史振宇 丁益民 張余夢(mèng) 殷子棋 蔣富麗

(湖北大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

Tracker是國(guó)外針對(duì)物理教學(xué)而開(kāi)發(fā)的視頻跟蹤分析和建模工具軟件，可以手動(dòng)或自動(dòng)跟蹤對(duì)象的位置、速度和加速度等并動(dòng)態(tài)顯示[1]。氣墊導(dǎo)軌上的彈簧振子運(yùn)動(dòng)可以看作水平方向無(wú)摩擦的直線運(yùn)動(dòng)，在彈簧質(zhì)量不能忽略的情況下,在氣墊導(dǎo)軌上研究彈簧振子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，將彈簧本身的動(dòng)能考慮在內(nèi)，可以來(lái)研究短時(shí)間內(nèi)彈簧振子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能守恒問(wèn)題[2]。而對(duì)于系統(tǒng)中長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)必然要考慮黏滯阻力的存在,一般阻尼系數(shù)的計(jì)算可從品質(zhì)因數(shù)的角度推算,當(dāng)阻尼很小時(shí)，采用最大速度衰減法的近似求得氣墊導(dǎo)軌的阻尼系數(shù)較為準(zhǔn)確方便[3]。本文通過(guò)錄制氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子從簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)到阻尼振動(dòng)全過(guò)程的運(yùn)動(dòng)視頻,分不同時(shí)間段利用Tracker軟件較為準(zhǔn)確地追蹤氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子運(yùn)動(dòng)中的位置，并得到其運(yùn)動(dòng)的相關(guān)數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上,通過(guò)建立坐標(biāo)軸、定標(biāo)桿，結(jié)合形象直觀的圖像、表格進(jìn)行定量分析。研究短時(shí)間段彈簧振子運(yùn)動(dòng)圖像,驗(yàn)證彈簧振子系統(tǒng)中的機(jī)械能守恒,并對(duì)長(zhǎng)時(shí)間段的彈簧振子運(yùn)動(dòng)圖像進(jìn)行函數(shù)擬合,研究其做阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,并計(jì)算滑塊在氣墊導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)中的阻尼系數(shù)。

1 實(shí)驗(yàn)原理

氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)原理圖如圖1所示。兩彈簧l1,l2的勁度系數(shù)分別為k1=1.592N/m、k2=1.767N/m；質(zhì)量分別為m1=0.0075kg、m2=0.0075kg；滑塊質(zhì)量為M=0.2300kg。

圖1 氣墊導(dǎo)軌簡(jiǎn)諧振動(dòng)示意圖

(1)

(2)

對(duì)式(1)積分得

(3)

(4)

整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能與勢(shì)能之和為

(5)

(6)

當(dāng)滑塊在平衡位置時(shí),彈簧l1、l2伸長(zhǎng)后長(zhǎng)度分別為x1=0.569m、x2=0.529m,以滑塊在平衡位置處為原點(diǎn)，滑塊位置為x時(shí)，Δx1=x1+x、Δx2=x2-x.令滑塊在不同位置的機(jī)械能為E0、E1、E2、E3、E4、…,前后位置機(jī)械能的差為

ΔE=En-1-En(n=1,2,3,…)

(7)

當(dāng)ΔE=0時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，考慮到氣墊導(dǎo)軌上的阻力的影響，ΔE不可能為零，但ΔE越小，說(shuō)明系統(tǒng)能量損失越小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果越精確。

2 實(shí)驗(yàn)操作

(1) 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備。下載安裝Tracker軟件，按圖1安裝好實(shí)驗(yàn)設(shè)備，固定好拍攝設(shè)備(手機(jī)或普通數(shù)碼相機(jī)均可)，視頻幀率為25幀以上即可得到較好的效果。

(2) 拍攝視頻。為了方便捕捉滑塊的運(yùn)動(dòng)，在滑塊中心部位貼上邊長(zhǎng)為2cm的白色方塊紙片作為質(zhì)點(diǎn)對(duì)象。將滑塊移離平衡位置后釋放，讓滑塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，拍攝視頻。

(3) 導(dǎo)入并分析視頻。將拍攝的視頻導(dǎo)入Tracker,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸，選取合適的參照物確定定標(biāo)桿長(zhǎng)度，本實(shí)驗(yàn)以滑塊自身為參照物，設(shè)置定標(biāo)桿長(zhǎng)度為0.16m。創(chuàng)建一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在視頻中確定好質(zhì)點(diǎn)對(duì)象，點(diǎn)擊搜索，軟件將自動(dòng)搜索質(zhì)點(diǎn)對(duì)象運(yùn)動(dòng)中的位置，并描繪相應(yīng)的圖像。圖2為T(mén)racker導(dǎo)出的滑塊x-t圖像,右側(cè)為相應(yīng)的數(shù)據(jù)。

圖2 滑塊的位移(x)-時(shí)間(t)圖像

3 數(shù)據(jù)處理及分析

分析圖2可以得出，在將近5個(gè)周期內(nèi)，系統(tǒng)的最大振幅基本相等，而在最大振幅處滑塊的速度為零，則此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和等于勢(shì)能大小，且系統(tǒng)的機(jī)械能趨近相等。為了更好地驗(yàn)證系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，利用Tracker分析得到滑塊運(yùn)動(dòng)的v-x圖像如圖3所示。

在經(jīng)歷了這樣特殊的課程之后，從新加坡中學(xué)走出來(lái)的學(xué)生具有非常敏銳的“批判性思維”和“辯證思維”，他們的邏輯思維能力快速成長(zhǎng)，也同樣對(duì)于他們的學(xué)術(shù)課程大有助益。

圖3 滑塊的速度(v)-位移(x)圖像

從圖3中選取5個(gè)點(diǎn)，記錄質(zhì)點(diǎn)對(duì)象位置x與速度v，將選取的5組數(shù)據(jù)代入式(6)計(jì)算系統(tǒng)總的機(jī)械能，并按式(7)計(jì)算兩點(diǎn)之間的機(jī)械能損失量ΔE。取圖3第一行數(shù)據(jù)x0=0.158m,v0=0.379m·s-1為初始狀態(tài)，代入式(6)計(jì)算初始狀態(tài)的機(jī)械能E0得E0=0.559J。

表1 取5個(gè)點(diǎn)計(jì)算所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

在數(shù)據(jù)表格中，每10行記錄的數(shù)據(jù)時(shí)間間隔為0.333s。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，系統(tǒng)的振動(dòng)在相鄰的幾個(gè)周期內(nèi)損失的機(jī)械能ΔE非常小，可以近視看作總機(jī)械能守恒的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。但時(shí)間間隔越大時(shí)，機(jī)械能損失也越大。

由于阻力不可避免，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的機(jī)械能也隨之減小，為了完整地研究這種振動(dòng)，可利用Tracker記錄較長(zhǎng)時(shí)間的振動(dòng)圖像，進(jìn)一步分析系統(tǒng)的阻尼系數(shù)。圖4是Tracker記錄滑塊運(yùn)動(dòng)2分鐘的x-t圖像。隨時(shí)間的增加，滑塊運(yùn)動(dòng)的最大振幅明顯減小，說(shuō)明系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有較為明顯的機(jī)械能損失。

圖4 滑塊的位移(x)-時(shí)間(t)圖像

若考慮氣墊導(dǎo)軌上的粘滯阻力，

Ff=-bv

(8)

其與滑塊運(yùn)動(dòng)的速度成正比，b為阻尼系數(shù)。

-(k1+k2)x-bv=Ma+m0a

(9)

(10)

令M+m0=M0,式(10)可寫(xiě)為

(11)

其解為

x=Ae-β tsin(ωdt+θ)

(12)

可得

(13)

對(duì)式(12)求導(dǎo)得

v=Ae-β t(-β)sin(ωdt+θ)+Ae-β tcos(ωdt+θ)ωd

(14)

將式(13)代入式(14)得

(15)

當(dāng)x=0時(shí)，滑塊處于平衡位置

v=ωdAe-β t

(16)

由式(16)可知在平衡位置處滑塊速度關(guān)于時(shí)間呈現(xiàn)指數(shù)衰減。利用Tracker分析得到滑塊的v-t圖，在平衡位置處，滑塊的最大速度隨時(shí)間的衰減如圖5所示。

圖5 滑塊的速度(v)-時(shí)間(t)圖像

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，氣墊導(dǎo)軌上的彈簧振子運(yùn)動(dòng)在短時(shí)間內(nèi)機(jī)械能損失極小，可以近似地看作機(jī)械能守恒的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但對(duì)于其長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)，必需要考慮氣墊導(dǎo)軌上阻尼的存在。利用Tracker軟件對(duì)氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，可以精確記錄氣墊導(dǎo)軌上滑塊運(yùn)動(dòng)的軌跡，并直接對(duì)其運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣，且數(shù)據(jù)量大，方便選擇處理。該方法方便、快捷、直觀、高效，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值相比誤差很小，具有很高的推廣價(jià)值。