陳麗艷，楊 帆，王 端

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十七研究所，河南 鄭州 450047)

電磁軌道炮的內(nèi)彈道發(fā)射過(guò)程，為電樞速度、脈沖電源放電電流、時(shí)間、推力和摩擦力等多元素相互耦合的過(guò)程。對(duì)電磁軌道炮的內(nèi)彈道模擬，需要將運(yùn)動(dòng)彈丸作為脈沖電源的動(dòng)態(tài)負(fù)載，將洛倫茲力加速的動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程與電路方程結(jié)合起來(lái)求解。

電樞的初速散布是影響電磁軌道炮打擊精度的重要因素。引起電樞初速散布的因素包括脈沖電源系統(tǒng)的電參數(shù)漂移、發(fā)射器和電樞等器件在生產(chǎn)制造和使用的過(guò)程中存在誤差等[1]。

筆者建立了基于MATLAB的電磁軌道炮內(nèi)彈道仿真模型，對(duì)電磁軌道炮的動(dòng)態(tài)發(fā)射過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬；分析了影響電磁軌道炮電樞初速精度的主要因素，采用蒙特卡洛法進(jìn)行了內(nèi)彈道隨機(jī)模擬，對(duì)電樞的初速散步進(jìn)行預(yù)測(cè)，就系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)散布對(duì)電樞初速的影響進(jìn)行了定量分析；并通過(guò)誤差設(shè)計(jì)技術(shù)，提出對(duì)各參量的定量指標(biāo)要求，以達(dá)到控制誤差，提高發(fā)射精度的目的。

1 電磁軌道炮誤差源分析

電磁軌道炮基于法拉第電磁感應(yīng)定律，導(dǎo)電電樞在兩根平行導(dǎo)軌產(chǎn)生的強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)獲得電磁力，從而完成對(duì)電樞的加速，如圖1所示。電磁軌道發(fā)射是一個(gè)涉及電磁學(xué)、動(dòng)力學(xué)、材料等多種問(wèn)題的復(fù)雜過(guò)程，存在軌道間強(qiáng)脈沖電流、電樞和電樞滑動(dòng)摩擦等復(fù)雜載荷的作用。電磁軌道炮由大功率充電單元、脈沖成形網(wǎng)絡(luò)、電磁軌道發(fā)射器以及一體化電樞組成。

引起電樞初速散布的隨機(jī)因素主要包含以下幾方面內(nèi)容：

1)受加工誤差、裝配誤差以及炮體振動(dòng)、軌道變形等因素影響，發(fā)射器的軌道電阻、軌道電感存在隨機(jī)波動(dòng)。

2)受環(huán)境、溫度等因素影響，脈沖電源的電容量、電阻、電感存在隨機(jī)波動(dòng)。

3)充電單元存在控制誤差，電容器在充電、保壓過(guò)程中存在能量泄漏，會(huì)引起放電電壓的隨機(jī)波動(dòng)。

4)加工誤差會(huì)引起電樞質(zhì)量的隨機(jī)波動(dòng)[2]。

為了研究靜態(tài)參數(shù)的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)初速的影響，建立全系統(tǒng)的仿真模型，采用蒙特卡羅法來(lái)分析電磁軌道炮中放電電壓、電容器的電容量、系統(tǒng)電阻、系統(tǒng)電感和電樞質(zhì)量這5個(gè)靜態(tài)參量的隨機(jī)變化對(duì)電樞初速的影響。

2 電磁軌道炮內(nèi)彈道隨機(jī)過(guò)程模擬

2.1 蒙特卡洛分析方法

蒙特卡羅方法亦稱為隨機(jī)模擬方法，也稱作隨機(jī)抽樣技術(shù)或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法?；舅悸肥墙⒁粋€(gè)概率模型或隨機(jī)過(guò)程，通過(guò)對(duì)模型或過(guò)程的抽樣試驗(yàn)來(lái)計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，給出所求解的近似值，而解的精確度可用估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)表示。

基于蒙特卡洛法的電磁軌道炮隨機(jī)模擬基本步驟如下：

1)建立所要分析的電磁軌道炮內(nèi)彈道數(shù)值模型。

2)確定發(fā)射過(guò)程中要研究的隨機(jī)變量的波動(dòng)及其分布規(guī)律。

3)將隨機(jī)變量(放電電壓、電容器的電容量、系統(tǒng)電阻、系統(tǒng)電感、電樞質(zhì)量)的抽樣值代入內(nèi)彈道數(shù)值模型，進(jìn)行求解，得到電樞加速度、電容器電壓和放電電流曲線。

4)對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

2.2 電磁軌道炮內(nèi)彈道數(shù)學(xué)模型

2.2.1 電磁軌道炮內(nèi)彈道過(guò)程分析

電磁軌道炮的電路模型如圖2所示。

設(shè)簡(jiǎn)單電磁軌道炮導(dǎo)軌寬度為W,則進(jìn)入導(dǎo)軌的線電流密度i=I/W。設(shè)軌道間距為h，當(dāng)電樞位置在x時(shí)，回路電流在兩導(dǎo)軌之間形成的磁場(chǎng)截面為hx，磁場(chǎng)強(qiáng)度H指向z負(fù)方向。按照麥克斯韋電磁方程：

(1)

式中：j為面電流密度；D為電位移矢量。

(2)

電感儲(chǔ)存的磁能：

Wm(I,x)=LI2/2

(3)

磁能隨x變化的梯度即為作用在電樞上的洛倫茲力,為[3]

(4)

于是：

(5)

FM為洛倫茲力，當(dāng)電樞前有彈丸時(shí)，彈丸將被電樞驅(qū)動(dòng)而加速，到達(dá)軌道末端時(shí)發(fā)射出去。由式(5)可知，磁場(chǎng)力與電流強(qiáng)度的平方成正比。因此，增大導(dǎo)軌電流可以大幅度增加彈丸初速。

電磁軌道炮在發(fā)射時(shí)，電樞在電磁力的驅(qū)動(dòng)下沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，若不計(jì)各種阻力，則運(yùn)動(dòng)方程為

(6)

式中：ma為電樞質(zhì)量；v為電樞速度。

隨著電樞的運(yùn)動(dòng)，回路電阻、回路電感線性增大，即

R=R0+R′x

(7)

L=L0+L′x

(8)

(9)

式中：Ipeak為脈沖電源放電電流峰值;Lt為系統(tǒng)電感，即電樞運(yùn)動(dòng)到發(fā)射器軌道終點(diǎn)時(shí)的回路電感；U為放電電壓。

當(dāng)t≤tpeak時(shí)，

i(t)=Ipeaksinωt

(10)

當(dāng)t>tpeak時(shí)，

(11)

式中,Rt為系統(tǒng)電阻，即電樞運(yùn)動(dòng)到軌道終點(diǎn)時(shí)的回路電阻[4]。

考慮摩擦力的電樞初速vout的表達(dá)式為

(12)

其中，摩擦阻力Ffri的表達(dá)式為

Ffri=μFN

(13)

式中：μ為摩擦系數(shù)，速度低時(shí)滑動(dòng)摩擦系數(shù)取0.3，隨著速度的增加摩擦系數(shù)下降很快，取值0.1;FN為電樞對(duì)軌道的壓力。

2.2.2 仿真流程

基于MATLAB軟件建立了電磁軌道炮的內(nèi)彈道模型，進(jìn)行初速精度蒙特卡羅仿真，軟件流程如圖3所示。

3 仿真結(jié)果分析

3.1 電磁軌道炮內(nèi)彈道仿真

在MATLAB仿真中，系統(tǒng)電源由6個(gè)模塊組成，單模塊放電電壓U為4 kV，電容量C為2 500 μF，電樞質(zhì)量ma為10 g，系統(tǒng)電感Lt和系統(tǒng)電阻Rt分別為11 μH和9 mΩ。電感梯度L′為1 μH/m。

圖4為發(fā)射過(guò)程中總放電電流和電樞速度的變化曲線，圖5為電樞在膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)速度的仿真值和實(shí)測(cè)值對(duì)比曲線，初速實(shí)測(cè)值與仿真值偏差為2%，原因在于仿真模型中考慮到了電樞的滑動(dòng)摩擦，以及仿真模型中的脈沖電源和發(fā)射器的電參數(shù)與實(shí)際工況較為接近。

圖6為電樞在發(fā)射器膛內(nèi)所受推力和摩擦力的變化曲線，在MATLAB仿真程序中，根據(jù)電樞運(yùn)動(dòng)速度與摩擦系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，確定摩擦系數(shù)的取值。電樞的推進(jìn)力和放電電流在上升沿呈正弦上升趨勢(shì)，推進(jìn)力在256 μs時(shí)刻達(dá)到峰值，峰值為65.83 kN, 在下降沿呈指數(shù)衰減趨勢(shì)。內(nèi)彈道仿真結(jié)果如表1所示。

表1 內(nèi)彈道仿真結(jié)果

參量數(shù)值峰值電流/kA361.8剩余電流/kA185.2電樞初速/(km·s-1)2.636發(fā)射效率/%28.9

3.2 電磁軌道炮隨機(jī)過(guò)程模擬

采取單因素模擬來(lái)分析放電電壓、電容、電阻、電感和電樞質(zhì)量5個(gè)隨機(jī)變量對(duì)初速精度的影響。單因素模擬指的是在模擬過(guò)程中，只對(duì)1個(gè)參量隨機(jī)抽樣，該參量服從正態(tài)分布，其余的4個(gè)參量保持定值不變。按照參量精度依次為1‰,2‰，3‰，4‰，5‰，6‰，7‰和8‰的變化進(jìn)行單因素隨機(jī)波動(dòng)的模擬計(jì)算。

參量精度σ的定義為：

(14)

σx定義為：

(15)

(16)

3.3 誤差源敏感性分析

根據(jù)蒙特卡洛隨機(jī)模擬數(shù)據(jù)，將5個(gè)參量的精度與初速精度的關(guān)系繪制成圖，如圖7所示。當(dāng)放電電壓、電容器的電容量、系統(tǒng)電感、系統(tǒng)電阻和電樞質(zhì)量5個(gè)參量的隨機(jī)誤差在1‰～8‰范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，各參量的精度與初速精度近似為線性關(guān)系，其中放電電壓和電容器的電容量對(duì)初速影響最為明顯，而系統(tǒng)電感的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)初速精度的影響最小。當(dāng)軌道電感的精度為8‰時(shí)，初速精度僅為3.75‰。各參量對(duì)初速的影響水平由高到低為：放電電壓、電容量、電樞質(zhì)量、系統(tǒng)電阻和系統(tǒng)電感。

4 誤差分配

如果各誤差因素為隨機(jī)誤差，且不相關(guān)。則可按照等作用原則分配誤差，即：

(17)

如果按照等作用原則進(jìn)行誤差分配以后，導(dǎo)致某個(gè)隨機(jī)因素的精度指標(biāo)難以實(shí)現(xiàn)，則對(duì)于難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，對(duì)容易實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)盡可能縮小，而對(duì)其余的誤差項(xiàng)不予調(diào)整[5]。

采用綜合因素模擬的方法進(jìn)行隨機(jī)模擬仿真，以此作為誤差分配的依據(jù)。綜合因素模擬是指在模擬仿真的過(guò)程中，對(duì)所有參量進(jìn)行隨機(jī)抽樣，所有參量服從正態(tài)分布。

在電磁炮內(nèi)彈道蒙特卡洛仿真模型中，初速精度可視為以參量精度為變量的函數(shù)。那么將一組參量精度值代入內(nèi)彈道仿真模型進(jìn)行隨機(jī)模擬，可得到多對(duì)參量精度與初速精度的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(即變量掃描)，即可利用最小二乘法對(duì)這些仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到初速精度與參量精度的函數(shù)關(guān)系式，則可根據(jù)初速精度值倒推出參量精度值。再將求解結(jié)果回代到內(nèi)彈道仿真模型中，以驗(yàn)證求解結(jié)果是否正確。

4.1 指標(biāo)平均分配

基于內(nèi)彈道模型進(jìn)行電磁軌道炮綜合因素模擬。同時(shí)對(duì)5個(gè)參量進(jìn)行隨機(jī)抽樣，并規(guī)定各參量精度相同，則用系統(tǒng)參量精度來(lái)描述5個(gè)參量的精度?？傻玫较到y(tǒng)參量精度分別為1‰、1.5‰、2‰、2.5‰、3‰、3.5‰、4‰、4.5‰、5‰、5.5‰、6‰、6.5‰、7‰、7.5‰、8‰時(shí)對(duì)應(yīng)的初速精度值，共16對(duì)數(shù)據(jù)。然后通過(guò)最小二乘法對(duì)該16對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合[6]，其中系統(tǒng)參量精度為變量，則初速精度為以系統(tǒng)參量精度為變量的函數(shù)。經(jīng)過(guò)擬合發(fā)現(xiàn)初速精度與系統(tǒng)各參量精度近似為線性關(guān)系，函數(shù)關(guān)系式為

y1=0.006 08+0.98x1

(18)

式中：x1是系統(tǒng)參量精度；y1是電樞初速精度。

根據(jù)式(18)，可計(jì)算出當(dāng)初速精度為1%時(shí)，對(duì)5個(gè)參量的精度要求為4‰。再將該分配結(jié)果回代到MATLAB內(nèi)彈道模擬程序進(jìn)行驗(yàn)證，經(jīng)過(guò)模擬計(jì)算得到電樞初速精度0.995‰，可見(jiàn)該分配結(jié)果是滿足要求的。

4.2 指標(biāo)不平均分配

在指標(biāo)平均分配方案中，系統(tǒng)對(duì)各參量的精度要求為4‰。由于發(fā)射器的加工工藝較為復(fù)雜、進(jìn)行高精度裝配存在較大的難度，并且在發(fā)射過(guò)程中需面臨高溫、刨蝕、振動(dòng)等嚴(yán)酷工況，導(dǎo)致系統(tǒng)電阻和系統(tǒng)電感的精度指標(biāo)難以實(shí)現(xiàn)，因此對(duì)發(fā)射器的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，脈沖電源、電樞的誤差項(xiàng)適當(dāng)縮小。

根據(jù)目前的技術(shù)水準(zhǔn)，電磁軌道炮各分系統(tǒng)可達(dá)到的指標(biāo)為：脈沖電源放電電壓精度為3‰，電容器電容量精度可達(dá)2‰，電樞質(zhì)量加工精度可達(dá)2‰。將上述指標(biāo)代入內(nèi)彈道仿真模型，則初速精度為以系統(tǒng)電感精度和系統(tǒng)電阻精度為變量的函數(shù)。對(duì)系統(tǒng)電感精度和系統(tǒng)電阻精度進(jìn)行變量掃描，兩者精度相同，取值范圍為4‰～1.4%，步進(jìn)為2‰。采用最小二乘法對(duì)變量掃描結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，發(fā)現(xiàn)初速精度與系統(tǒng)電感精度、系統(tǒng)電阻精度為線性關(guān)系，對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為

y2=0.038 4x2+0.005

(19)

式中：x2是系統(tǒng)電阻和系統(tǒng)電感精度；y2是電樞初速精度。

進(jìn)而計(jì)算出當(dāng)初速精度為1%時(shí)，系統(tǒng)電感和系統(tǒng)電阻的精度為1.3%。將如表2所示的指標(biāo)分配方案回代到內(nèi)彈道蒙特卡洛仿真模型中進(jìn)行驗(yàn)證，經(jīng)模擬，初速精度為1.0004%，可見(jiàn)指標(biāo)分配方案是符合要求的。

表2 指標(biāo)不平均分配方案

5 結(jié)束語(yǔ)

影響電樞初速關(guān)鍵因素包括放電電壓、電容器的電容量、系統(tǒng)電感、系統(tǒng)電阻、電樞質(zhì)量等。為了分析電樞在發(fā)射器膛內(nèi)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，以及參量的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)初速精度的影響，建立了電磁軌道炮內(nèi)彈道模型，并采用蒙特卡洛法進(jìn)行隨機(jī)模擬。

單因素隨機(jī)模擬結(jié)果表明，脈沖電源的放電電壓以及電容器的電容量的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)初速的影響最為明顯，而系統(tǒng)電感對(duì)初速的影響最為微弱。通過(guò)多因素模擬，并綜合考慮全系統(tǒng)各部件的的工藝復(fù)雜度、實(shí)現(xiàn)難易程度、現(xiàn)有技術(shù)水平，確定了指標(biāo)不平均分配方案。

在電磁軌道炮研制過(guò)程中，應(yīng)對(duì)各分系統(tǒng)指標(biāo)進(jìn)行精確測(cè)量和控制，保證各分系統(tǒng)的精度指標(biāo)符合要求。另外發(fā)射過(guò)程中發(fā)射器與電樞的接觸狀況、預(yù)緊力、軌道面磨損和炮體緊固情況等對(duì)電樞的初速也有較為直接的影響，需要借助多物理場(chǎng)仿真、輔助測(cè)量工具并結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行多次迭代來(lái)確定最優(yōu)設(shè)計(jì)。