖3中，從G'點(diǎn)作已知F1方向垂線段。如圖即F=Gsinθ。

摩擦力與支持力的合力方向是確定的我們可省了大量的計(jì)算，給解題帶來方便。不僅應(yīng)用在水平上，也可應(yīng)用在斜面上。

【例題2】如圖4，質(zhì)量為m的物塊在斜面上做向下勻速運(yùn)動(dòng)，斜面的傾角為θ=300，現(xiàn)在物塊上施加一個(gè)力F，圖中未畫出，使物體向上勻速運(yùn)動(dòng)則最小拉力及方向？

分析：一種用常規(guī)的方法設(shè)F與斜面的夾角為？滓然后根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求得F及夾角。計(jì)算過程復(fù)雜這里不介紹了。這里利用滑動(dòng)摩擦與支持力的合力方向不變求解。首先分析在沒有受到推力作用下物塊m的平衡方程為：

FN -Gcosθ=0，

Ff -Gsinθ=0.

又Ff=μFN，解得μ=tanθ=

現(xiàn)在施加一個(gè)力，物體則受到是四個(gè)力，重力、支持力、滑動(dòng)摩擦力、F（方向大小未知）。首先把支持力與滑動(dòng)摩擦力先合成合力為F1，如圖5，根據(jù)μ=tanθ=Ff /FN，雖然滑動(dòng)

動(dòng)摩擦力與支持力大小都因F的改變而改變，但他們的合力為F1方向卻是定的。這樣物體就受到三個(gè)力即：重力（大小、方向確定）、F1（方向已知）、F（大小、方向未知），三力平衡由矢量三角形幾何關(guān)系可以得F是垂直于F1的垂線F方向與豎直方向夾角300向上，圖中未畫出。

當(dāng)然，我們?cè)诮忸}過程中，經(jīng)常會(huì)遇到物體受到五個(gè)力（其中兩個(gè)力是滑動(dòng)摩擦力、支持力）時(shí)，求滿足一定條件的極值問題也可以應(yīng)用

2 ?滑動(dòng)摩擦力與支持力的合力方向不變應(yīng)用在五個(gè)力極值問題

【例題3】如圖6所示，傾角為60°，高為h的粗糙絕緣斜面體ABC固定在水平地面上，一個(gè)帶負(fù)電的小球（可視為點(diǎn)電荷）固定在BC邊上距B點(diǎn)h/3高處的D點(diǎn)，可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電的小物塊Q（質(zhì)量為m）靜止于斜面底端的A點(diǎn)，此時(shí)小物塊Q恰好不接觸地面且與斜面間的摩擦力為0。已知小物塊Q與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)=，小物塊Q所受的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g，若要拉動(dòng)小物體Q，使之沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，則拉力的最小值為多少？

分析：小物塊Q靜止于A點(diǎn)時(shí)，恰好不接觸地面與斜面的摩擦力為0，對(duì)小物塊Q受力分析且由幾何關(guān)系可知，小物塊Q所受庫侖引力F與水平面夾角為300，則沿斜面方向?qū)π∥飰KQ由平衡條件得

mgsin60°=Fcos30°，解得F=mg。

小物塊Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，除拉力外的受力如圖6所示，還受到四個(gè)力的作用：庫侖力，重力，支持力，滑動(dòng)摩擦力。庫侖力F與重力G大小相等，且二者夾角為1200，故庫倉力與重力的合力大小為F2=mg，合力方向在重力與庫侖力的角平分線上且與重力方向夾角為60°，也與斜面垂直，所以FN大小等于F2，把小物塊Q的支持力FN與滑動(dòng)摩擦力Ff合成為合力F1的方向沿水平方向而且不隨著F拉拉力的改變而改變，這樣物體受到是五個(gè)力變成了三個(gè)力即：F與G的合力F2，（大小方向是確定的），支持力與摩擦力的合力F1（方向是確定的），還有就是拉力。拉力最小值即還是處于平衡狀態(tài)，的如圖7所示，由圖解法可得，滿足拉力與F1方向垂直時(shí)，拉力最小，最小值為mgsin30°=mg。

通過上面的幾個(gè)例子，不難發(fā)現(xiàn)在滑動(dòng)摩擦力與支持力的合力方向不變的運(yùn)用，是把這兩個(gè)力化成一個(gè)方向不變的力，從而化多力（三力以上）為三個(gè)力的。也是對(duì)滑動(dòng)摩擦力計(jì)算公式的理解與運(yùn)用，我們課堂中要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，既可以節(jié)約時(shí)間，又提高了解題效率。培養(yǎng)了學(xué)生的分析、理解、概括、應(yīng)用的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]張子云.一類動(dòng)力極值問題的幾何解法[J].物理教師，2018.（6）