馮 程 ，劉姝含 ，鞏 倩

（1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所，南京 210007；2.江蘇省產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院，南京 210000；3.中國(guó)民用航空江蘇空管分局，南京 211113）

空中交通系統(tǒng)是一個(gè)涉及航空器、空域、機(jī)場(chǎng)、管制員、飛行員等眾多影響因素的非線性系統(tǒng)。近年來對(duì)空中交通系統(tǒng)的復(fù)雜性研究已卓有成效，逐漸提出了交通復(fù)雜性、空域復(fù)雜性、動(dòng)態(tài)密度、管制復(fù)雜性、認(rèn)知復(fù)雜性等多個(gè)具體概念和評(píng)估方法。而作為非線性科學(xué)的另一重要主題——混沌，在空中交通領(lǐng)域卻較少被人提及。

目前，對(duì)混沌特性的研究主要集中在地面交通領(lǐng)域。郭敏等[1]利用關(guān)聯(lián)維數(shù)分析發(fā)現(xiàn)城市快速路交通系統(tǒng)中存在混沌態(tài)；廖榮華等[2]發(fā)現(xiàn)北京交通流數(shù)據(jù)的最大Lyapunov指數(shù)約為0.045；張宏立等[3]也利用城市交通流數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了混沌特性；羅婷[4]證明了美國(guó)洛杉磯交通流數(shù)據(jù)中存在混沌現(xiàn)象。在空中交通領(lǐng)域，雖然相關(guān)研究成果較少，但Li等[5]也證明了空管領(lǐng)域中飛行沖突時(shí)間序列存在混沌現(xiàn)象。以國(guó)內(nèi)某區(qū)域管制中心多個(gè)扇區(qū)樣本為例，借鑒混沌特性檢驗(yàn)方法，首先利用互信息法和偽最近鄰點(diǎn)法分別計(jì)算時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)，確定重構(gòu)時(shí)間序列相空間的重要參數(shù)；然后以典型的交通運(yùn)行指標(biāo)為例，選用小數(shù)據(jù)量法，計(jì)算指標(biāo)時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)，以此作為判斷混沌特性的依據(jù)。研究結(jié)論可用來進(jìn)一步挖掘交通流特性，提升交通行為的可預(yù)測(cè)性。

1 混沌特性分析方法

混沌是一種貌似無規(guī)則的、類似隨機(jī)的現(xiàn)象，實(shí)則為一種有序結(jié)構(gòu)，是內(nèi)部層次十分豐富的非線性存在形式[6]。定量判斷混沌特性的常見方法有：最大Lyapunov指數(shù)法、關(guān)聯(lián)維數(shù)法、功率譜法等?；煦邕\(yùn)動(dòng)的基本特點(diǎn)是在初始條件下軌跡在時(shí)間軸上按指數(shù)形式進(jìn)行分離。Lyapunov指數(shù)是相空間軌跡（即相空間中所有點(diǎn)的集合）收縮或擴(kuò)張的標(biāo)志性指標(biāo)，在其為正的方向上軌跡分離，對(duì)初始條件敏感；在其為負(fù)的方向上軌跡收縮，對(duì)初始條件不敏感，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定。在Lyapunov指數(shù)譜中，最小Lyapunov指數(shù)λmin決定了相空間軌跡的收縮速度；最大Lyapunov指數(shù)λmax表征兩相鄰軌跡的發(fā)散問題，即覆蓋整個(gè)吸引子的快慢；若λmax＞0表示軌跡指數(shù)分離，則系統(tǒng)一定存在混沌特性。選擇最大Lyapunov指數(shù)方法，通過將時(shí)間序列重構(gòu)一個(gè)拓?fù)涞葍r(jià)的相空間，分析吸引子的混沌特性。

根據(jù)混沌特性分析方法，首先確定時(shí)間序列的時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)，對(duì)扇區(qū)交通指標(biāo)時(shí)間序列完成相空間重構(gòu)后，選取小數(shù)據(jù)量法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)，從而判斷機(jī)場(chǎng)交通行為中是否存在混沌現(xiàn)象。

1.1 相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)是根據(jù)有限的數(shù)據(jù)來重構(gòu)吸引子以研究系統(tǒng)動(dòng)力行為的方法，是研究混沌時(shí)間序列的核心[7]，其關(guān)鍵在于確定時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m。

1.1.1 時(shí)間延遲

若時(shí)間延遲τ取值較小，則相空間矢量X（t）={x（t），x（t+ τ），x（t+2τ），…，x（t+（m-1）τ）}中任意兩個(gè)分量 x（t+jτ）和 x（t+（j+1）τ）的數(shù)值大小會(huì)非常接近以致無法區(qū)分；若時(shí)間延遲τ取值較大，則兩個(gè)分量很有可能完全獨(dú)立，混沌吸引子的軌跡在兩個(gè)方向上的投影毫無相關(guān)性可言。綜合考慮，選用互信息法確定時(shí)間延遲。假設(shè) S={s1，s2，…，sn}和 Q={q1，q2，…，qn}是離散信息序列，S和Q的平均信息量分別為

其中：Ps（si）為在S時(shí)間序列中si出現(xiàn)的概率；Pq（qj）為在Q時(shí)間序列中qj出現(xiàn)的概率。

S和Q的互信息為

定義[s，q]=[x（t），x（t+ τ）]，s表示時(shí)間序列 x（t），q 表示延遲為 τ的時(shí)間序列 x（t+ τ），則 I（S，Q）=I（x（t），x（t+ τ））表示在已知 x（t）的情況下，x（t+ τ）確定性的大小。當(dāng)I（S，Q）=0時(shí)，表示x（t+τ）完全不可預(yù)測(cè)，此時(shí)x（t）與x（t+τ）完全不相關(guān)；I（S，Q）取極小值時(shí)，表示x（t）與x（t+τ）為最大可能的不相關(guān)。取I（S，Q）得出第1個(gè)極小值的τ作為最優(yōu)時(shí)間延遲[8]。聯(lián)合分布概率的計(jì)算步驟詳見文獻(xiàn)[9]。

1.1.2 嵌入維數(shù)

根據(jù)原有的時(shí)間序列恢復(fù)其在高維相空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡，即重構(gòu)相空間以甄別鄰近點(diǎn)的真假，從而確定嵌入維數(shù)m[10-14]。在m維相空間中，每個(gè)相點(diǎn)X（t）={x（t），x（t+ τ），x（t+2τ），…，x（t+（m-1）τ）}，都存在某個(gè)距離內(nèi)的最近鄰點(diǎn)XF，其距離為Rm（t）=‖X（t）-XF（t）‖。當(dāng)相空間的維數(shù)從m維增加到m+1維時(shí)，兩個(gè)相點(diǎn)的距離發(fā)生變化，即

如果Rm+1（t）與Rm（t）相比變化較大，則可認(rèn)為其是偽最近鄰點(diǎn)，令

若Sm＞ST，則XF（t）是X（t）的偽最近鄰點(diǎn)，閾值ST取值范圍為[10，50][10]。

從小到大，根據(jù)不同的嵌入維數(shù)計(jì)算偽最近鄰點(diǎn)比值，當(dāng)該比值不再隨嵌入維數(shù)m的增加而減少時(shí)，則可得到最佳嵌入維數(shù)。

1.2 最大Lyapunov指數(shù)

計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)通?？梢岳肳olf法、Jocobian法、小數(shù)據(jù)量法、P范數(shù)法等[14-16]。其中小數(shù)據(jù)量法對(duì)時(shí)間序列的噪聲具有較強(qiáng)的魯棒性，適合小數(shù)據(jù)組，計(jì)算簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，因此選擇該方法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)，具體步驟如下。

1）通過傅里葉變換，計(jì)算時(shí)間序列的平均周期P[15]。

2）根據(jù)重構(gòu)后的相空間矢量 X（t），t=1，2，…，M；M=N-（m-1）τ，確定相空間中每個(gè)點(diǎn) X（t）的最近鄰點(diǎn)，并限制其短暫分離，即

3）針對(duì)相空間中每個(gè)點(diǎn)X（t），計(jì)算該鄰域點(diǎn)對(duì)i個(gè)離散時(shí)間步后的距離

4）對(duì)每個(gè)i求出所有t的ln dt（i）的平均x（i），即

其中：q為非零dt（i）的數(shù)目。

5）選擇一段線性區(qū)域作為計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的區(qū)域[15-16]，用最小二乘法求得該直線的斜率即為最大Lyapunov指數(shù)。

2 實(shí)例分析

扇區(qū)是空域的基本組成單元之一，管制員會(huì)向扇區(qū)內(nèi)的航空器提供管制服務(wù)，通常根據(jù)空域結(jié)構(gòu)和流量分布將空域劃分成多個(gè)扇區(qū)以便管理。選取國(guó)內(nèi)某區(qū)域管制中心10個(gè)扇區(qū)作為分析對(duì)象。參考已有研究成果，選取反映扇區(qū)交通特征的指標(biāo)主要包括：航空器數(shù)量、總管制里程、平均管制里程、總管制時(shí)間、平均管制時(shí)間、爬升航空器數(shù)量、平飛航空器數(shù)量、下降航空器數(shù)量、改變航向的航空器數(shù)量、改變速度的航空器數(shù)量、改變高度的航空器數(shù)量、平均速度、水平最小間隔、垂直最小間隔、追越?jīng)_突航空器對(duì)數(shù)量、對(duì)頭沖突航空器對(duì)數(shù)量。

選取某天的歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)用于指標(biāo)計(jì)算，以1 min為間隔，構(gòu)造所有扇區(qū)在各指標(biāo)下的時(shí)間序列。首先對(duì)所有指標(biāo)時(shí)間序列完成相空間重構(gòu)，然后基于小數(shù)據(jù)量法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)，檢測(cè)扇區(qū)交通運(yùn)行特征中的混沌特性。

以扇區(qū)1的航空器數(shù)量指標(biāo)為例，分別得到互信息與時(shí)間延遲的變化關(guān)系以及偽最近鄰點(diǎn)比例與嵌入維數(shù)的關(guān)系，如圖1～圖2所示。

圖1 時(shí)間延遲與互信息的變化關(guān)系Fig.1 Relationship between time delay and mutual information

圖2 嵌入維數(shù)與偽最近鄰點(diǎn)比例的變化關(guān)系Fig.2 Relationship between embedding dimension and pheudo nearest neighbor ratio

由圖1可知，當(dāng)時(shí)間延遲τ=14時(shí)，自信息獲得第1個(gè)極小值；由圖2可知，當(dāng)嵌入維數(shù)m=35時(shí)，偽最近鄰點(diǎn)的比例降為0，由此確定時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)。扇區(qū)1航空器數(shù)量時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)是0.06，因此扇區(qū)1的交通運(yùn)行存在混沌特性。

所有扇區(qū)部分指標(biāo)的最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 部分指標(biāo)最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculation results of maximum Lyapunov exponent of some indicators

基于10個(gè)扇區(qū)、16個(gè)指標(biāo)的最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算結(jié)果顯示，對(duì)于所有扇區(qū)樣本，共有5個(gè)指標(biāo)（航空器數(shù)量、平均管制里程、平均管制時(shí)間、平飛航空器數(shù)量、垂直最小間隔）的時(shí)間序列具有大于0的最大Lyapunov指數(shù)，因此在表1中僅展示這5個(gè)指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果。這5個(gè)指標(biāo)涉及了交通運(yùn)行的各個(gè)方面：航空器數(shù)量反映了扇區(qū)內(nèi)航班的整體分布水平，平均管制里程與平均管制時(shí)間則從另一個(gè)角度反映了航班的平均分布水平；平飛航空器數(shù)量反映了區(qū)域扇區(qū)內(nèi)航班處于平飛狀態(tài)的分布水平；垂直最小間隔反映了航班之間的耦合狀態(tài)，航班之間垂直間隔越小，潛在沖突可能性越大。上述5個(gè)指標(biāo)容易觀察、發(fā)生頻率高，因此只要各時(shí)間片內(nèi)存在運(yùn)行的航空器就能觀測(cè)到指標(biāo)值。其他指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果目前還不具備較強(qiáng)的一致性：僅有少量扇區(qū)樣本的爬升航空器數(shù)量出現(xiàn)了最大Lyapunov指數(shù)大于0的情況；對(duì)于總管理里程和總管制時(shí)間，大部分扇區(qū)樣本的最大Lyapunov指數(shù)大于0，少量扇區(qū)可能由于樣本數(shù)據(jù)缺失，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果并不理想；而對(duì)于追越?jīng)_突航空器對(duì)數(shù)量和對(duì)頭沖突航空器對(duì)數(shù)量?jī)蓚€(gè)指標(biāo)，由于本身出現(xiàn)的概率較小，大部分時(shí)間片內(nèi)數(shù)值幾乎為0，故混沌特性檢驗(yàn)結(jié)果也不明顯。

由于目前仍缺乏航班運(yùn)行歷史數(shù)據(jù)，因此相關(guān)結(jié)論的普適性也需要深入論證，今后應(yīng)進(jìn)一步收集全國(guó)扇區(qū)的運(yùn)行數(shù)據(jù)，繼續(xù)統(tǒng)計(jì)各類指標(biāo)計(jì)算結(jié)果，檢測(cè)扇區(qū)交通指標(biāo)的混沌特性。扇區(qū)復(fù)雜性與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、運(yùn)行條件（空域管制）、人為因素（管制人員級(jí)別、經(jīng)驗(yàn)水平）、氣象條件等一系列因素息息相關(guān)，扇區(qū)交通行為也非常復(fù)雜。有序的交通流在各種非線性因素的多重干擾下，交通態(tài)勢(shì)逐漸呈現(xiàn)出非線性特征，扇區(qū)交通運(yùn)行的內(nèi)在隨機(jī)性也大大增強(qiáng)，最終產(chǎn)生了混沌特性。

3 結(jié)語

空中交通系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，不同指標(biāo)所反映的運(yùn)行特征中均存在混沌特性。深入分析空中交通系統(tǒng)內(nèi)的混沌特性，對(duì)于進(jìn)一步完善空中交通流的非線性特性以及實(shí)現(xiàn)對(duì)交通的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)和控制具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。利用實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)，明確了扇區(qū)運(yùn)行中普遍存在混沌現(xiàn)象的5個(gè)交通特征：航空器數(shù)量、平均管制里程、平均管制時(shí)間、平飛航空器數(shù)量及垂直最小間隔，通過以上特征指標(biāo)可進(jìn)一步量化評(píng)估扇區(qū)運(yùn)行的內(nèi)在規(guī)律。長(zhǎng)期以來，管理者一直認(rèn)為交通行為是無序的，故難以對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。而以上結(jié)論則為管理者提供了一個(gè)新的解決思路。目前，關(guān)于混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)方法日漸成熟，根據(jù)建模數(shù)據(jù)可分為3類，包括全局預(yù)測(cè)、局部預(yù)測(cè)和自適應(yīng)預(yù)測(cè)。每種方法都有不同的適用對(duì)象，其預(yù)測(cè)精度也與時(shí)間序列、預(yù)測(cè)時(shí)間范圍密切相關(guān)。因此，對(duì)于交通運(yùn)行特征存在混沌特性的扇區(qū)，應(yīng)收集相關(guān)歷史數(shù)據(jù)，建立基于混沌特性的扇區(qū)交通行為預(yù)測(cè)模型，提升交通行為的可預(yù)測(cè)性，從而預(yù)判扇區(qū)內(nèi)可能出現(xiàn)的復(fù)雜交通態(tài)勢(shì)，提前制定管控措施，大力提升運(yùn)行效率。