陳云

[摘 要]幾何直觀不是僅僅體現(xiàn)在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而是滲透在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，而且?guī)缀沃庇^更利于簡明、直觀地呈現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，是分析問題和解決問題的重要方法之一。借助實際教學(xué)案例的分析以及對教材的解讀，從堅實幾何直觀的思維基礎(chǔ)、提升幾何直觀的活動經(jīng)驗、凸顯幾何直觀的特殊作用三個方面闡述小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的方式和方法。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀；活動經(jīng)驗；數(shù)形結(jié)合；表征

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）23-0012-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》里的十大核心詞中，“幾何直觀”是個新詞，在一線教師中引起的困惑特別多。有的教師從字面上理解，認(rèn)為“幾何直觀”是專屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域的關(guān)鍵詞，這是不恰當(dāng)?shù)?。我們來看?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“幾何直觀”的描述：主要是指利用圖形描述和分析問題；借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果；幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。可見，幾何直觀不僅體現(xiàn)在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，更是滲透在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，而且對于學(xué)生來說，幾何直觀更利于簡明、直觀地呈現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，是分析問題和解決問題的重要方法之一。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有效發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力需要多方面的協(xié)同配合，要重視教材中圖形表象和圖形特征的教學(xué)；要有意識地培養(yǎng)學(xué)生通過構(gòu)造圖形來表征問題；要結(jié)合不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)實例，讓學(xué)生逐步學(xué)習(xí)和掌握“畫數(shù)學(xué)”和“數(shù)形結(jié)合”的基本技能，增強(qiáng)學(xué)生運用幾何直觀的意識和能力。

一、重視圖形表象教學(xué)，堅實幾何直觀的思維基礎(chǔ)

幾何直觀的功能是多方面的。一方面，借助幾何直觀，能夠促進(jìn)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，更直接地發(fā)現(xiàn)方法或思路，從而形成結(jié)論，這是幾何直觀的發(fā)現(xiàn)功能；另一方面，借助幾何直觀，抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)律可以找到“依托”，并變得形象生動，有利于學(xué)生把握知識的本質(zhì)，這是理解功能。各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材都十分重視幾何直觀的這些功能，注重運用圖形表象進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的表述和分析，注重直觀示意圖與數(shù)學(xué)語言之間的合理轉(zhuǎn)換。以北師大版教材（2011年版）為例，它就有很多借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)的研究對象（即空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知的教學(xué)內(nèi)容?？傮w來看又可分為三種情況。

教材借助這些“看得見的東西來幫忙”，充分發(fā)揮實物圖、小棒圖、計數(shù)器、點子圖、方格圖、示意圖、集合圖、數(shù)軸、圖表等的直觀作用，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識。教師應(yīng)充分利用教材提供的這些素材，重視幾何直觀的教學(xué)。例如，在乘法計算的教學(xué)中，北師大版教材較多地引入“點子圖”，幫助學(xué)生理解算理、建構(gòu)算法：三年級上冊“螞蟻做操”一課首次借助點子圖探究兩位數(shù)乘一位數(shù)（12×4，如圖4）的計算方法，學(xué)生在拆數(shù)的過程中將新的問題轉(zhuǎn)化為已有知識（表內(nèi)乘法或口算乘法）來解答，學(xué)生因分法不同產(chǎn)生了不同的計算方法，這既是鼓勵學(xué)生算法多樣化的一個有價值的模型，又是后面簡便計算的一個初始蘊(yùn)伏（第一種方法拆數(shù)后運用了乘法結(jié)合律，第三種方法運用了乘法分配律）。

當(dāng)然，學(xué)生不容易想到用拆數(shù)的方法來圈點子圖，教材為此在二年級下冊的相關(guān)內(nèi)容教學(xué)中就做了必要的鋪墊（如圖6），如果教師在前面的教學(xué)中就對這一部分內(nèi)容有足夠的重視，這里學(xué)生的想法就會水到渠成了。雖然指導(dǎo)學(xué)生用圈點子圖來解釋“乘”的理由和結(jié)果，會在一定程度上擠占學(xué)生的解題時間，但不應(yīng)該被認(rèn)為是多此一舉的事情，教師需要借助這種有形的方式讓抽象的計算有所依托。當(dāng)然形可以是有形可視的，也可以是無形想象的，教學(xué)到了一定的階段，學(xué)生確實就可以憑著想象，在腦子中畫出圖來，不再需要手上具體的動作，手上即使有動作，也不過是無意義的比畫，配合頭腦的想象而已，而這正是長期訓(xùn)練給學(xué)生留下的數(shù)學(xué)感。有了這樣的數(shù)學(xué)感，學(xué)生才會進(jìn)一步運用多種圖形和符號直觀地理解知識、分析問題、解決問題，并進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

二、構(gòu)造圖形表征問題，提升幾何直觀的活動經(jīng)驗

在解決一些稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題或認(rèn)識一些新的數(shù)學(xué)概念時，總會有一些抽象的、信息量龐雜的、與學(xué)生的理解能力有一定距離的內(nèi)容，這個時候教師要進(jìn)行示范，通過構(gòu)造圖形來表征問題、尋求解法，并適時、適度地給學(xué)生提供參與這類解題活動的機(jī)會，以求逐漸增強(qiáng)學(xué)生運用幾何直觀的意識和能力，以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。那么作為教材圖形表象內(nèi)容的補(bǔ)充和延伸，我們還可以嘗試多元表征、組合表征、以圖求解等。

1.多元表征優(yōu)于單一呈現(xiàn)

教學(xué)“一位小數(shù)比較大小”時，傳統(tǒng)的教學(xué)方式是利用實際生活中的物品價格創(chuàng)設(shè)情境：教師出示一根橡皮筋（ 0. 1元）和一塊橡皮擦 （0. 5 元），學(xué)生通過日常生活體驗比大小得出0. 1元（1角）小于0. 5元（5角），隨即抽象出 0. 1 < 0. 5。這種教學(xué)是通過口耳相授，即言語化的表征。此時，如果能給出線段圖，就能在鞏固小數(shù)意義的同時也比較了小數(shù)的大?。ㄈ鐖D7）。當(dāng)然，這還不夠，出示等分圓（如圖8），利用陰影部分既可以直觀形象地比較小數(shù)大小，又可以將分?jǐn)?shù)與小數(shù)的意義再一次緊密相連，進(jìn)一步強(qiáng)化小數(shù)與分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，使知識之間建立實質(zhì)性的聯(lián)系，便于今后通過當(dāng)前的知識和問題信息得出新的知識或信息?？梢姡瑘D形的展示對知識形成了一種視覺化的表征，結(jié)合本身的言語化表征的教學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生形成新的認(rèn)知圖式的進(jìn)程，從而提高課堂效率。

2.組合表征勝于離散表達(dá)

幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著關(guān)聯(lián)、理解，甚至提供方法的作用。在數(shù)學(xué)的海洋中，知識間的關(guān)聯(lián)性給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)搭建了可以攀爬的階梯，教師要注重溝通這種聯(lián)系，通過圖形的直觀性質(zhì)來闡明這種聯(lián)系，形成知識體系，促進(jìn)學(xué)生思維?！皥D形直觀—數(shù)形結(jié)合—組合呈現(xiàn)”無疑是表達(dá)復(fù)雜內(nèi)容的較好方式，學(xué)生借助幾何直觀的形象支撐把知識融會貫通了，也就達(dá)到了孔子所說的“舉一隅能以三隅反”，這是任何一種離散表征所不能達(dá)到的效果。

例如，北師大版教材（2011年版）六年級下冊“圓柱和圓錐”這一單元是小學(xué)階段立體幾何的最后一部分內(nèi)容，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)立體幾何的重要基礎(chǔ)。教材安排學(xué)生集中認(rèn)識圓柱和圓錐，這樣有利于學(xué)生更好地對比圓柱與圓錐的特征。教學(xué)新課之后，我做了組合表征（如圖9），通過“提取類比物—建立猜想—觀察比較—發(fā)現(xiàn)驗證”，在對比中溝通聯(lián)系，在聯(lián)系中深化認(rèn)識，在認(rèn)識后強(qiáng)化記憶，不僅縮短了知識間的距離，還能減少了記憶容量。雖然，部分內(nèi)容學(xué)生暫不能計算出圖9中的所有結(jié)果，但不妨礙學(xué)生對它的討論和猜想，這是幾何直觀帶給學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣和無限可能。

3.以圖求解利于激發(fā)興趣

直觀是抽象思維問題的信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象可以反復(fù)地給抽象思維帶來可觀察、可操作、可變通等技巧。憑借幾何直觀，以圖求解實現(xiàn)了代數(shù)問題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，不僅使解題過程簡潔明了，還能為研究和探究數(shù)學(xué)問題提供興奮點。

例如，在教學(xué)“角的測量”后，教師如果給出特定的角或要求學(xué)生自己畫個角進(jìn)行測量，學(xué)生一定興味索然。我在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)了“哪個位置更容易進(jìn)球？”的問題情境，借助幾何直觀激發(fā)了學(xué)生探究的欲望。

師：足球比賽中， A點、B點、C點都是球門前的位置，你認(rèn)為哪個位置更容易進(jìn)球？

生1：A點更容易進(jìn)球。

師：你確定嗎？（學(xué)生沉默）

師：那B點和C點呢？

生2：B點。

生3：C點。

師：看，沒有找到證據(jù)就會產(chǎn)生爭議。在數(shù)學(xué)中，我們不能僅憑直覺，得用一些數(shù)據(jù)來說明。你能用數(shù)學(xué)的知識來解釋你的答案嗎？

（有的學(xué)生在搖頭，有的學(xué)生在沉思……我默不作聲，拿出尺子以B點為頂點描出了一個三角形，再連接A點與球門的左邊頂點，并作出了角的標(biāo)記，如圖11所示）

生4（眼前一亮）：是不是與角度有關(guān)？

師（微笑著點頭）：動手畫一畫、量一量，用數(shù)據(jù)來說明A點、B點、C點哪個位置更容易進(jìn)球。

……

可以想象，接下來的數(shù)學(xué)活動是多么有趣，畫角、量角不再生硬，還讓學(xué)生解開了最感興趣的足球比賽中的“心結(jié)”。

三、結(jié)合不同領(lǐng)域?qū)嵗?，凸顯幾何直觀的特殊作用

幾何直觀需要滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個領(lǐng)域，“圖形與幾何”領(lǐng)域自然是不用說的，事實上，教材在“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合”領(lǐng)域所滲透的幾何直觀內(nèi)容也是非常多的。教師應(yīng)結(jié)合多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)實例，不斷凸顯幾何直觀的特殊作用。

1.代數(shù)直觀

問題的解決離不開大量的信息，文字信息通常以靜態(tài)方式呈現(xiàn)，而幾何直觀可以化靜為動，使文字具有動感，變得鮮活。在解決數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的問題時，用畫圖的方式呈現(xiàn)相關(guān)信息更利于梳理數(shù)量關(guān)系，便于解題。其中，線段圖無疑就是最好的“幫手”。以北師大版教材（2011年版）為例，可以看到教材從一年級的加減法到六年級的百分?jǐn)?shù)解決問題，線段圖在很多“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中都起到了不容忽視的作用。當(dāng)所有信息匯集在線段圖上時，幾何直觀就開啟了學(xué)生探索的大門，多元信息在這里碰撞、組合、沉淀。當(dāng)學(xué)生感受到線段圖能容納題中所有信息時，原題以文字呈現(xiàn)的內(nèi)容已是多余，此時教師可去掉題目的文字信息，這樣圖表直觀功能立刻得到凸顯。

例如，“乘坐出租車”的問題：“某地出租車定價是4公里以內(nèi)（含4公里）起步價10元，4公里到15公里之間每公里收費1.2元，15公里以上的路程每公里要提價50%，不足1公里的按1公里計算。王老師去該地出差，從長途汽車站下車后，他用‘滴滴打車叫了一輛出租車，‘滴滴打車顯示總路程為18.5公里。請問，王老師要準(zhǔn)備多少車費？”問題中的信息量很大，對于學(xué)生來說，要整體把握信息，并有效提取和運用信息不是一件簡單的事。教師可引導(dǎo)學(xué)生將紛繁的信息梳理成圖文結(jié)合的線段圖（如圖12），摒棄大量的文字，學(xué)生的思路瞬間明晰。有了這樣的圖示，就可將原題隱去，“柳暗花明又一村”的感覺就能讓學(xué)生感受到幾何直觀的強(qiáng)大力量。

2.統(tǒng)計直觀

“統(tǒng)計與概率”所提供的“運用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷”的思考方法已經(jīng)成為現(xiàn)代社會一種普遍適用并且強(qiáng)有力的思維方式。這一部分知識是最接近數(shù)學(xué)本質(zhì)的。因為生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的大部分知識是無法用具體的表達(dá)式來刻畫的，而統(tǒng)計學(xué)恰恰制定了較為合理的策略（這其中最重要的策略就是幾何直觀），解決了難以用簡潔的語言來刻畫數(shù)學(xué)模型的問題。以北師大版教材（2011年版）為例，選部分內(nèi)容來看“統(tǒng)計與概率”知識在小學(xué)階段的發(fā)展過程（如圖13）。

可以看出，教材是按照由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象的順序安排上述內(nèi)容的。二年級限于用有特定代表意義的圖形“一一對應(yīng)”表達(dá)簡單數(shù)據(jù)；三年級開始用一個符號（正字）來表示相應(yīng)數(shù)據(jù)，符號表示使統(tǒng)計的記錄和計量更加便捷；到了四年級，隨著數(shù)據(jù)的擴(kuò)大，“一一對應(yīng)”的表達(dá)方式不再適用，于是開始用一個符號表示一些數(shù)據(jù)（如一個雞蛋圖形代表100個雞蛋的數(shù)量），并最終抽象成條形統(tǒng)計圖“1格表示100個單位”；五年級多組數(shù)據(jù)綜合表征的復(fù)式條形統(tǒng)計圖和復(fù)式折線統(tǒng)計圖能夠更輕松直觀地呈現(xiàn)大量信息；六年級的扇形統(tǒng)計圖已經(jīng)是高度抽象的數(shù)量分配示意圖的載體。

沿著教材的路徑，教師在教學(xué)中要極力突出圖形在描述事物和分析問題中的演變過程，抓住點、線、面等幾何直觀在表達(dá)數(shù)據(jù)時逐步發(fā)展、漸漸豐滿的數(shù)學(xué)魅力。首先要學(xué)會畫圖，畫出信息；其次要學(xué)會讀圖，讀出關(guān)系；最后要學(xué)會想圖，想出知識。統(tǒng)計的啟蒙活動必須借助數(shù)學(xué)中的各類形體，充分使用學(xué)生原有的、處在生活經(jīng)驗狀態(tài)的幾何認(rèn)知，使得學(xué)生能夠熟練地描述與表征統(tǒng)計的對象和數(shù)量。這些探索的活動需要安排在不同的學(xué)習(xí)層次中，讓學(xué)生透過幾何直觀的逐漸演變，從簡單到復(fù)雜、從單一到多元，發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計的多種表征方式，從而促進(jìn) “統(tǒng)計與概率”思維的發(fā)展。

3.綜合直觀

“綜合與實踐”領(lǐng)域溝通了生活中的數(shù)學(xué)與課堂上的數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使得幾何、代數(shù)和統(tǒng)計與概率的內(nèi)容交織在一起出現(xiàn)，使發(fā)展學(xué)生的綜合應(yīng)用知識的能力得以實現(xiàn)?！熬C合與實踐”對于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中接觸到一些有研究和探究價值的題材和方法，使學(xué)生全面認(rèn)識數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)在學(xué)生未來的職業(yè)和生活中發(fā)揮作用等方面具有重要意義。以北師大版教材（2011年版）為例，選取二年級至六年級“綜合實踐”（數(shù)學(xué)好玩）部分內(nèi)容（如圖14）來看在“綜合與實踐”領(lǐng)域中教材是如何運用幾何直觀的。

不難看出，二年級是圖形的直接表達(dá)；三年級清晰呈現(xiàn)對象的關(guān)系；四年級有了數(shù)形結(jié)合；五、六年級是圖形和圖表的綜合表達(dá)。教學(xué)中，在實物直觀（即實物層面的幾何直觀）階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助與研究對象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物（如：長方形彩旗、三角形彩旗），并以此作為參照物，進(jìn)行形象的思考，獲得針對研究對象的初步判斷。與其同時，還要激發(fā)學(xué)生經(jīng)歷圖形抽象的過程，能根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形（如：用√表示紅花，×表示黃花；用三角形表示上衣，正方形表示褲子）。接下來，學(xué)生需要學(xué)會“依據(jù)語言的描述畫出圖形關(guān)系”（如：一條連線表示一種搭配方案）。借助這些幾何直觀，就能幫助學(xué)生對復(fù)雜關(guān)系進(jìn)行一定程度的抽象而形成半符號化的直觀（如：數(shù)形結(jié)合、圖表等），并且在分析圖形的基本要素之間的相關(guān)關(guān)系中解決綜合實踐問題。只有擁有豐富的幾何直觀活動經(jīng)驗并且善于反思的人，他的綜合實踐能力才有可能達(dá)到更高的水平。

總而言之，幾何直觀是一種重要的思維策略，掌握幾何直觀的基本步驟，有助于思維結(jié)構(gòu)的平衡和優(yōu)化，能有效提升直觀把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和解決問題的思維效能。正如美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩所言：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法?！痹趯嶋H教學(xué)中，怎樣滲透好幾何直觀、怎樣運用好幾何直觀、怎樣發(fā)展好幾何直觀，我們要探索的還很多。

（責(zé)編 金 鈴）